谈“一线三等角”优秀课件

寻图形之关联搭模型之框架——谈“一线三等角”寻图形之关联搭模型之框架——谈“一线三等角”1缘从何起数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部分。著名数学大师华罗庚曾说：“学数学不做题目，等于入宝山而空返”；著名数学教育家波利亚说：“掌握数学就意味着要善于解题”。毋庸讳言，初中三年的数学教学的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。因此，师生加强中考数学解题研究，有着极其重要的现实意义。缘从何起数学离不开解题，解题教学是数学教学的2缘从何起在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到广大数学师生的关注，而在众多的基本模型中，相似模型因其种类多、图形美、内涵丰富，常常成为中考能力考察的核心。而“一线三等角”模型作为其中的“翘楚”，更是受到了许多中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈。其中有些试题，“一线三等角”直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开；另有部分试题，“一线三等角”并非直观呈现，而是隐藏在所给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地予以构造，挖掘出图中隐藏的“一线三等角”。

缘从何起在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗3追根溯源追根溯源4追根溯源你会证明勾股定理吗？你能用至少三种方法证明勾股定理吗？追根溯源你会证明勾股定理吗？你能用至少三种方法证明勾股定理吗5“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在这里我们统一称为“一线三等角”。在我们的上一年的，一模中主要考察的是“一线三直角”。追根溯源“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角6模型呈现直角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA——“一线三直角”模型呈现直角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA——“一7模型呈现锐角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CAB模型呈现锐角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CA8模型呈现钝角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CAB模型呈现钝角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CA9模型呈现一线三等角直角形“一线三等角”锐角形“一线三等角”钝角形“一线三等角”△ADB∽△CEA△ADB∽△CEA△ADB∽△CEA最特殊考到几率最大模型呈现一线三等角直角形“一线三等角”锐角形“一线三等角”钝10模型应用类型一三角齐见，模型自现1.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=

，则AB的长为

．

模型应用类型一三角齐见，模型自现1.如图，E、F、G、H11模型应用类型一三角齐见，模型自现（2017·四川绵阳·17）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD:AB=1:3，则的最小值为

．（提示:若a>0,b>0;则a+b≥）模型应用类型一三角齐见，模型自现（2017·四川绵阳·112以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．

模型应用类型一概述以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模13模型应用类型二隐藏局部，小修小补（2017·泰安·14）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E，若AB=12，BM=5，则DE的长为（）F模型应用类型二隐藏局部，小修小补（2017·泰安·14）14模型应用类型二隐藏局部，小修小补（2017·丽水·16）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于点A、B，已知点C（2,0）。（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是

；（2）设点P为线段OB的中点，联结PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是

。模型应用类型二隐藏局部，小修小补（2017·丽水·16）15模型应用类型二概述上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显:均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．

模型应用类型二概述上述两道题虽分别以四边形和一16模型应用类型三一角独处，两侧添补（2015·连云港·16）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，l1、l2、l3分别经过A、B、C，则边AC的长为

。——“矩形大法”模型应用类型三一角独处，两侧添补（2015·连云港·1617模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题1）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=，则点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．

模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题1）如图，在平面18模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题2）（2019•潮南区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（-，）。过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题2）（2019•19模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题3）如图，在平面直角坐标系中，点A（0,），点B（4,0），点C在第一象限内，若△ABC为等边三角形，则点C的坐标为

。模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题3）如图，在平面20上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．

模型应用类型三概述上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、21模型应用类型四线角齐藏，经验来帮（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是

。

模型应用类型四线角齐藏，经验来帮（2019•盐城）如图，22模型应用类型四概述本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。本题意在寻求突破，体现分层考查，有着较好的考试信度与效度．

模型应用类型四概述本题实质上以图形的旋转为问题23通过上述四种应用类型的后三种，我们不难发现：对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题中所给的已知角或挖掘图中隐藏的特殊角，通过“找角，定线，搭框架”，让模型“现出原形”，则解题思路便会油然而生，豁然开朗。应用综述通过上述四种应用类型的后三种，我们不难发现：24不当之处，敬请批评指正不当之处，敬请批评指正25教学启示在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由同一类基本模型延伸而来的试题，这些试题虽呈现的背景不尽相同，但解决问题的方法和思想相通，这就要求教师在平时的解题教学中，充分挖掘习题的内在价值，鼓励学生对问题进行深入研究，引导并总结出一般化的方法，同时要让学生尝试利用在解题过程中所积累的经验，对试题中所蕴藏的基本模型进行挖掘与提炼．只有让学生学会自主地反思、推进、提炼，才能做到“掌握模型，举一反三，通一类题”，同时通过对一些基本模型和结论的挖掘，能更好地弄清问题的本质，为解决问题搭建好思维的“脚手架”，进而切实有效地提升学生的解题能力，发展学生的思维水平．教学启示在近几年的各地中考试卷中，逐渐涌现出由26当基本模型经过提炼并熟练应用后，教师应引导学生对该模型的变式与拓展进行更深层次地探究，通过让学生在拓展基本模型的过程中，感悟模型的本质，从而做到化题为型、串题成链、结题成网，真正实现思维品质的提升．

教学启示当基本模型经过提炼并熟练应用后，教师应引导学27一点想法利用已有的数学模型来解决数学问题确实有效，但是我们的教学过程中不能“泛模型化”，要更多地关注数学本质，引导学生主动建构，少一点教师先入为主的机械灌输；要顺应学生的认知逻辑，避开“模型”陷阱．如何进行数学模型教学的问题，说到底是教学观念的问题，即是以教师为中心还是以学生为中心，是知识本位还是能力本位，是关注学生发展还是专注考试分数．教师要以学生为中心，以能力为本位，将数学建模作为教学的过程与手段，在解决问题时引导学生建构运用数学模型，“化繁为简，扣住问题本质属性，排减一些非本质的东西来思考问题，为解决问题提供策略帮助，以此强化建模意识，掌握数学知识与方法，发展数学能力，这才是数学模型教学应有的价值．

一点想法利用已有的数学模型来解决数学问题确实28寻图形之关联搭模型之框架——谈“一线三等角”寻图形之关联搭模型之框架——谈“一线三等角”29缘从何起数学离不开解题，解题教学是数学教学的重要组成部分。著名数学大师华罗庚曾说：“学数学不做题目，等于入宝山而空返”；著名数学教育家波利亚说：“掌握数学就意味着要善于解题”。毋庸讳言，初中三年的数学教学的成与败，将直接体现在学生中考两个小时的解题能力上。因此，师生加强中考数学解题研究，有着极其重要的现实意义。缘从何起数学离不开解题，解题教学是数学教学的30缘从何起在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗透越来越受到广大数学师生的关注，而在众多的基本模型中，相似模型因其种类多、图形美、内涵丰富，常常成为中考能力考察的核心。而“一线三等角”模型作为其中的“翘楚”，更是受到了许多中考命题者的青睐，以其为基本框架而精心设计的试题，在近些年各省市的中考中，屡见不鲜，精彩纷呈。其中有些试题，“一线三等角”直接跃然于纸上，让人一目了然，茅塞顿开；另有部分试题，“一线三等角”并非直观呈现，而是隐藏在所给的图形中，这就需要我们通过观察辨别和分析探究，合理地予以构造，挖掘出图中隐藏的“一线三等角”。

缘从何起在近些年的数学中考复习中，模型教学与渗31追根溯源追根溯源32追根溯源你会证明勾股定理吗？你能用至少三种方法证明勾股定理吗？追根溯源你会证明勾股定理吗？你能用至少三种方法证明勾股定理吗33“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”，在这里我们统一称为“一线三等角”。在我们的上一年的，一模中主要考察的是“一线三直角”。追根溯源“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角34模型呈现直角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA——“一线三直角”模型呈现直角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA——“一35模型呈现锐角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CAB模型呈现锐角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CA36模型呈现钝角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CAB模型呈现钝角形“一线三等角”结论：△ADB∽△CEA∽△CA37模型呈现一线三等角直角形“一线三等角”锐角形“一线三等角”钝角形“一线三等角”△ADB∽△CEA△ADB∽△CEA△ADB∽△CEA最特殊考到几率最大模型呈现一线三等角直角形“一线三等角”锐角形“一线三等角”钝38模型应用类型一三角齐见，模型自现1.如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=

，则AB的长为

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模型应用类型一三角齐见，模型自现1.如图，E、F、G、H39模型应用类型一三角齐见，模型自现（2017·四川绵阳·17）将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD:AB=1:3，则的最小值为

．（提示:若a>0,b>0;则a+b≥）模型应用类型一三角齐见，模型自现（2017·四川绵阳·140以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模型的框架已搭建，因此降低了试题的起点．两道题虽涉及不同的图形变换，但解法本质一致，均为利用模型构建比例式解决问题．两道题都着重考查学生在图形变换过程中的观察理解、直观感知、推理转化等数学能力和思想．

模型应用类型一概述以上两例都是典型的“一线三等角”试题，由于模41模型应用类型二隐藏局部，小修小补（2017·泰安·14）如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E，若AB=12，BM=5，则DE的长为（）F模型应用类型二隐藏局部，小修小补（2017·泰安·14）42模型应用类型二隐藏局部，小修小补（2017·丽水·16）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴、y轴于点A、B，已知点C（2,0）。（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是

；（2）设点P为线段OB的中点，联结PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是

。模型应用类型二隐藏局部，小修小补（2017·丽水·16）43模型应用类型二概述上述两道题虽分别以四边形和一次函数为命题背景，但图形的共性较明显:均将原有“一线三等角”模型中的一角进行了隐藏，而这就要求学生理性地从图形的角度进行思考与联想，发现其中最本质的特征，挖掘蕴含在图中的几何模型．两道题均较好地体现了对“四基”的综合考查，提升了学生思维的层次性和灵活性．

模型应用类型二概述上述两道题虽分别以四边形和一44模型应用类型三一角独处，两侧添补（2015·连云港·16）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，l1、l2、l3分别经过A、B、C，则边AC的长为

。——“矩形大法”模型应用类型三一角独处，两侧添补（2015·连云港·1645模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题1）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作矩形ABCD，使AD=，则点C的坐标为_______，点D的坐标为_______．

模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题1）如图，在平面46模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题2）（2019•潮南区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为（-，）。过点C1作C1N⊥x轴于点N，过点A1作A1M⊥x轴于点M模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题2）（2019•47模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题3）如图，在平面直角坐标系中，点A（0,），点B（4,0），点C在第一象限内，若△ABC为等边三角形，则点C的坐标为

。模型应用类型三一角独处，两侧添补（变式题3）如图，在平面48上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、思想方法、数学模型于图形之中．题中的“特殊角”是解题的关键，也是搭建模型框架的基础，更是学生解题思路的来源与“脚手架”．这几道题实质上都是考查学生利用模型进行数学思考的能力，同时也有效地检测了学生对数学本质属性的把握情况．

模型应用类型三概述上述几道题虽呈现的背景不同，但都蕴知识技能、49模型应用类型四线角齐藏，经验来帮（2019•盐城）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是

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模型应用类型四线角齐藏，经验来帮（2019•盐城）如图，50模型应用类型四概述本题实质上以图形的旋转为问题的切入点，较好地激发学生探索的意愿，促使学生在模拟图形运动的同时，自发地利用题中所蕴含的特殊角，展开适当的联想，寻找图形间的联系，利用数学解题经验，搭建模型框架。本题意在寻求突破，体现分层考查，有着较好的考试信度与效度．

模型应用类型四概述本题实质上以图形的旋转为问题51通过上述四种应用类型的后三种，我们不难发现：对于有些中考试题，“一线三等角”并非直观、完整地呈现，而是在原图中隐藏了局部或全部结构，因此思维层次随之提升。若我们能充分利用题