《线性代数》+同济大学+第四版答案

线性代数同济大学第四版课后答案习题ー习题一1-56<0.利用对角线法则计算下列三阶行列式:0 11-4-1;-183abcbca\cab+.YV,

+.YV,

XIC/V+.VX-

1シんy07

721ヅ+-

34 ⑴解=2x(-4)x3+0x(-l)x(-l)+lxlx8-0xlx3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)二一24+8+16—4=一4.(2)abc解bcacab=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc二3。んー/-ヶーピ.11解aみca2b2c2=bキャcどやcボーaj—bピーc脐二(クル)(ムーc)(c一a).x y x-^-y解yx+yxx+y xy二.«.yウノ)［七11«サ1')+(1+1')】ズづ-(.v+v)-x=3.りGサ)ーザー3yy-xi-y3-x3二一2(.ゼ・ザ).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1234;(2)4132;(3)3421;(4)2413;(5)13•••(2/2-1)24•••(2//);(6)13••(2〃-1)(2〃)(2〃ー2)•••2.(1)解逆序数为〇

解逆序数为4:41,43,42,32.解逆序数为5:32,31,42,41,21.解逆序数为3:21,41,43.解逆序数为必要:32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)・・•••♦(272-1)2,(2//-1)4,(272-1)6,•••,(2/2-1)(272-2)(72-1个)解逆序数为72(7L1)：32(1个)52,54(2个)(272-1)2,(272-1)4,(272-1)6,•S(2/？-1)(272-2)(72-1个)42(1个)62,64(2个)••••••(2/2)2,(2/2)4,(2/2)6,…,(2〃)(2/l2)(/2-1个).写出四阶行列式中含有因子m储23的项.

解含因子ゆ423的项的一般形式为(一1)ス11。23，＞«45，其中な是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子ユ的的项分别是(-1)%11。2犷3/44二(-1)%11。2到32"44ニー。11。2犷3m14，(-1)%11々2/34«42二(一1)%11"2/34处2二"11"23a34«42・.计算下列各行列式:IX•〇4121ーー-2341110-

〇4

1I1i〇

--

2021

-123O41-100IX•〇4121ーー-2341110-

〇4

1I1i〇

--

2021

-123O41-100〇

--

024

901790II74207

20211125^^411〇11224236

11「2023152/|\〇〇167-o1iC-17P「〇STOO4207202111o-S*11ら+■C10247234110

-⑶解(4)2312ロ0202

42361-202315らQ423611?⑶解(4)2312ロ0202

42361-202315らQ423611?一^^D一315o

=

0060

4230

1「20

0ー310

・rH1-cidfbce\1-111=Aabcdef.oolTn

O1c「

lip-o

nTOOO!「〇〇l+ab

b—10001グ

alc-1423411-o-1102001+aba〇|。3+イら|1+而aad=(-l)(-l)2+1-1c1 -1c\+cd0-1d\I0-10=(-1)(-1)3+21］ニタス-abcd+ab+cd+ad+1..证明:a2abb2.2cia+b2b=(ナみヅ,11证明a2abb2C2~a2abb2C2~C\"cib-a2b2-a22aa+b21)—2ab-a2b-2a111C3~C11 0 0=(b-d)(b-a)二(—1)3b-a2b-2aab+a12=(ct-b)3.as^-byay+bz。ニャbヽ

as^-byay+bz。ニャbヽ

ay+bzaz+bycix+by

ciz+bxax+byciy+bzxyzゼ+が)],二,y证明cix+bvcix+bzciz+bxay+bzaz+bxax+byaz+bxcix+bvax+bzxay+bzaz+bx=ayciz+bxcix+byzcix+byay+bzxay+bzaz+bx=ayciz+bxcix+byzcix+byay+bz+byay+bzaz+bx

zaz+bxax+by

xax+bvav+bzzaz+bxxax+byyay+bzzaz+bxxax+byyay+bz-a"=（が+が）y二

a2

b2

c2

ど证明a2(«+1)2(a+2)2(a+3アb2(/)+l)2(/)+2)2(H3)2c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2d2(J+l)a2

b2

c2

ど证明a2(«+1)2(a+2)2(a+3アb2(/)+l)2(/)+2)2(H3)2c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2d2(J+l)2(d+2)2(d+3)2(C4-C3,C厂络C2-C［得)レ+12Z)+12c+l%+1%+3%+5ソ+32Z)+52c+32c+52J+3267+5(C4一C3,C厂C2得)1みルガ22222222++++aT)cd2222レいICげ=0.I"ア滑=(67-/))(67-C)(ci-d)(b-c)(b-d)(c-d)(67+/)+C+67);

IdfzIdfz2*Ibz)2ガ明证1 1 1 10 b—ci c—a d—a--0 b(b-d) c(c-a) d(d-a)--0が(がーメ)c2(c2-a2)d2(d2-a2)=(b-ci)(c-d)(d-d)1

b

b=(b-ci)(c-d)(d-d)1

b

b2(b+ci)1 1c dc2(c+a)d2(d+a)|111=(b-d)(c-a)(d-«)p c-b d-bpc(c-b)(c+b+d)d(d-tf)(d+b+ci)二(j)(c-の©ーの(c一の(j”禺+Hd(d+b+a)={a-b^(^i-(^(/t-d)(b-c^(J}-d){c-d)(ch-b+c+d).(5)OT二XO-13(5)OT二XO-13〇〇-+•X〇〇;牝二.ピ+・トぐー1+.…+/ード+%.证明用数学归纳法证明.当》=2时,り=つニン=ゼ+が+。2,命题成立.假设对于(H-l)阶行列式命题成立,即&-1三でハ'•+aカ_2丫+。ねーい则ユ按第一列展开,有—10…00の产过上+6(-1严.モユニ?.?11…x—1=xZ\_i+q=.ピ+0.ピー”•••■\-an-\x^-an.因此,对于〃阶行列式命题成立..设〃阶行列式戻det(电),把D上下翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角线翻转,依次得り り ，D产 *,，A= 证明4ニク2=(-1)2D、.证明因为/>det（r/y）,所以yj(w-l)证明因为/>det（r/y）,所以yj(w-l)-(_l)i+2+x»-2X«-i)d.同理可证4=(—1尸ー知…知4=(—1尸ー知…知・・・・•♦‘4M・・・Gね二(-14び=(_1)FD.ク3=（-1）すヮ=（T）T（ー1）〒ハ二（一1）啲ー1）ハニハ..计算下列各行列式（な为k阶行列式）：a1（1）2=工,其中对角线上元素都是a未写出的元素都是〇;100.0。〇〇〇・a〇••••••〇〇.•〇〇〇a〇・〇〇a〇〇・〇1（按第〃行展开）00〇・〇

〇〇a・〇

〇.0ー〇”ノ

(-1

-(2)21OO•〇00〇,a+（-1产aヽ.%-1）伞-1）+ゼニメー"-2=メ一2（どー1）.解将第一行乘（-1）分别加到其余各行,得aoo・ー・エ••••〇/a-«〇-•〇aー〇ー〇再将各列都加到第一列上,得工=a

x-a

00•••x-a•••=[.Y+(72-1)“](1一4广1.(3)2+i=x-as—iア.&-1アt•。ー11•（。一〃ア.（arアー1a-n1解根据第6题结果,有11 •••1山川〉a a-\•••a-n厶+i=（-1）丁 rバ（。ー1尸…（。ー〃）a

cf（。ー1ア・••（"一〃ア此行列式为范德蒙德行列式.ル产（-1）2niST+D-mーノ+D]旦祖!）=(-D-•(-1)=（T厂-ロ・川

州庐!旦祖!）=(-D-•(-1),n0ーか4aTOC\o"1-5"\h\z••

••

♦ «\o"CurrentDocument"(4)厶=2%・ ・••

■■J 4所以（按第1行展开）4+(T卢%再按最后一行展开得递推公式4T0ス«=（Yメ4£%_2ール即スi^Sm用ールメ“）小・•・冬ル二ロ（哂ー妬）ス.=明ー防.（5）とde1（他）,其中他=|ワ］.&=det%)=3210ー2101・1012・0123・「う-1—1—1-1〃一1■1A1111*«〇*c2+qCj+C,-1一］-1-1〃ー1000-2.一,))22.〇〇ーニ1222.〇---.5—3211—I2fi-5〃ー］1+q1…111+6…1♦•・1♦♦・1••••・♦…1+卬=(TyT(〃T)L2.(6)ユ二,其中。色••••尸。・〇〇〇〇〇〇〇〇!〇〇〇〇〇〇〇£1+〇〇〇q+1Aー・パ^^ー砧や江1〇〇马ハ〇〇!1〇〇1ーほ8.用克莱姆法则解下列方程组:(1)%+.ち+玉+演=5、+2.ち一玉+4%=-2.23-3M-x3-5x4--2'3%+.0+lv3+1hスニ〇(1)=-142,1こ=-142,鼻所以 %ニオ:=L$=裳=2,%=9=3・4=ネ=一1・5%+6.ち =1%+5エ2+6玉 =0(2)< .ち+5工3+6.% 二〇•玉+5.丫4+6.%=0t4+5.^=1解因为00065006510651011000H510005

66

ーー0010600065006510651011000H510005

66

ーー00106ミ

OO6S1

06510

65100

51000=1507,スニ000650065106510651001000100065100010651065100<->10000OQ6ミ

006511Aov65100

5100QnAvAvn

00651

06510

6510051OQO所以150/ 1145„.703 1395、ー212所以665,广665,厂66ゴマ一砲"，"一言9.问え〃取何值时,齐次线性方程组,為瑟農二:有非X+2〃ち+*3=O零解?解系数行列式为L11D=1//1="ー〃ス.!ン1令ZH）.得/a=0或ス=1.于是・当4U0或レ1时谈齐次线性方程组有非零解.f（l-ス）玉-2.Yj+4,^=010.问ス取何值时,齐次线性方程组2%+（3ー秘2+七二0［玉+モ+（1ース）.0=0有非零解?

解系数行列式为f—Z—24Iトース—3+Z423ーえ!=|2 1-2 11 I|1 01-2=(l-Z)3+(2-3)-4(l-2)-2(l-^)(-3-2)=(l-/03+2(l-^)2+Z-3.令P=〇.得ス=Q+/=2或2=3.于是・当2=0,或2=3时,该齐次线性方程组有非零解.习题ニ1.已知线性变换:工=2ア］+2%+-＜ヽ2=3.リ+モ+5匕，

ド3=3.11+21，2+3乃求从变量力,必“3到变量,め,丁2,.V3的线性变换.解由已知:优=-7眞一挑+対优=-7眞一挑+対.%=65+3项ー7M.れ=3.』+2V2-4*2.已知两个线性变换1=2乂+%2.已知两个线性变换1=2乂+%<2=-2.リ+3%+213,.多二4乂+%+5%ソ3ニーニ2+3=3求从二1.二2.二3至リKバ2,X3的线性变换.由已知怎=一6二1+=2+3二3所以有《.ち=12二1-4二2+9二3.Xj——10二]—[由已知怎=一6二1+=2+3二3所以有《.ち=12二1-4二2+9二3.Xj——10二]—[2+16•33fl11)3.设メ=11-111-11丿f123)3二-1-24,求3Wユ4及メ々.(051Jfl11Y123)343-2/=311-1-1-24U-l1丿(051Jfill'211-1ゝ1T1ノ6058)=30—56129Ojfl-21U1)-1=1丿291322)-1720,ーノflArB=111Y123ヽ1—1—1—24-11人。51丿fo0581-569〇ノ4.计算下列乘积:(1)(1)4,15解f4x7+3x2+lxl=lx7+(-2)x2+3x1

ゝ5x7+7x2+0xl(35ヽ149丿4,15解f4x7+3x2+lxl=lx7+(-2)x2+3x1

ゝ5x7+7x2+0xl(35ヽ149丿(2)(123)2;3⑶解(123)2=(lx3+2x2+3xl>(10).⑴<2ヽ(3)i(-12);13丿1(-113丿r2x(-l)2x2)2)=1x(-1)1x2v3x(-1)3x2ノ(-24)=-121-36丿13(2140)0-1I1-134J1-3ゝ4〇%ム、『、(5)(.X.ち$]©2《2〃23ち

«3423%人ズ3丿

（眞・も、3）マ2。2263”2ゝ03。23。33人电丿マ、二（。1ド1+。12工2+113丫3。1ボ1+。22丫2+123、3。13丫1+。2メ2+。33丫3）X2=q田+%忑+%・4+%2眞七+M3モマ+2弓3•ちマ..设4=(； 3=［；9)问:(l\4B=BA吗?(2)(，+3)2=スユ+ユリ+ガ吗?(3)(,4+5)(4-3)=イー・吗,)解AB^BA.因为4B=(:*,A4=Q實,所以止34解（＜+3）2ヵ!2+245+32.因为/+3ニ6乙,…吨詬う式切但ル皿嘅卧続+（毋（;缪所以（4+3）2か2+"§+ガ.解(A+£)(A-B)^A2-£2.因为メ+3=25rA-B=;，(.4+B)(4—B)—〇〇〇〇z/nkーー、ノ216^9J而ハ叫号)6は糊.故(/+3)(4-3)か2_ガ.举反列说明下列命题是错误的:(1)若.42=0.贝リ.4=0;解取ス二贝リ月ユニ〇,但ス二〇.解取ス二贝リ月ユニ〇,但ス二〇.(2)若是4,贝リ.4二〇或.4ニ段解取ス二(1解取ス二(1、ノ11贝リス2=4但,4W〇且AhE.(3)若4桂月上且,4Ho.贝リ后ド.〇〇1〇〇〇1〇贝リ4fc4K且スM,但年F..设べ界｝求此愿…,#.

12

\17

〇!12

\17

〇!1A

zflkーー〇1Ai=A2A=f1Ai=A2A=（2え1人ス1丿ヽ3えir（A1〇）.设月=0A!、求ノ. I。〇え丿解首先观察120ヽ012〇、M2丸丿2222

01)22スリ3ス）3ス）3》,リ6/）4中,ォ丿1OZ3）5才ィ二4,4二(X3ス2/3=/2•スニ〇オ＜〇0價44,4»=/34〇が[0。.设43为〃阶矩阵,且，为对称矩阵,证明が,W3也是对称矩阵.证明已知:月に4则(BEABy=BTBTAf=BエダB)=BエAB.从而52也是对称矩阵..设4B都是〃阶对称矩阵,证明.43是对称矩阵的充分必要条件是3=54证明由已知:a7=a.bt=b.充分性:."=E4=M仄5シ734历训1即，如是对称矩阵.必要性:(4S),uABnB，,4TnABnBA=AB.11.求下列矩阵的逆矩阵:解A=(cosO-smO(sin®cos。.14=1。〇,故ガ存在.因为4・二14141'_cos。sin。~{-smOcos09所以 A~l=-^-A*=Mlcos。sin。)-sin。cos。ナ(5-41丿fl2解ス二34(5-4-1)一2.|4|二2W〇,1丿故力ー】存在.因为44141)(一4A*=424z42(43月23ム3ノ-13-32261401T,所以A~l=-\-A*=

\A\_13~2~167-TJ'q(4)（.他…ス紀）.q 〇A= ,由对角矩阵的性质知I へ）（丄、［丄〇A~l=生〇.,丄I 。れノ12.解下列矩阵方程:(1)（沙(1)（沙君チ・メ关ー:）6我は广ル解xaf14YY31丫2OY1l-l2丿3-11-11J解xa_U2-4Y31j!0]ー夙11人0-1人12丿心;瑯H將(010、(100、(\-43ヽ(4)100X001(00(4)100X001(00リ(01〇丿0101X=0101X=100:、001J1—420

J-2、ノ〇!〇〇〇!I〇〇〇〇!〇〇!1I〇〇I〇〇〇〇!〇〇!1I〇〇、ノIX.利用逆矩阵解下列线性方程组:'%+4+3モ=1(1ア2.\+lt2+5.0=2;3.丫1+5.ち+.丫3=3解方程组可表示为トモ=1从而有、花=。.Ix<=0MY2r3=2(2)2a^-.y2-3.^=1(2)2a^-.y2-3.^=13%+2ちー5.0=0解方程组可表示为.设屋二。(オ为正整数),证明(£二4尸二瓦4土ム2+…七/一と证明因为f=O,所以E-f=区又因为

£-1二(-4)(££4+ペ;・・七ぐ一5.所以 (片ー4)(&•.'妊1'1?+…+ゼ^|ド亙由定理2推论知けーa可逆微且(ET)-く及4Iメ+ーW15t设方阵カ满足メ一月ー2£二。证明」及メ+2E都可逆,并求/T及(A+2g)T.证明由.*T-2£=O得.42-4=2及即/1(.4一£>2芯,由定理2推论知」可逆,且4•「L4-®.由42_/_ユる。得¥-A-6氏-AE.艮卩(/4+2£)し4一3£)=一4七、或 ($+ユめ］(3E-A)=E4由定理2推论知0+ユ号可逆.且(月+2£)-i=J(3ET).16.设メ为3阶矩阵,レ4卜;,求に4尸ー廿|.解因为,ギ=吉れ所以|ロ4尸-5/H点ザー5|川ス-リニ色』-ーヨ」寸斗!」-、(-2巾-1卜ー8は代一—6..设矩阵,4可逆.证明其伴随阵」・也可逆,且¢4ザニ¢4")*.证明由が=m*.得メ屮に,所以当ス可逆时,有田冃父デ冃やも0,从则ーザ也可逆.因为且・=等ジ,所以&*）』「ス又メニ』（.ド）・司月is、・,所以I”I3*）』「リニ|4PHd阵@7）モ.设〃阶矩阵,4的伴随矩阵为.4*,证明:（1）若岗二〇,贝リザト。;证明用反证法证明.假设H牛Q.则有メヤ』ヅニ史由此得44え4埠ー1曄し4巧一L。,所以メ«=ク.这与M+。矛盾,故当国=0时.有・>0.（2）4|屮尸.证明由于，“二W4证明由于，“二W4取行列式得到囿H+財.若・〇,则Hヰ阳フ若Hi=o.由（1）知H牛〇,此时命题也成立.因此阴=国1

1033).设メニ110一に三4+23.求8I丄ーソ解由.但4+EE可得1ー23氏4故fl20,设且二0U一-へ—」!Aヽ—ミニーノ且,4B+E=^+B,求B.解由,旧+£ニ/、3得

あ戻=/ーよ即C4-£)5^C4-£)U+£).因为し4-£|==-uo,因为し4-£|==-uo,所以(且ー母可逆,从而10221.设ス=diag(l,-2.1),4・84二2初一8月,求3.解由,4*&4=225L4-8£得(4^2£)K4=-8£,氏ー孔42段ー，t=-8[<4^2£)]_,=-^44*-24)-1二一取|4|£-14尸=-8(-2£-14)-1二4(外4尸=4而瞰エー1,2)「=岫ag(1._L=2diag(L-2.1).00080010〇1〇-1〇IX〇22.已知矩阵ノ的伴随阵メ・00080010〇1〇-1〇IX〇解由M・卜図上&得Mf=2.由的-L我「+3E得在なM氏3日ーめー［=3［.4（斤.ぐう「リ=X£-^*）-1=6（2£--4*）-,1〇1「〇<rikk1〇1「〇<rikk6

-6000〇623.设ド加二A,其中尸二［一Iゴk1り由ドワ代A.得ぜ:アAアン所以』1=,4=アM】L,I芹3,产《二カ，ド』」」），I芹3,产《二カ，ド』」」），24.设・出尸ハ,其中尸二--A，1211111/rL求44）二48（5£—64七42）.(o(A)=A8(5£-6A+A2)=diag(l.1,58>[diag(5,5,5)-diag(-6,630)+diag(U1925)]=diag(LL58)diag(12Ao尸12diag(1,0.0).巾4AP«A)/iP9(A)P*〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇25.设矩阵ん3及j+3都可逆,证明.「+3-】也可逆,并求其逆阵.证明因为力73+仍歹1=犷1+.4-|=/1-1+歹I而ズ-U+勒ゴ是三个可逆矩阵的乘积,所以r(,4+仍い可逆、即,V+£T'可逆.26.4=C-}!•&=[〇-3zhKI紅）む然約.44+鸟よ追」）十（一:卦（泊）.(21Y-23]，43]d0-3只0-9卜243£

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-010010000113102021001Q〇〇

/ \则而所以即27.取ズ二3二一0ニハ二（；验证9キヰラpj4=dji20

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〇1〇T

loro,=-JrIBID冋ICIHe28.设メ二4ユウハ,求阳及よ.ゝ。25J解令4=（:鼻，為=仔ン）,则A=（oの，故加せ洞晨）,29.设〃阶矩阵.4及s阶矩阵3都可逆,求GG

qGメ。

08设

解S ノ。用M0cc

“B

つコrA8=Gg

GGao

06よ。。かN0ーニーーニー3C4。。&T解由此得所以り=.ザ一,.ス二°解由此得所以り=.ザ一,.ス二°〔•田蝦护（W（A。丫ハMt皿皿、メ40）{C瓦］ハ32丿ヽ［A+かりCD2+BDAr\OEJ[皿=4\ad7=o]cd^bd2=o|ca+3以=4(Aox[_(A-1〇y\CB； ー6C4-16卜

30.求下列矩阵的逆阵:003200859-100、ノ38一〇〇C一52500则5解003200852100520Q1200则

打

/UKC-/!x--5A—/

02/nk

=メ

设ヽ—,000400310212〇IX-001-31-2O14-T-6524

11-21-21-8--习题三1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:(TOO0)0100to00I-OOIooooTzOOIooooTz1《SJQ"£一J-\\"1/

OOI?)

?)

裔缶c-((z-Z©-Me：o£i-j-E（心一网‘s*e”|i£3-43ヽ5-413-204—2—1.CF^力-M,ウ-M,%-*.)〇1〇〇486〇-〇3、-8-6CF-ウ・■(-4).f(-3),所(-”)仟ー^:0旬1. ホアん）121298CFー步-newx 所な）>KT

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0100

1000

zr—kヽノ-34〇00102T〇〇01001000147,Iゝヽ111ノ1〇1〇!〇1〇〇rIJn1ゝ・ノ〇〇!ro1〇、解100是初等矩阵万(1.2),其逆頰降就是其本身.I。01丿(101}010是初等矩阵£(1・2(1»其逆矩阵是ヘ〇〇1ノ〇〇!1〇〇O1O7-1O〇〇!1〇〇O1O7-1O1

〇!〇3.试利用頰阵的初等变换.求下列方阵的逆矩阵:解loo1532122103003/20-IQ11-2~-10リ7/22一9/2ヽ11-2-1/201/2ノ2/3TO

612

7/-レ—1〇!〇I〇〇、メ

3-221-2-2-3T07-6T1-2-故逆矩阵为0232222100010010〇!I〇〇1000

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