留数在定积分计算中的应用

关于留数在定积分计算中的应用第1页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五一、形如的积分思想方法

:封闭路线的积分（围道积分法）

.把定积分化为一个复变函数沿某条两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化第2页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五当历经时,绕行一周.z沿正向单位圆周从而积分化为沿正向单位圆周的积分：第3页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.第4页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五例1解故积分有意义.第5页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五第6页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五第7页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五因此第8页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五例2计算解令第9页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)第10页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五二、形如的积分若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.第11页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五2.

积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.

被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).第12页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五O这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.根据留数定理得:z1z2z3-RRxznyCR第13页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五即从而第14页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五例3计算积分解

在上半平面有二级极点一级极点第15页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五第16页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五例4计算积分解

在上半平面有两个单极点：第17页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五三、形如的积分积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(x)在实轴上无孤立奇点.z1z2z3zn-RROxyCR同前一类型:

补线与曲线C,使R(z)所有的在上半都包在这积分路线内.一起构成封闭平面内的极点第18页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五由留数定理:就可以求出积分第19页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五则约当引理：证第20页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五得由约当不等式（如右图）第21页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五从而根据约当引理及以上的讨论得：第22页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五将实虚部分开，可得积分第23页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五例5计算积分解

在上半平面只有二级极点又第24页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五注意以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴上无孤立奇点.第25页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五例6计算积分解

因函数在实轴上有一级极点若被积函数中的R(z)在实轴上有孤立奇点，则第26页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五第27页，共30页，2022年，5月20日，12点20分，星期五小结与思考

本课应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.思考