微积分学课件：1-1 函数b

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推荐参考书目或参考书：《微积分》吴迪光、张彬，浙江大学出版社《微积分》卢兴江、金蒙伟等，浙江大学出版社《高等数学》同济大学数学教研室，高等教育出版社《高等数学习题课28讲》苏德矿、吴明华、卢兴江，浙江大学出版社

微积分的起源主要来自两方面的问题：一是物理学的一些新问题，已知路程对时间的关系求速度及已知速度对时间的关系求路程，二是几何学的一些相当老的问题，作曲线的切线和确定面积和体积等问题。这些在古代就研究过，在17世纪初期开普勒、卡瓦列里和许多其他数学家也研究过，但是这两类问题之间的显著关系的发现，解决这些问题的一般方法的形成，要归功于牛顿(Newton，英)和莱布尼兹(Leibniz，德)。引言

牛顿和莱布尼兹超越前人的功绩在于，他们能够站在更高的角度，对于以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无穷小问题的各种技巧统一为两类普遍的算法——微分和积分，并且确定了两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最后的、也是最关键的一步，在17世纪后半叶建立了微积分。微积分的发现在科学史上具有决定性的意义。

微积分学：微分学和积分学的总称微积分研究的基本方法：极限方法处理非均匀问题的基本思想：微元法微积分研究的对象：函数(连续量)连续量：

Example:时间t与位移S

连续量随另外一个连续量连续地变化(函数).

连续量的运算体系及其数学理论(微积分)

下面提出一些问题：2.平面上任意曲线所围成的平面图形的面积3.不规则立体的体积5.变力沿曲线做功4.非均匀薄片的质量6.曲线上任意一点的切线的斜率7.最大值、最小值问题

微分问题

一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率。

积分问题：计算一个连续量在连续量的作用下的总和成积累

微分和积分问题互为逆运算

Example：曲线上任意一点的切线的斜率、“瞬时”速度、最值问题等Example：变力沿曲线做功、平面上任意曲线所围成的平面图形的面积、不规则立体的体积等第一章函数与极限

第一节函数概念一、基本概念１、常量与变量在某变化过程中，保持一定数值不变的量叫常量；可以取不同数值的量叫变量。例如，一个金属圆环，由于受热，其直径与周长是变量。但周长和直径之比是常量，就是圆周率。通常用字母a，b，c等表示常量，用字母x，y，z表示变量。区间和邻域设a,b∈R,且a<b,开区间闭区间半开区间和称a,b为区间的端点，称b－a为这些区间的长度.以上这些区间都称为有限区间.无限区间用数轴可以表示区间,区间常用I表示.引进记号：

+∞

－∞

∞（读作正无穷大）(读作负无穷大）（读作无穷大）(2)点a的去心邻域：注若不强调δ的大小，点a的去心邻域记为邻域点a的左δ邻域:点a的右δ邻域:(1)设δ是任一正数，称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域，记为U(a,δ)，即

点a称为该邻域的中心，称δ为该邻域的半径.a

(a-δ,a)和(a–δ,a](a,a+δ)和[a,a+δ)因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域二函数的概念自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.定义:

邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布的费用表可根据邮件的重量W确定邮件的费用C。

自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻t的温度值T。tTo

真空中初速为零的自由落体，下落路程S与时间t的关系为：，设这一运动花费T秒钟，则t[0,T]。表格法图象法解析法函数的表示法(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线如[-3.4]=-4,[－1]=－1,定义域D=(－∞,+∞),值域=Z.有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数注意：不能正确地画出图象．(4)取最值函数yxoyxo在自变量的不同变化范围中,

对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.例1

脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间函数关系式.解单三角脉冲信号的电压例2解故反函数反函数的定义:设函数是单射,则它存在逆函数称此映射为函数f

的反函数.如:函数是单射,其反函数为DD)(xfy=函数

直接函数与反函数的图形关于直线对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.结论：反函数的定义域是直接函数的值域，值域是直接函数的定义域。复合函数定义:设函数的定义域为函数u=g(x)在D上有定义,且则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g与函数f

构成的复合函数通常记为函数g与函数f

构成复合函数的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f

的定义域内,即注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.如:如:函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：和(差)积商基本初等函数(２)幂函数(是常数)（1）常数函数y=c(3)指数函数(4)对数函数(5)三角函数正弦函数余弦函数正切函数(6)反三角函数反正弦函数反余弦函数反正切函数常值函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.(2)初等函数基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.奇函数.偶函数.双曲函数双曲正弦双曲余弦奇函数,有界函数,双曲正切双曲函数常用公式反双曲函数反双曲正弦奇函数,在内单调增加.反双曲余弦奇函数,

１．函数的单调性:xyo例：y=[x],y=ex在（-∞,+∞)内单调增加。第二节函数的特性xyo

证:

设函数y＝f(x)的定义域为D,不妨设y＝f(x)在D上严格增,对f(D)中每一个y0，有x0∈D,使f(x0)＝y0，我们证明这样的x0只能有一个.事实上,假设存在x0′≠x0,有f(x0′)＝f(x0),由f(x)严格递增,当x0′＜x0时,f(x0′)＜f(x0).当x0′＞x0时,f(x0′)＞f(x0)，与f(x0′)＝f(x0)相矛盾.所以,对每一个y0∈f(D),都只存在唯一的一个x0∈D,使f(x0)＝y0.从而函数y＝f(x)存在反函数x＝f-1(y),y∈f(D).

现证:x=f-1(y)在f(D)上是严格增的,任取y1,y2∈f(D)且y1<y2,设x1=f-1(y1),x2=f-1(y2),则y1＝f(x1),y2＝f(x2).由f(x)严格增知,若x1＞x2,则f(x1)＞f(x2),即y1＞y2;若x1＝x2,则f(x1)＝f(x2),即y1＝y2,都与y1＜y2相矛盾.故x1＜x2时,有f-1(y1)＜f-1(y2),所以x＝f-1(y)在f(D)上严格增.反函数存在定理：严格增(减)函数必有严格增(减)反函数．２．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x例

判断函数

的奇偶性.解：∴f(x)是奇函数.例

设

f(x)在R上定义，证明

f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。证明：设显然

g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而

故命题得证.

３．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。一个周期函数有无穷多个周期，

如y=sinx，±2π,±4π…均为周期。一般函数的周期均指最小正周期，但并非所有周期函数都存在最小正周期.如:f(x)=c事实上,对任何y(-,+)都有f(x+y)=f(x).注意例：狄利克雷函数它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.４．函数的有界性:oyxM-My=f(x)X有界M-MyxoX无界则称函数若有成立，f(x)在X上有界.否则称为无界.

例

y=sin2x,y=cosx在（-∞,+∞)上均为有界函数,

y=x,y=x2在(-∞,+∞)上无界.成立，则称函数

y=f(x)在区间

I上是上方有界的,

简称有上界。设函数

y=f(x)在区间I上有定义。

若存在实数

M(可正，可负)，对一切

x

I恒有y=f(x)f(x)≤MM称为函数

y=f(x)的上界．

f(x)≥m在区间

I

上是下方有界的,简称有下界。设函数

y=f(x)在区间

I

上有定义。若存在实数

m(可正，可负),对一切

x

I

恒有

成立，则称函数

y=f(x)y=f(x)m则称函数

y=f(x)的下界．

函数y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在区间

I上:xyABO注意：上、下界不唯一.无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区在区间

I

上有下界，则必有若函数

间

I

上的下确界，记为