雅可比θ的函数

雅可比θ的函数雅可比θ的函数是椭圆的类似物指数函数,可以用来表达雅可比椭圆函数。θ的函数是quasi-doubly周期,通常表示在现代文本,尽管符号和(Borwein和Borwein1987)有时也使用。惠塔克和华生(1990,第487页)给出了表总结符号使用的各种早期的作家。θ的函数得到的Wolfram语言通过EllipticTheta(nz,q),并给出其衍生品EllipticThetaPrime(nz,q)。对理想气体平动配分函数可以使用椭圆θ的函数(黄金1961,pp。119年和133年,Melzak1973,p.122;Levine2002,p.838)。θ的函数可以表达的省,表示,或者是半周期比,表示,在那里和和是相关的(1)让多值函数被解释为代表。然后一个复数雅可比θ的函数被定义为(2)(3)(4)(5)单独写双无限金额作为无限的资金给稍微不那么对称的形式(6)(7)(8)(9)(10)(11)(惠塔克和沃森1990,页1990-464)。明确写出系列(12)(13)(14)(15)(Borwein和Borwein1987,52页,惠塔克和华生1990,p.464)。是一个奇函数的甚至,而其他三个功能.下面的表说明了quasi-double周期性的雅可比θ的函数。11在这里,(16)准周期可以建立如下的具体情况,(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)雅可比θ彼此的函数可以写成:(25)(26)(27)(惠塔克和沃森1990,p.464)。任何雅可比θ的函数给定的参数可以用其他两个雅可比θ的函数来表示相同的参数。的函数和满足身份(28)定义(29)雅可比θ的函数参数,上面绘制。然后双无限金额(

)(

)特别简单的形式(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36)(OEISA089800,A000122,A002448;Borwein和Borwein1987,p.33)。这个函数也给出了(37)在哪里是一个q-Pochhammer象征.这个函数(38)(39)(40)有时是数论中定义的上下文(达文波特1980,p.1980)。同样地,函数(41)(42)有时也定义(爱德华兹2001年,p.15)。这个函数满足(43)爱德华兹(雅可比黎曼1828;1828;2001年,15页),雅可比属性泊松和遵循的泊松求和公式。也满足了身份(44)(爱德华兹2001年,p.17)。特殊值包括(45)和(46)在哪里是γ函数,大多数都是特殊情况的Ramanujanθ的函数.一个特殊的导数值由于o.Marichev(per。2023年7月)是由通讯(47)上面的情节展示了雅可比θ的函数绘制的函数参数和省局限于真实值。特别美丽的情节,通过检查真正的和虚部的固定在复平面,如上图。雅可比θ的函数满足一个几乎令人困惑地大量涉及四个功能的身份,他们的衍生品,他们的论点的倍数,总结自己的观点。之间的不同寻常的身份维特克和沃森(1990)(48)(49)(惠塔克和沃森1990,p.464)(50)(51)(惠塔克和沃森1990,p.465),,……4,和。一类身份涉及广场雅可比θ的函数(52)(53)(54)(55)(惠塔克和沃森1990,p.466)。采取在(55)给出了特殊情况(56)这种类型的唯一标识。此外,(57)(58)雅可比θ的函数服从规那么等(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66)(惠塔克和沃森1990,p.487),(67)(68)(69)(70)(71)(72)(73)(74)(惠塔克和沃森1990,p.488),和(75)(惠塔克和沃森1990,p.488)。也有一系列的复制公式:(76)(77)(78)(79)(80)(81)(惠塔克和沃森1990,p.488)。比雅可比θ的函数导数函数本身的简单形式(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)(惠塔克和沃森1990,p.489)。雅可比θ的函数可以表示为产品,而不是资金(90)(91)(92)(93)在哪里(94)(惠塔克和沃森1990,页1990-470)。额外的美丽产品(“欧拉〞)表单是由Zucker(1990),局部总结在下表中,(95)和q-products都写,,,.θ的函数斯隆欧拉雅可比矩阵A000122A002448A089798A089799A089800A089801A089802A089805A080995A089806A089807A089810A089811A089812A089813额外的身份包括(96)(97)在这里,(98)(OEISA089814).雅可比θ功能满足偏微分方程(99)在哪里。比雅可比θ的函数在分母也满足微分方程(100)(101)(102)雅可比的虚构的转型表达而言,。有很多美丽的身份涉及雅可比θ的函数参数,,,和,,,相关的,(103)(104)(105)(106)(惠塔克和沃森1990,页1990-469,488年和490年)。使用的符号(107)(108)给出了高达288的身份表单(109)完整的椭圆积分的第一和第二种可以使用雅可比θ表示函数。让(110)和插入(

)(111)现在写(112)和(113)然后(114)在哪里椭圆模量被定义为(115)定义的补充椭圆模量(116)现在,因为(117)我们展示了(118)这个方程的解(119)这是一个雅可比椭圆函数与时间(120)和(121)让是第一类完全椭圆积分与模量,然后(122)(123)(124)在哪里是互补的模量.雅可比θ函数提供分析解决许多棘手的问题在数学和数学物理。例如,雅可比θ功能有关平方和函数给的数量表示通过两个正方形(125)(126)(Borwein和Borwein1987,p.34)。一般五次方程是可以解决的雅可比θ的函数,这些函数提供一种一致收敛的吗格林函数一个矩形区域(Oberhettinger和马格努斯1949年)。最后,雅可比θ功能可以使用使均匀所有椭圆曲线。雅可比椭圆函数也可以用来使均匀一些超椭圆曲线,虽然只有两个这样的例子是的。是一个经典的例子伯恩赛德曲线,第二个是1995年发现法卡斯和热泪盈眶。参见:雅可比椭圆函数雅可比椭圆函数的标准形式椭圆函数。这三个根本功能是表示,,,在那里被称为椭圆模量。他们出现的反演第一类椭圆积分,(1)在哪里,是椭圆模量,是雅可比振幅,给(2)从这个,它遵循(3)(4)(5)(6)(7)(8)这些函数是三角函数的双周期概括满意(9)(10)(11)而言,雅可比θ的函数,(12)(13)(14)(惠塔克和沃森1990,p.492),在那里(惠塔克和沃森1990,p.464)和椭圆模量是由(15)雅可比椭圆函数的比率用结合的第一个字母分子与第一个椭圆函数分母椭圆函数。椭圆的乘法逆函数用扭转两个字母的顺序。这些组合给共有12个功能:cd,cn,cs,直流,dn,ds,数控,nd,ns,sc、sd、锡。这些功能的实现Wolfram语言作为JacobiSN(z,m)等等。同样,逆雅可比函数实现InverseJacobiSN[v,m]等等。的雅可比振幅定义的通过(16)的参数是经常抑制简洁如此,例如,可以写成.雅可比椭圆函数是周期性的和作为(17)(18)(19)在哪里是第一类完全椭圆积分,,(惠塔克���沃森1990,p.503)。的,,功能也可以被定义为解决微分方程(20)(21)(22)分别。标准雅可比椭圆函数满足身份(23)(24)(25)(26)特殊值包括(27)(28)(29)(30)(31)(32)在哪里是一个第一类完全椭圆积分和是互补的椭圆模量(惠塔克和沃森1990,页1990-499),和(33)(34)(35)在积分方面,(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(惠塔克和沃森1990,p.494)。雅可比椭圆函数加法公式(包括,例如,被编写为简洁)(48)(49)(50)延长积分时间,(51)(52)(53)(54)(55)(56)为复杂的参数,(57)(58)(59)衍生品雅可比椭圆函数包括(60)(61)(62)(赴1969年,p.1969;Zwillinger1997,p.136)。Double-period公式涉及包括雅可比椭圆函数(63)(64)(65)半周期公式涉及包括雅可比椭圆函数(66)(67)(68)平方公式包括(69)(70)(71)泰勒级数的雅可比椭圆函数被认为是埃尔米特(1863),Schett(1977),和杜蒙(1981)(72)(73)(74)1972年(阿布拉莫维茨和Steguneqn。16.22)。参见:雅可比振幅的变量(也表示)中使用椭圆函数和椭圆积分被称为振幅(或雅可比振幅)。它可以被定义(1)(2)在哪里是一个雅可比椭圆函数与椭圆模量。是很常见的,雅可比椭圆函数,模量通常隐含的简洁性。雅可比振幅的逆函数第一类椭圆积分。振幅函数的实现Wolfram语言作为JacobiAmplitudem],[u是参数.这是相关的第一类椭圆积分通过(3)(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.589)。的导数雅可比的振幅是由(4)或使用的符号,(5)振幅函数的特殊值(6)(7)在哪里是一个第一类完全椭圆积分。此外,它遵循的身份(8)(9)(10)(11)(12)(13)作为定义雅可比椭圆函数.维尔斯特拉斯椭圆函数维尔斯特拉斯椭圆函数(或维尔斯特拉斯函数,表示“函数〞)是椭圆函数,不像雅可比椭圆函数,有一个二阶极在。指定完全half-periods(和)或椭圆不变量(和)必须被指定。这两种情况是表示和,分别。维尔斯特拉斯椭圆函数的实现Wolfram语言作为WeierstrassP(u,g2,g3]。Half-periods和不变量可以互换使用Wolfram语言命令WeierstrassInvariants[ω,₂),WeierstrassHalfPeriods[g2,g3]。维尔斯特拉斯实现椭圆函数的导数WeierstrassPPrime(u,g2,g3),实现为逆维尔斯特拉斯函数InverseWeierstrassP[p,g2,g3].InverseWeierstrassP[p,问,g2,g3)发现的独特价值的和.上面的情节显示维尔斯特拉斯椭圆函数和它的衍生物为椭圆不变量和沿着实轴.上面的图显示了维尔斯特拉斯函数及其衍生品的椭圆不变量.特定的情况下椭圆不变量和有特殊的名称总结在下表中(阿布拉莫维茨和Stegun1972)。真正的半周期equianharmonic案例被称为omega2-constant.案例名称01equianharmonic案例10双纽线的情况0pseudolemniscate案例维尔斯特拉斯椭圆函数定义(1)(惠塔克和沃森1990,p.434),总理表示条件的总和为零分母都省略了。写。这个可以写(2)一个等价定义,收敛更快(3)(惠塔克和沃森1990,p.434)。是一个偶函数自给出了以不同的顺序相同的条款。级数展开的是由(4)在哪里(5)(6)和(7)为(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.635)。第一个值为而言,和是由(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(阿布拉莫维茨和Stegun1972,p.636)。维尔斯特拉斯椭圆函数描述如何从一个环面给出的解决方案椭圆曲线的代数形式椭圆曲线.维尔斯特拉斯出现椭圆函数的微分方程可以通过扩大找到关于原点的功能.(15)但甚至功能和(16)的衍生品(17)(18)(19)(20)所以(21)(22)插入,(23)定义椭圆不变量(24)(25)然后(26)(27)现在多维数据集(26)和广场(27)(28)(29)把(29日)-(28)抵消了词,给(30)(31)给(32)但是,从(

)(33)所以可以编写和(

)(34)但维尔斯特拉斯椭圆函数是分析在原点,因此在各方面相等的原点。没有其他地方可能发生一个奇点,这是一个函数椭圆函数没有奇异点。通过刘维椭圆函数定理因此,它是一个常数。但是,随着,,所以(35)(惠塔克和沃森1990,页1990-437)。微分方程的解(36)因此,由,提供数字和满足方程定义的存在椭圆不变量。写作的微分方程的根,,,(37)(Rainville1971,p.1971),(38)(39)(40)(41)(42)现在(

)除以4+((

)除以4)数量的平方,(43)(44)这个词在右边的一半Schwarzian导数.的导数维尔斯特拉斯椭圆函数解(45)(46)(47)这是一个奇函数这本身就是一个椭圆函数与杆的订单3。的积分是由(48)二阶导数满足(49)(很有1997年,p.23)。一个重复的公式得到如下。(50)(51)(52)(53)(很有1997年,p.24)。一般的加法定理得到如下。鉴于(54)(55)为零和在哪里,找到第三个零。考虑。这的订单三杆,但零的总和()等于两极的的总和椭圆函数,所以和.(56)(57)结合(

),(

)和(

)(58)所以(59)定义在哪里和给出了对称形式(60)(惠塔克和沃森1990,p.440)。表达明确,重新开始(61)在哪里.(62)但从(

),,所以(63)的解决方案是由(64)但根之和等于系数的平方项(65)(66)(67)(68)(惠塔克和沃森1990,p.441)。半周期身份包括(69)(70)(71)(72)相乘,(73)(74)这给了(75)(76)惠塔克和沃森(1990,第445页),(77)函数是均匀,(78)(79)逆函数,找到和的当考虑到。让,,根等不是一个实数或。确定半周期比从(80)现在选择(81)只要,时间(82)(83)维尔斯特拉斯椭圆函数可以表达的雅可比椭圆函数通过(84)在哪里(85)(86)(87)和椭圆不变量是(88)(89)在这里,.维尔斯特拉斯椭圆函数的加法公式可以推导出如下(维特克和沃森1990,p.1990)。(90)使用(91)所以(92)(93)使用,(94)(95)但和(96)所以(97)维尔斯特拉斯时期的椭圆函数给出如下。当和是真正的和,然后,,是真正的和定义,.(98)(99)(100)维尔斯特拉斯椭圆函数满足的根源(101)(102)(103)在哪里。的s是根的是不平等的。他们可以找到的关系(104)(105)(106)参见:平方和函数代表的数量通过广场,允许0和区分信号和秩序,是表示。的特殊情况对应于两个正方形通常是简单地表示(如。,哈代和赖特1979,p.241;小腿1993,p.162)。例如,考虑多种方式的代表5两个正方形的总和:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)所以。同样的,(9)(10)(11)(12)(13)(14)所以.的Wolfram语言函数SquaresR(k,n)。相比之下,函数PowersRepresentations[n,k,2]给出的列表无序的无符号表示作为一个列表广场。,给作为唯一的“独特〞表示5。这个函数是紧密相连的莱布尼茨系列和高斯圆问题(希尔伯特和Cohn-Vossen1999,页27-39)。它也是由默比乌斯变换的逆变换序列和(斯隆和普劳夫1995,p.22)。的平均订单是,但正常秩序是0(哈代1999年,p.55)。雅可比给解析表达式的情况下、4、6和8(雅可比1829;哈代和赖特1979,p.316;哈迪1999,p.132)。的情况下4和6将被发现系数的雅可比θ的函数,,。的解决方案和12所发现刘维尔(1864、1866)和艾森斯坦(哈代和赖特1979年,p.316),和Glaisher(1907)给出了表达。然而,公式和包含函数只定义为模块化的系数函数,但并不是用算术方法(哈代和赖特1979年,p.316)。Ramanujan(2000)扩展Glaisher的表。Boulyguine(1915)发现的一般公式每个函数都有一个算术定义(哈代和赖特1979年,p.316;2005年迪克森,p.317)。被发现是一个涉及二次互反性符号的有限和狄利克雷。和被艾森斯坦发现,史密斯和闵可夫斯基。莫德尔、哈代、Ramanujan已经开发出一种方法适用于奇数表示的方块(哈迪1920;莫德尔1920,1920;Estermann1937;哈迪1999)。在有多少种方法一个正整数可以表示为一笔吗这是广场无视秩序和迹象,因素(15)在哪里s是质数的形式和s是质数的形式。如果没有这样一个表示整数吗因为一个或更多的权力是奇数,那么没有表示。否那么,定义(16)代表的数量作为两个正方形的和无视秩序,然后给出的迹象(17)(Beiler说1966,页140-142)。同样的,为是由(18)一个正整数可以表示成两个正方形的总和敌我识别它的每个主要因素的形式甚至出现作为一个权力,因为在1738年首次建立了欧拉。在拉格朗日正方形定理拉格朗日证明每一个正整数可以写成的总和最多4个广场,尽管四个可能减少到三个数字除外的形式.Diophantus首先研究问题相当于找到三个平方的总和,说这个问题,不得的形式,这不过是一个条件缺乏(迪克森2005年,p.2005)。在1621年,随后Bachet排除在外和。最后,费马(ca1636)说,Bachet未能排除的条件,149,等等,给正确的充分条件不得的形式,所以不是形式,或等价.1636年,费马表示,没有整数的形式是三个理性的和广场,1638年,笛卡尔证明这个整数平方。1658年,费马随后断言(但没能证明),在那里是主要的形式吗(即。,任何主要的形式)是三个平方的总和。1775年,费马断言拉格朗日取得了一些进展,但并不能完全证明了这一点。1785年,勒让德说,费马的说法也适用于所有奇数(不仅仅是质数),然后给了一个不完整的证明每个数字或其是三个正方形的总和的两倍。Beguelin(1774)认为每个整数相等的1,2,3,5或6(mod8)一笔三个正方形,但没有足够的证据(迪克森2005年,p.15)。1798年勒让德的理论des数量,勒让德证明了每一个正整数的形式或一笔三个广场没有公因数(Nagell1951,p.1951;井194,pp。48、56个;哈迪1999,p。12;Savin2000)。为0时有一个'除数的形式到一个奇怪的权力,双打到达一个新的'的形式。最初几个值是1,4,404,80,0,4,4,80,0,0,0,4、8、4080,0,0,0,12日80,0,…(OEISA004018)。一个兰伯特系列是由(19)(哈代和赖特1979,p.258)。的生成函数为是由(20)(21)(22)在哪里是一个雅可比椭圆函数和是一个q-Pochhammer象征.它显式地给出(23)(24)(25)在哪里的数量是因数的的形式(希尔伯特和Cohn-Vossen1999,页37-38;哈迪1999,p。12)。遵守意想不到的身份(26)为,(27)和(28)(哈代1999,p.82)。最初几个summatory函数的值(例如,哈代和赖特1979,p.270)定义的(29)是0、4、8、8、12、20、20、20、24、28岁,36岁,…(OEISA014198),修改后的函数定义的小腿(1993)(30)(31)明确的价值观10几个国家在下表中给出(米切尔1966;小腿1993,pp。165年和234年)。051372317年33149年431417年5314197年63141549831415905310314159254571214渐近结果包括(32)(33)在哪里是一个常数称为Sierpiński常数。左边上面的情节(34)与说明了弯曲的信封,和图所示(35)的值表示作为坚实的水平线。解决方案的数量(36)对于一个给定的没有限制的迹象或相对大小,,是由。高斯证明,如果是squarefree和,然后(37)(1992年阿诺),是类数的.的生成函数为是由(38)(39)一般而言,(40)为,(41)身份为,是由(42)(43)在哪里和(44)史密斯(1829年雅可比,§40-42;1965;哈代和赖特1979,p.314)。为,(45)在哪里(46)(47)(48)这个方程为是由刘维尔(1864,1864)。(49)(50)(51)在哪里(52)(53)是一个所谓的奇异系列,是τ函数.类似的表达存在较大甚至τ函数一个函数有关除数函数,有时也称为Ramanujanτ函数。这是通过定义傅里叶级数的模块化的判别为,在那里是半平面上,通过(1)(很有1997年,p.20)。τ函数也是的柯西产品(2)(3)在哪里是除数函数(很有1997,pp。24和140年),,.τ的函数生成函数(4)(5)(6)(7)(8)在哪里是一个q-Pochhammer象征。最初几个值是1,,252,,4830,…(OEISA000594)。τ函数给出的Wolfram