【压轴题】空间立体几何经典大题汇编(含答案)20

试卷第试卷第55页，总60页由图形可知，所求二面角为钝角，•••二面角A-PB-C由图形可知，所求二面角为钝角，•••二面角A-PB-C的余弦值【点睛】本小题主要考查面面垂直关系的判断，考查利用空间向屋法计算二面角的余弦值，考查空间想彖能力和逻辑推理能力，属于中档题.⑴证明见解析；(2)2【解析】【分析】求出OB、OP和BP的数量关系，根据勾股定理可证OB丄OP，又WD是正三角形，所以丄4£＞，根据直线与平面垂直的判定定理，可证03丄平面PAD；建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量所成的余弦值，从而可以求出平面P3C与平面P4D所成二面角的正弦值.【详解】(1)证明：连结OP,BD，因为底面ABCD为菱形，ZBAD=60。,故40=仙=血，又0为AD的中点,故03丄4D.在厶4"中，ZAPD=90°,0为4D的中点，所以PO=-AD=AO.2设AD=PB—2a,则OB=y/3a»PO—OA=a,因为PO-+OB-=a2+3cr=4/=PB2,所以03丄OP•（也可通过HPOB^HAOB来证明OB丄OP）,又因为OPHAD=O,OPu平面PAD、ADd平面PAD,所以OB丄平面PAD；（2）因为AD丄PO,AD1OB,BO[}PO=Oy所以AZ）丄平面POB,又POu平面POB,所以PO丄AD.由（1）得OB丄平面PAD>又OPu平面PAD，故有OP丄OB,又由丄03,所以OA,OB,OP所在的直线两两互相垂直.故以0为坐标原点，以OA,OB,OP所在直线为x轴，V轴，乙轴如图建系.设AP=2,则4（1,0,0）,£>（-1,0,0）,B（0,>/3,0）,P（0,0,l）.所以丙=（0,若,一1）,荒二丽=（一2,0,0,）,0^=（0,^3,0,）,由（1）知丄平面PAD>故可以取与OB平行的向量齐=（0丄0）作为平面PAD的法向量.—\ifi-BC=-2x=0设平面PBC的法向量为m=（x,y,z）,则{—-,[mPB=>/3y-z=0令y=l,所以加=（0丄、疗）.Icl一fH1设平面FBC与平面PAD所成二面角为0,而|cos&|=cosv〃叩7>===亍mnL则sin&=逅，所以平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为逅•22【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，空间向量法求二面角，属于综合题。(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)推导出CD//AB,从而CD〃平面刊B,进而CD〃”，AB//EF,再由E为的中点，能证明F为刊的中点；(2)推导出4E丄PB,从而4E丄平面PBC,AE丄BC,由ABCD是矩形，得AB丄BC,从而BC丄平面刊B,由此能证明BC丄刊.【详解】(1)因为ABCD是矩形，所以，CD//AB,又ABu平面刊B,CQ(Z平面刊B,所以CD〃平面刊B,又CDu平面CDEF,平面CDEFCI平面PAB=EF,所以CD//EF,所以AB//EF,又在中，E为PB的中点,所以F为彷的中点.(2)因为PA=AB,£为卩3的中点，所以AE丄PB,AEu平面PAB又平面E4B丄平面PBC,平面PABC\平面PBC=PB,所以AE丄平面PBC,BCu平面PBC,所以AE丄BC,又ABCD是矩形，所以AB丄BC,AE(}AB=A,AB,AEu平面刊B,所以，BC丄平面刊B,Mu平面刊B,所以BC丄Pl.【点睛】本题考查线段中点的证明，考查线线的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.(1)证明见解析(2)2+血【解析】【分析】(1)取AB中点连结HF,GH,推导出平面HGF〃平面ADE,由此能证明GF〃平面ADE；(2)推导出CF丄BC,CF丄CG,CG丄BG,CFT,BC=2,BG=1,CG=JT,三棱锥F—BGC的表面积：S=S+SbFGC+SaFBG+SQG•【详解】(1)取AB中点H,连结HF,GH,TF是线段CD上的中点，G是线段BE的中点，:.HF〃AD,GH//AE,•・・HFAHG=H,ADC\AE=A,HF、HGu平面HGF,AD、AEu平面ADE,・•・平面HGF〃平面ADE,•:GFu平面HGF,••・GF〃平面ADE.(2)I在几何体ABCDE中，AB丄平面BCE,且△BCE是正三角形，四边形ABCD为正方形，F是线段CD上的中点，G是线段BE的中点，且AB=2.：.CF丄BC,CF丄CG,CG丄BG,CF=1,BC=2,BG=\,CG=丁4_1=>/T，••・三棱锥F-BGC的表面积：S=S申°+S.fgc+S申g+S®=Axlx2+Axlx734xlx2+lxlx^=2+^.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合思想，是中档题.49.(1)2屁；(2)£【解析】【分析】

易得三棱锥4-3CQ为正四面体,故计算一个面的面积再乘以4即可.以D为空间直角坐标系原点建系，再求得异面直线BD与B'O所成的角即可.【详解】(1)由题，因为正方体ABCD-A^B^C1^的棱长为5故三棱锥A^-BC^D为正四面体，且棱长为屆巅A7CD长为屆巅A7CD表面枳为S=4x⑵以D为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系,DBOB'易得00,0,0),Baa,0),0(#,0,彳),Ba,°),故丽=(a,a,0),加=(牛°,弓).DBOB'设异面直线3D与B'O所成的角为/则cos<9=-_-厂一°・I网H岳也22故0=兰.即异面直线BD与3'O所成的角为三66【点睛】本题主要考查了三棱锥表面积的运算以及空间向量求解线线角的问题，属于基础题型.50.(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】【分析】证明四边CDFE■是平行四边形，再用线面平行的判定定理即可证明；利用线面垂直得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明.【详解】证明：(1)•••45CD,EF相互平行，四边形ABEF是梯形.CD=EF,・•・四边形CDFE是平行四边形，/.DF||CE,DF(Z平面BCE,CEu平面BC