2018年度二次函数压轴题题型归纳

2018二次函数压轴题题型归纳一、二次函数常考点汇总1、两点间的距离公式：AB=J（y_y》+（x_x》ABAB2、中点坐标：线段AB的中点C的坐标为：XA+XB,yA+yBTOC\o"1-5"\h\zI22丿直线y=kx+b（k丰0）与y=kx+b（k丰0）的位置关系：111222（1）两直线平行ok=k且b丰b（2）两直线相交ok丰k121212（3）两直线重合ok=k且b=b（4）两直线垂直okk=-11212123、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：用A和参数的其他要求确定参数的取值范围；解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x的一元二次方程x2—2（m+l）x+m2=0有两个整数根，mV5且m为整数，求m的值。4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式。5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x的方程mx2-3（m-1）x+2m-3=0（m为实数），求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根。解：当m=0时，x=1；当m丰0时，A=（m-3）2>0,x=3"-"±'A,x=2--、x=1；2m1m2综上所述：无论m为何值，方程总有一个固定的根是1。6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线y=x2-mx+m-2（m是常数），求证：不论m为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m的方程y-x2+2=mG-x）；・•・|y-竝+2=0，解得：；y=-1;・•・抛物线总经过一个固定的点（1,—1）。[1-x=0[x=1（题目要求等价于：关于m的方程y-x2+2=m（1-x）不论m为何值，方程恒成立）

小结：关于X的方程ax二b有无数解oJa=0b=07、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)如图，直线l、l，点A在l上，分别在l、l上确定两点M、N，使得AM+MN之和最12212小。(2)如图，直线l、1l相交，两个固定点A、B，分别在l、l上确定两点(2)如图，直线l、1212BM+MN+AN之和最小。8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如上图，S=1/2・PM・Ax△PAB=1/2・AN・Ay9、函数的交点问题：二次函数(y=ax2+bx+c)与一次函数(解方程组J尸处2+bx+c可求出两个图象交点的坐标。[y=kx+h解方程组Jy=ax2+bx+c即ax2+(b—k)x+c~h=0，通过A可判断两个图象的交点的个数y=kx+h有两个交点OA>0仅有一个交点OA二0没有交点OAV010、方程法设：设主动点的坐标或基本线段的长度表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量列方程或关系式11、几何分析法特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。几何要求几何分析涉及公式应用图形跟平行有关的图形平移l〃lok=k、k=yi-y21212X一X12平行四边形矩形梯形跟直角有关的图形勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等直角三角形直角梯形矩形AB=Q（y—y）2+G—x）2ABAB跟线段有关的图形利用几何中的全等、中垂线的性质等。等腰三角形全等等腰梯形AB=Q（y—y）2+（x一x）2VABAB跟角有关的图形利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

【例题精讲】一基础构图：y=x22x3（以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大1在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小，求出P点坐标2在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大，求出P点坐标★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点匕使厶ACP是以AC为直角边的直角三角形.★讨论等腰三角连接AC，在对称轴上找一点P，使得ACP为等腰三角形，求出P坐标★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上,且以BA，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标二综合题型例1(中考变式)如图，抛物线例1(中考变式)如图，抛物线y=一x2+bx+c与x轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为D。若E为抛物线若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直交BC于F,设E点横坐标为x・EF的长度为L,求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标?⑸在(5)的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大?1）2）3）1）2）3）例2考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（一1,0）、（0,—石），点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F.求该二次函数的解析式；若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长;求厶PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.例3考点：讨论等腰如图，已知抛物线y=1x2+bx+c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B,点A的坐标为（2，0），2点C的坐标为（0，一1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE丄x轴于点D,连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点卩，使厶ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在,

例4考点：讨论直角三角⑴如图，已知点A(—1,0)和点B例4考点：讨论直角三角⑴如图，已知点A(—1,0)和点B(1,2)，在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有((A)2个(B)4个(C)6个(D)7个⑵已知：如图一次函数匸i屮的图象与汀由交于点A与y轴交于点B二次函数gIx2+b+的图象与一次函数A1屮的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)1)求二次函数的解析式；求四边形BDEC的面积S；在x轴上是否存在点P,使得APBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由.例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c(aH0)与x轴交于点A(—2，0)，点B(6,0),与y轴交于点C.(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，求出直线AD的解析式;(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与X轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1,0),OB=OC，抛物线的顶点为D。求此抛物线的解析式；若此抛物线的对称轴上的点P满足ZAPB^ZACB,求点P的坐标；Q为线段BD上一点，点A关于ZAQB的平分线的对称点为A，，若qa—qb=込，求点Q的坐标和此时厶QAA的面积。|2、|在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+2ax+c的图像与y轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(—3,0)。求二次函数的解析式及顶点D的坐标；点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线0M把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时厶CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。23、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=—x2-2x与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且

m对称轴与x轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AAMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直4、已知关于x的方程（1-m）x2+（4-m）x+3=0。（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若正整数m满足8-2m>2，设二次函数y=（1-m）x2+（4-m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。5如图，抛物线y二ax2+2ax+c(aHO)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(-4,0)和B.求该抛物线的解析式；点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE〃AC,交BC于点E,连接CQ.当厶CEQ的面积最大时,求点Q的坐标；平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(-2,0).问是否有直线1,使AODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1.已知二次函数y=x2+(m—l)x+m—2的图象与x轴相交于A(x,0),B(x,0)两点，且12xVx.若xxV0,且m为正整数，求该二次函数的表达式；12若xV1,x>1,求m的取值范围；是否存在实数m,使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；若过点D(0,*)的直线与(1)中的二次函数图象相交于M、N两点，且-DjN=y，求该直线的表达式.题型二、抛物线与X轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y二x2+mx+m-5,求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题例1.已知抛物线y=x2-2(m+1)x+m2=0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且mV5,则整数m的值为例2.已知二次函数y=x2—2mx+4m—8.当xW2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；以抛物线y=x2—2mx+4m—8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AAMN(M，N两点在拋物线上)，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；若抛物线y=x2—2mx+4m—8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值.题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1.已知抛物线y=X2+bx+c(其中b>0,cHO)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且AB=2.(1)求m,b的值如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=vi0。求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒：请画图思考)题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)例1.已知：二次函数y=x2-4x+m的图象与x轴交于不同的两点A(x,0)、B(x,0)(xV121x),其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.2求实数m的取值范围；如果(x+1)(x+1)=8,求二次函数的解析式；12把(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A、1B，顶点为点C1，且△ABC是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.1111综合提升已知二次函数的图象与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,4),且|AB|=2、.../3，图象的对称轴为x=1.求二次函数的表达式；若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方，求m的取值范围.已知二次函数y=—x2+mx—m+2.若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=,./5，求m的值；设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N,且沐戸27，求m的值.已知关于x的一元二次方程x2—2(k+1)x+k2=0有两个整数根，kV5且k为整数.求k的值；当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2—2(k+1)x+k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；根据直线y=x+b与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围.已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1)，且与y轴交点的纵坐标为m.若m为定值，求此二次函数的解析式；若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；若二次函数的图象截直线y=—x+1所得线段的长为2、目，求m的值.四、中考二次函数定值问题1.如图，已知二次函数L：y=X2-4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点1C.写出二次函数L的开口方向、对称轴和顶点坐标；1研究二次函数L：y=kx2-4kx+3k(kH0).2写出二次函数L与二次函数L有关图象的两条相同的性质；21若直线y=8k与抛物线L交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出2EF的长度；如果会，请说明理由.2•如图，已知抛物线与坐标轴分别交于/r