2019年上海高考数学 拓展学习2 数列

242019年高中数学•拓展学习数列1x1一、单调性：S1、已知数列｛a｝是首项为1,公差为2m的等差数列，前n项和为S，设b=亠(neN*)，若数列｛b｝是递nnnn-2nn减数列，则实数m的取值范围是.2、等差数列｛a｝的通项公式为a二2n-8，下列四个命题.a:数列｛a｝是递增数列；a:数列｛na｝是递增nn1n2n数列；a:数列<是递增数列；数列；a:数列<是递增数列；a：数列4{a2}是递增数列．其中真命题的是3、已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数X1，x2都有f(Xi+X2)二1+f(Xi)+f(x2)，且f(1)=1.(1)设对任意正整数(1)设对任意正整数n若不等式b+b+n+1n+2+b2n>35l0g2(X+1)对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围．新定义型：TOC\o"1-5"\h\z1、(运算型)已知各项均为正数的数列｛a｝满足(2a-a)(aa-1)=0(neN*)，且a=a，则首项a所有nn+1nn+1n11012、(方法型)设2、(方法型)设X1，x2，，10为1，2,,10的一个排列，则满足对任意正整数m,n，且1<m<n<10，都有x+m<x+n成立的不同排列的个数为()mn(A)512(B)256(C)255(D)643、(运算型)已知等比数列a、a、a、a满足ae(0,1)，ae(1,2)，ae(2,4)，则a的取值范围是()12341234A.(3,8)B.(2,16)C.(4,8)D.(2迈,6)4、(运算型)对于数列b｝，规定^Aa｝为数列｛a｝的一阶差分数列，其中Aa二a-a(neN*).对于正整nnn1nn+1n数k，规定｛Aa｝为^a｝的k阶差分数列，其中Aa二Aa-Aa.若数列^a｝的通项a=3n-i，则knnknk-1n+1k-1nnn+Aa三2n5、(运算型)以G,5、(运算型)以G,m)|'间的整数(m>1,meN)为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1;以次类推以C,mn)间的整数(m>1,meN)为分子间的整数G>1,meN)为分子，以次类推以C,mn)间的整数(m>1,meN)为分子以mn为分母组成不属于A,A,…,A的分数集合A，其所有TOC\o"1-5"\h\z12n-1n元素和为a；则a+a+•••+a=,n12n6、(概念型)已知二次函数f(x)=x2-ax+a(xeR)同时满足：不等式f(x)W0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在0<x<x，使得不等式f(x)>f(x)成立.设数列｛a｝的前n项和为S,且S=f(n).规定：1212nnn各项均不为零的数列｛b｝中，所有满足b•b<0的正整数i的个数称为这个数列｛b｝的变号数.若令b=1--nii+1nnan(neN*)，则数列｛b｝的变号数等于n7、(概念型)设a=log(n+2)(neN*)，称aaaa为整数的k为“希望数”，则在(1,2013)内所有“希nn+1123k望数”的个数为8、(匹配型)设数列％｝是公差不为零的等差数列,a=2,a=6，若自然数n,n，…n，…满足n1312k3<n<n<...<n<...，且a,a,a...a，…是等比数列，则n=12k13n1nkk

9、(定义型)设数列｛a｝的前n项和为S，若1<漳<2(neN*)，贝y称｛a｝是“紧密数列”;nn2ann⑴若a⑴若ai二丁4，求X的取值范围;TOC\o"1-5"\h\z(2)若｛a｝为等差数列，首项a，公差d，且0<d<a，判断｛a｝是否为“紧密数列”;n11n(3)设数列｛a｝是公比为q的等比数列，若数列｛a｝与｛S｝都是“紧密数列”，求q的取值范围;nnn10、(定义型)由m(m>2)个不同的数构成的数列a,a,a中，若1<i<j<n时，a<a(即后面的项a小于前面12njij项a)，则称a与a构成一个逆序，一个有穷数列的全帝逆序的总数成为该数列的逆序数，如对于数列3,2,1，iij由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3,2,1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列1，-1,1,-1的逆序数为4.248(1)计算数列a=—2n+19(1<n<100,neN*)的逆序数;n2)计算数列2)计算数列a=<<n<k,neN*)的逆序数;(3)已知数列a,a,a的逆序数为a，求a,a,a的逆序数.12nnn—1111、定义型)对于数列b｝，称PQ)=--(a&却Its+|+a卡)|(其中k>2,kgN)为数列｛a｝的前k项“波动均值”.若对任意的k>2,kgN，都有P(a)<P(a)，则称数列b｝为“趋稳数列”.k+1kn若数列1,x，2为“趋稳数列”，求X的取值范围；若各项均为正数的等比数列｛b｝的公比qg(0,1)，求证：｛b｝是“趋稳数列”；nn已知数列｛a｝的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S且对任意k>2,kgN，都有3P(S)=2P(a)，nkkk试计算：C2P(a)+2C3P(a)++(n—1)CnP(a)(n>2,ngN).n2n3nn12、(周期型)在数列｛a｝中，若存在一个确定的正整数T，对任意ngN*满足a=a，则称｛a｝是周期数列,nn+TnnT叫做它的周期•已知数列叩满足廿】，x=T叫做它的周期•已知数列叩满足廿】，x=a(a<1)，2x=|x—x|，n+2n+1n当数列｛x｝的周期为3时,n则｛叮的前2013项的和S2013=13、(定义型)若数列｛A｝对任意的ngN*,n都有A=Ak(k丰0)，且A13、(定义型)若数列｛A｝对任意的ngN*,nTOC\o"1-5"\h\zn+1nnn列”.(1)已知数列｛a｝满足a=2a2+2a且(1)已知数列｛a｝满足a=2a2+2a且ann+1nn12n已知正数数列｛b｝为“k级创新数列”且k丰1，若b=10，求数列｛b｝n1nn设0是方程x2—x—1=0的两个实根(a>p)，令k=空，在(2)的条件下，记数列｛c｝的通项=c+c，n+=c+c，n+1nc=0n-1-logT，求证：cnbnnn+2三、存在型：1、(存在型)已知数列｛a｝的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有n(a+aHFa)2=a3+a3HFa3.TOC\o"1-5"\h\z12n12n当n=3时，求所有满足条件的三项组成的数列a、a、a；123试求出数列｛a｝的任一项a与它的前一项a间的递推关系.是否存在满足条件的无穷数列｛a｝，使得nnn-1na=-2012?若存在，求出这样的无穷数列｛a｝的一个通项公式；若不存在，说明理由.2013n2、(探究型)已知数列｛a｝满足ai=-6，1+a+a++a—九a=0(其中九丰0且九工-1，ngN*).Sn1712nnF1n为数列｛a｝的前n项和.…n⑴若a2=a-a，求九的值；213⑵求数列｛a｝的通项公式a；nn1当九=了时，数列｛a｝中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，说明理由.3n3、(存在型)数列｛a｝中=k(a+a)对任意neN*都成立，数列｛a｝的前n项和为S.n12n+1nn+2nn(这里a,k均为实数)若｛a｝是等差数列，求k；n1若a=1,k=一一，求S；2n是否存在实数k，使数列｛a｝是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项a,a,a按某顺序排列后成等nmm+1m+2差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由.4、已知数列｛a｝中，a2=l,前n项和为S,且S="丿•n2nn2(1)求a1，a3；求证：数列｛an｝为等差数列，并写出其通项公式；设lgb=an+r，试问是否存在正整数p，q(其中lvpvq)，使b1，b，b成等比数列？若存在，求出所有满足条n3n1pq件的数组(p,q);若不存在，说明理由.5、已知数列力｝的前n项和为S，且满足a=5、已知数列力｝的前n项和为S，且满足a=a(a丰3),nn1求证：数列&｝是等比数列；n若a三a，neN*，求实数a的最小值；nan+1=S+3n，设b=S-3n，neN*.nnn1)2)an+13)当a二4时，给出一个新数列/｝，其中ennp,b,Vn，设这个新数列的前n项和为C，若C可以写nn(t,peN*且(t,peN*且t>1,p>1)的形式，则称C为“指数型和”.求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.6、给定数列｛a｝，若满足a=a(a>0且a丰1)，对于任意的n,meN*，都有a=a-a，则称数列｛a｝为n1n+mnmn指数数列.已知数列｛a｝，｛b｝的通项公式分别为a=3-2“-i，b=3“，试判断｛a｝，｛b｝是不是指数数列(需nnnnnn说明理由)；若数列｛a｝满足：a=2，a=4，a=3a—2a，证明：｛a｝是指数数列；n12n+2n+1nn若数列｛a｝是指数数列，a1=兰(teN*)，证明：数列｛a｝中任意三项都不能构成等差数列.n1t+4n四、衍生数列及子数列：1、已知数列｛a｝与｛b｝满足a—a=2(b—b),neN*.nnn+1nn+1n若b二3n+5,且a二1,求｛a｝的通项公式;TOC\o"1-5"\h\zn1n设｛a｝的第n项是最大项，即a>a(neN*),求证:｛b｝的第n项是最大项；n0n0nn0⑶设a—<0,b—n(neN*)，求九的取值范围，使得｛a｝有最大值M和最小值m，且使得笑e(—2,2).1nnm2、对于项数为m的有穷数列｛a｝，记b二max｛a,a，…,a｝(k二1,2,…,m)，即b为a,a，…,a中的最大值,nk12kk12k并称数列｛b｝是｛a｝是控制数列，如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.nn(1)若各项均为正整数的数列｛a｝的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的｛a｝；nn(2)设｛b｝是｛a｝的控制数列，满足a+bnnkm—k+1=C(C为常数，k=1,2(2)设｛b｝是｛a｝的控制数列，满足a+bnnkm—k+1kk(3)设m(3)设m二100，常数ae(2,1)若a二an2—(—1)2-n,｛b｝是｛a｝的控制数列，求nnn(b—a)+(b—a)++(b—a)11221001003、设数列｛a｝满足：①ai二1；②所有项aeN*‘③】二a<a<•••<a<av…•设集合TOC\o"1-5"\h\zn1n12nn+1A=｛Ia<m,meN*\将集合A中的元素的最大值记为b•换句话说，b是数列｛a｝中满足mnmmmn不等式a<m的所有项的项数的最大值.我们称数列£｝为数列｛a｝的伴随数列.例如，数列1,3,5的nnn伴随数列为1,1,2,2,3．若数列｛a｝的伴随数列为1,1丄2,2,2,3,请写出数列｛a｝；nn设a=3—1，求数列｛a｝的伴随数列｛｝的前100之和；TOC\o"1-5"\h\znnn若数列｛a｝的前n项和Sn2—n+c(其中c常数)，试求数列｛a｝的伴随数列｛｝前m项和T.nn22nnm4、、已知有穷数列｛a｝各项均不相等，将｛a｝的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列｛p｝,nnn称｛P｝为｛a｝的“序数列”例如数列：a,a,a满足a>a>a，则其序数列｛p｝为1,3,2.nn123132n写出公差为d(d丰0)的等差数列a,a,L,a的序数列｛p｝；12nn3若项数不少于5项的有穷数列｛b｝、｛c｝的通项公式分别是b二n•()n(neN*)，nnn5c=-n2+tn(neN*)，且｛b｝的序数列与｛c｝的序数列相同，求实数t的取值范围；nnn1若有穷数列｛d｝满足d1=1，1d一d()n(neN*)，且｛d｝的序数列单调递减，n1n+1n22n-1｛d｝的序数列单调递增，求数列｛d｝的通项公式.2nn五、恒成立：1、各项均为正数的数列｛b｝的前n项和为S，且对任意正整数n，都有2S=b(b+1).nnnnn求数列｛b｝的通项公式；n如果等比数列｛a｝共有m(m>2,meN*)项，其首项与公比均为2，在数列｛a｝的每相邻两项a与a之间TOC\o"1-5"\h\znnii+1插入i个(—l»b(ieN*)后，得到一个新的数列｛c｝.求数列｛c｝中所有项的和；inn如果存在neN*，使不等式b+<(n+1)九<b+成立，求实数九的范围.nbn+1bnn+12、数列｛a｝满足：a=2,a=a+九•2n，且a,a+1,a成等差数列，其中neN*。n1n+1n123求实数九的值及数列｛a｝的通项公式；n若不等式小卩=<2"+"成立的自然数n恰有4个，求正整数p的值.2n一5an3、已知数列｛a｝的前n项和为S,nn求｛a｝3、已知数列｛a｝的前n项和为S,nn求｛a｝的通项公式；n设b=2b-2n+i,b=8,n+1n1成立；a(3)设c二n(1+a)(1+a)nn+1值．4、已知数列｛a｝的前n项和为Sn，且a>0,a・SnnnngN*)1)若b二1+log(a-S)，求数列｛b｝的前n项和T；2)2兀若0<0<,2n2n二tan0，求证：数列｝为等比数列，并求出其通项公式;1111a——+a——+a——++a——122232n2nnn，若对任意的ngN*,c>m恒成立，求实数m的取值范围.n且S=2a—2(ngN*).nnT是数列｛b｝的前n项和，求正整数k，使得对任意ngN*均有T>T恒nnknR是数列｛c｝的前n项和，若对任意ngN*均有R<X恒成立，求九的最小nnn5、数列｛b｝5、数列｛b｝的前n项和为S,nn且对任意正整数n，都有S二nn(n+1)2(1)试证明数列｛b｝是等差数列，并求其通项公式;n如果等比数列｛a｝共有2017项，其首项与公比均为2,在数列｛a｝的每相邻两项a与a之间插入i个TOC\o"1-5"\h\znnii+1(-1)'b(ieN*)后，得到一个新数列｛c｝，求数列｛c｝中所有项的和；inn820如果存在neN*，使不等式(n+1)(b+)<(n+1)X<b+成立，若存在，nbn+1bnn+16、设数列｛a｝、｛b｝的各项都是正数，S为数列｛a｝的前n项和，且对任意neN*，nnnn都有a2=4S—2a—1,b=e,b=b九,c=a-Inb(常数九〉0，Inb是以e为底数的自然对数，e=2.71828)nnn1n+1nnn+1nn求数列｛a｝、｛b｝的通项公式；…nn(存在型)用反证法证明：当X=4时，数列｛c｝中的任何三项都不可能成等比数列；n设数列｛c｝的前n项和为T，试问：是否存在常数M，对一切neN*，(1—九)T+Xc三M恒成立？nnnn若存在，求出M的取值范围；若不存在，请证明你的结论.a+ca+b7、设数列{a},{b},{c},已知a=4,b=3,c=5,a=a,b=—nn,c=—nn(ngN*).nnn111n+1nn+12n+12求数列{c-b}的通项公式；nn求证：对任意ngN*,b+c为定值；nn设S为数列{c}的前n项和，若对任意ngN*，都有p-(S-4n)g[1,3]，求实数p的取值范围.nnn六、应用型：1、某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电．动．车．的牌照的数量维持在这一年的水平不变．记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列｛a｝，每年发放的电动型汽车牌照数n为构成数列｛b｝，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；n从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？2、某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加2万元．如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备（改造设备时间不计），一方面可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本．据测算，添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g（n）是生产时间n个月的二次函数g（n）=n2+kn（k是常数），且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都与第5个月相同．同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元．（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入．七、极限型：②lim(b-a)=0，则称nnns()1、对数列｛a｝,｛b｝若区间[a,b]满足下列条件：①[a,b]u[②lim(b-a)=0，则称nnns()nn，nnn+1n+1nnfab]｝为区间套。下列选项中，可以构成区间套的数列是n,n(1(1)(2)(12)2、已知点A1+—,0，B0,2+—，C2+—,3+—(n丿(n丿(nn丿，其中n为正整数，设S表示△ABC的面积，则

n(1)n(2)nnnAa=,b=B.a=,b=n(2丿n(3丿n(3丿nn2+1n-1(1)nn+3n+2C．a—,b-=1+—D．a—一，b—nnn13丿nn+2nn+1limS=nnT83、已知函数f（x）=]f：--；-1,T:；2,若对于正数kn（nN*），直线y=kn-X与函数y=f（X）的图像恰有2n+1个不同交点，则lim(k2+k2++k2)=12nnT84、定义函数f(x)二｛x-｛x｝｝，其中｛x｝表示不小于X的最小整数，如｛1.4｝二2,｛-2.3｝=—2•当xg(0,n](ngN*)时，函数f(x)的值域为A，记集合A中元素的个数为annn则lim’11++aa125、已知ngN*，在坐标平面中有斜率为n的直线l与圆x2+y2=n2相切，且l交y轴的正半轴于点P,交x轴于点nnn则limnT8PQnn2n2的值为6、设｛a｝是公比为q(q丰1)的等比数列，若｛a｝中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称｛a｝是封闭数列.1)2)3)n若a〔=2，q=3，判断｛a｝是否为封闭数列，并说明理由；1n证明｛a｝为封闭数列的充要条件是：存在整数m'-1，使巴二qm；n1记口n是数列｛an｝的前n项之积，bn=log2口n，若首项为正整数，公比q=2，试问：是否存在这样的'111)b丿n封闭数列｛a｝使lim，使nmg\bb12■9，若存在，求｛a｝的通项公式；若不存在，说明理由。yn八、函数综合：1、已知函数f(x)二21x+21—1x+11，无穷数列｛a｝的首项a二a；n1(1)若a二f(n)(ngN*),写出数列｛a｝的通项公式;nn(2)若a=f(a)(ngN*且n>2),要使数列｛a｝是等差数列，求首项a取值范围;nn—1n2、已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1+x)=f(1—x)，直线g(x)=4(x—1)被f(x)的图像截得的弦长为4x/17，数列(a｝满足a=2，(a—a)g(a)+f(a)=0CgN*)n1n+1nnn(1)求函数f(x)的解析式;求数列(a｝的通项公式；n设b=3f(a)—g(a)，求数列(｝的最值及相应的nnnn+1n3、平面直角坐标系xoy中，已知点(n,a)(ngN*)在函数y=ax(a三2,agN)的图像上，点(n,b)(ngN*)在直线nny=(a+1)x+b(bgR)上.(1)若点(1,a)与点(1,b)重合，且a<b，求数列｛b｝的通项公式；1122n(2)证明：当a=2时，数列｛a｝中任意三项都不能构成等差数列;n当b=1时，记A=当b=1时，记A=,ngN*},B={x|x=b,ngN*n},设C=AQB，将集合C的元素按从小到大的顺序排列组成数列｛c｝，写出数列｛c｝的通项公式c.nnn九、向量综合：1、若在边长为1的正三角形ABC的边BC上有n(neN*,n>2)等分点，沿向量BC的方向依次为P,P,…,P12n-1则T的值不可n29则T的值不可n记7^二AB-¥+AP1-AP2+…+APn-1-AC，若给出四个数值:①丁②10③18④苗能的共有(A)1个((A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2、如图所示，向量BC的模是向量AB的模的t倍，AB与BC的夹角为0，那么我们称向量AB经过一次(t,0)变换得到向量BC.在直角坐标平面内起始向量OA1三<4,0)；向量OA-经过n-1次f112^22，丁]变换得到的向量为AA换得到向量BC.在直角坐标平面内起始向量OA1三<4,0)；向量OA-经过n-1次f112^22，丁]变换得到的向量为AA(neN*,n>1),其中A,A,A(ieN*X为逆时针排列,n-1nii+1i+2记A.坐标为(a,b)(ieN*)，则下列命题中不正确的是()LiiA.B.C.D.b-b=0(keN*)3k+13ka-a=0(keN*)3k+13k-18(a-a)+(a-a)=0(keN*)k+4k+3k+1k3、我们把一系列向量a.(i=1,2,,n)按次序排成一列，称之为向量列，记作｛已知向量列n1(x,y)=-(x-y,x+y)(n>2).nn2n-1n-1n-1n-1爲丿是等比数列;证明：数列设c=a卜log|a，问数列｛c｝中是否存在最小项？若存在I——Inn已知等差数列｛a｝的前n项和为S，向量OP=2)4、，OP=1，求出最小项；若不存在，请说明理由fS)m,—m，Im丿OP=2fkS]Ik丿(n、m、keN*)，且OP=九PP+y•OP12，厕用n、m、k表示y二()．k-mk-nn-mn-m(A)k-n(B)k-m(C)-(D)n-kk-mnn十、解析几何综合：1、在xOy平面上有一系列的点P(x,y),P(x,y)，…，P(x