MBA数据模型与决策试卷与解答

数据模型与决策试卷一、建模计算分析题（30分）下面两个题目任选一个做即可艾伦是一个个人投资者，有70000美元可用于不同的投资。不同投资的年回报率分别为：政府债券8.5%，存款5%，短期国库券6.5%，增长股基金13%。所有的投资都要满1年后才对收益进行评估。然而，每项投资都会有不同的风险，因此建议进行多元投资。艾伦想知道每项投资各位多少可以使收益最大化。下面的方针可以使投资具有多样性，从而降低投资者的风险：（1）对政府债券的投资比例不要超过全部投资的20%。（2）在存款方面的投资不要超过其他3种投资的总和。（3）在存款和短期国库券方面的投资至少要占全部投资的30%（4）为了投资安全，在存款和短期国库券方面的投资与在政府债券和增长股基金方面的投资比例至少是1.2:1。（5）艾伦想把70000美元全部用来投资。如果全部投资不再正好是70000美元，其他条件不变，则模型应该如何变化？某投资咨询公司，为大量的客户管理高达1.2亿元的资金。公司运用一个很有价值的模型，为每个客户安排投资量，分别投资在股票增长基金、收入基金和货币市场基金。为了保证客户投资的多元化，公司对这三种投资的数额加以限制。一般来说，投资在股票方面的资金应该占总投资的20%~40%，投资在收入基金方面的资金应该确保在20%~50%，货币市场方面的投资至少应该占30%。此外，公司还尝试着引入了风险承受能力指数，以迎合不同投资者的需求。如该公司的一位新客户希望投资800000元。对其风险承受能力进行评估得出其风险指数为0.05。公司的风险分析人员计算出，股票市场的风险指数是0.10，收入基金的风险指数是0.07，货币市场的风险指数是0.01，整个投资的风险指数是各项投资占投资的百分率与其风险指数乘积的代数和。此外该公司预测股票基金的年收益是18%，收入基金的收益率是12.5%，货币市场基金的收益率是7.5%。现在基于以上信息，公司应该如何安排这位客户的投资呢？建立线性规划模型，求出使总收益最大的解，并根据模型写出管理报告。（1）如何将800000元投资于这三种基金。按照你的计划，投资的年收益是多少？（2）假设客户的风险承受指数提高到0.055，那么投资计划更改后，收益将增加多少？（3）假设客户的风险承受指数不变，仍然是0.05，而股票成长基金的年收益率从18%下降到14%，那么新的最佳投资方案是什么？（4）假设现在客户认为投资在股票方面的资金太多了，如果增加一个约束条件即投资于股票增长基金的资金不可以超过投资于收入基金的资金，那么新的最佳方案是什么？（5）当遇到预期收益率变化时，你所建立的线性规模模型应该可以对客户的投资方案做出修改，那么这个模型的适用范围是什么？二、建模计算题（30分）下面两个题目任选一个做即可1.股票、债券两种风险资产的有关数据如下表所示。表有关数据资产期望收益率（％）风险（标准差）b（%）债券D812股票E1320其中债券D和股票E之间相关系数p,=0.4，假设两种资产不允许卖空。DE（1） 求使投资组合标准差最小的债券D和股票E的投资比例；（2） 投资组合最小的标准差是多少？（3） 投资组合标准差最小对应的组合期望收益率是多少？2某厂根据订单合同在今后四个季度对某产品的需求量如下表所示。表有关数据季度1234需求量2324设每组织一次生产的生产准备费用为3千元，每件产品的生产成本为1千元，每次生产由于生产能力的限制最多不超过6件。又设每一件产品存储一个季度的费用为0.5千元，并且第一季度开始与第四季度末均没有产品库存，在上述条件下该厂应该如何安排各季度的生产与库存，以使总费用最低？三、案例分析题（40分）一个公司考虑到北京、上海、广州和武汉四个城市设立库房，这些库房负责向华北、华中和华南三个地区供货，每个库房每月可处理货物1000件。在北京设库房每月成本为4.5万元，上海为5万元，广州为7万元，武汉为4万元。每个地区的月平均需求量为：华北每月500件，华中每月800件，华南每月700件。发运货物的费用（元/件），见下表。表从四个城市发运货物到三个地区的单位费用单位：元华北华中华南北京200400500上海300250400广州600350300武汉350150350公司希望在满足地区需求的条件下是平均丿弓成本最小，且还要满足以下条件：1）如果在上海设库房，则必须也在武汉设库房。2） 最多设两个库房；3） 武汉和广州不能同时设库房。数据模型与决策试卷答案一、建模计算分析题（30分）1答案：决策变量：设x=投资于政府债券的美元数量；x=投资于存款的美元数量12X3=投资于短期国库券的美元数量；*4=投资于增长股基金的美元数量目标函数maxz=0.085x+0.05x+0.065x+0・13x1 2 3 4x1〜14000x<x+x+x2134x+x>2100023(x+x)/(x+x)>1.22 3 1 4x+x+x+x=700001234Xl=x2=0,x3=38181.82美元，x4=31818.18美元，z=6818.18美元。如果去掉全部投资70000美元的约束，则模型是：目标函数max z=0.085x+0.05x+0.065x+0.13xTOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4x<0.2(x+x+x+x)1 1 2 3 4x<x+x+x2134(x+x)/(x+x+x+x)>0.302 3 1 2 3 4(x+x)/(x+x)>1.22 3 1 4x+x+x+x<7000012342解：设投资于三种基金的数额分别是x,y,z，则投资的年收益是:1max z=0.18x+0.125y+0.075z0.2<x/800000<0.4,0.2<y/800000<0.5,z/800000>0.30.1x/800000+0.07y/800000+0.01z/800000<0.05x+y+z=800000x>0,y>0,z>0maxz=0.18x+0.125y+0.075z0.2<x/800000<0.4,0.2<y/800000<0.5,z/800000>0.30.1x/800000+0.07y/800000+0.01z/800000<0.055x+y+z=800000x>0,y>0,z>0max z=0.14x+0.125y+0.075z0.2<x/800000<0.4,0.2<y/800000<0.5,z/800000>0.30.1x/800000+0.07y/800000+0.01z/800000<0.05x+y+z=800000x>0,y>0,z>0maxz=0.18x+0.125y+0.075zx<y0.2<x/800000<0.4,0.2<y/800000<0.5,z/800000x<y0.1x/800000+0.07y/800000+0.01z/800000<0.05x+y+z=800000x>0,y>0,z>05对1部分的模型：max z=0.18x+0.125y+0.075z0.2<x/800000<0.4,0.2<y/800000<0.5,z/800000>0.30.1x/800000+0.07y/800000+0.01z/800000<0.05x+y+z=800000x>0,y>0,z>0由管理科学家软件可得出a,b,c的范围。maxz=ax+by+cz0.2<x/800000<0.4,0.2<y/800000<0.5,z/800000>0.3O.lx/800000+0.07y/800000+0.01z/800000<0.05x+y+z=800000x>0,y>0,z>00<a,b,c<l二、建模计算题(30分)第1题模型为：minz=◎=Jx2c2+(1一x)2c2+2x(1一x)ccppw1 1 1 2 1 1 12s.t.x+x=112E(r)=xE(r)+xE(r)=0.08x+0.13xP 1 1 2 2 1 2求此函数的最小值可得：1)投资比例Xd(x1)0.86Xe(1-x1)0.14(2)投资组合的标准差SigP=11.72%(3)组合的期望收益率ErP=x1*E(r1)+(1-x1)*E(r2)=8.68%第2题决策变量Xi为第i个季度的生产量i=1,2,3,4，si为第i个季度的期末库存量i=1,2,3,4引入0-1变量，yi为第i个季度是否组织生产i=l,2,3,4,0表示不生产，1表示生产目标函数min z=3(y1+y2+y3+y4)+1(x1+x2+x3+x4)+0.5(s1+s2+s3+s4)约束库存限制：对于每个季度，库存、生产和需求之间的关系：本季库存=上季库存+本季生产-本季需求第一季度：初始时没有库存，市场需求为2,则：s1=x1-2第二季度：第一季度有库存s1,市场需求为3，则：s2=s1+x2-3第三季度：第二季度有库存s2，市场需求为2,则：s3=s2+x3-2第四季度：第三季度有库存s3，市场需求为4,则：s4=s3+x4-4生产能力限制：因为每个季度组织一次生产有3千元的准备费用，且每件产品的生产成本是一样的，显然，尽可能少的季度开工可节约不少费用。产量与是否组织生产的关系为：生产量〈二生产能力X是否组织生产x<6yii根据要求，第四季度期末没有库存：s4=0Xi,si非负Yi=0，1;i=1,2,3,4min z=3(y1+y2+y3+y4)+1(x1+x2+x3+x4)+0.5(si+s2+s3+s4)si=x1-2s2=si+x2—3s3=s2+x3—2s4=s3+x4—4x<6yiis4=0Xi,si非负Yi=0，1;i=1,2,3,4应用计算机求解结果：第一、三季度生产，第二、四季度不生产。第一季度生产5，期末库存为3，第三季度生产6，期末库存为4总费用20.5四、案例分析(40分)参考答案：决策变量设x为城市i=l,2,3,4分别代表北京、上海、广州和武汉发运货物到j地区j=l,2,3分别代ij表华北、华中、华南的数量。y.为城市i=l,2,3,4分别代表北京、上海、广州和武汉是否设立库房。i目标函数minz=200x+400x+500x+300x+250x+400x+600x+350x+300xi2 i3 2i 22 23 3i 32 33+350x+150x+350x+45000y+50000y+70000y+40000y4i 42 43 i 2 3 43约束条件由于货物的总共供应量只能为2*1000=2000件(因为最多设两个库房),总需求量为500+800+700=2000件,所以是产销平衡的运输问题。对于四个城市,其发运的货物量不能超过每个库房每月可处理货物1000件,但由于有是否设立库房问题,也就是说,如果设立就有1000件,不设立就没有1000件(0件),所以每个库房每月可处理货物为1000yi北京：x+x+x=1000yi2 i3 i上海：x+x+x=1000y21 22 23 2广州：x+x+x=1000y3132333武汉：x+x+x=1000y4142434对于三个地区，其收到的货物量应等于需求量华北：x+x+x+x=50011213141华中：x+x+x+x=800223242华南：x+x+x+x