2000年全国高考理科数学试题及其解析

2000年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素A．2，则在映射下，象20的原象是C．4D．5()B．32.在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的（）复数是A．2B．C．D．33.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、，这个长方体对角线的长是()A．2B．3C．6D．4．已知，那么下列命题成立的是()A．若、是第一象限角，则B．若、是第二象限角，则C．若、是第三象限角，则D．若、是第四象限角，则5．函数的部分图像是()6．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额不超过500元的部分超过500元至2000元的部分超过2000元至5000元的部分…税率5%10%15%…某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于()A．800~900元B．900~1200元C．1200~1500元D．1500~2800元，R=7．若A．R，P=B．P，Q=C．Q，则()PQQRPRD．PRQ8．以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是()A．C．B．D．9．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()A．B．C．D．10．过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是()A．B．C．D．11．过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于()A．12．如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分()B．C．D．成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为A．B．D．C．第II卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．13．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种(用数字作答)14．椭圆范围是________的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P横坐标的取值(=1，2，3，…)，则它的15．设是首项为1的正项数列，且通项公式是=_______16．如图，E、F分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_______．(要求：把可能的图的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)已知函数，．(I)当函数取得最大值时，求自变量的集合；(II)该函数的图像可由18．(本小题满分12分)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．(I)证明：⊥BD；(II)假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；(III)当的值为多少时，能使平面．？请给出证明．19．(本小题满分12分)设函数，其中(I)解不等式；(II)求的取值范围，使函数20．(本小题满分12分)在区间上是单调函数．(I)已知数列(II)设，其中，且数列为等比数列，求常数；、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．21．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．(Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/22．(本小题满分14分)kg，时间单位：天)如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，时，求双曲线离心率的取值范围．且以A、B为焦点．当2000年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准一．选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．(1)C(2)B(3)D(4)D(5)D(6)C(7)B(8)C(9)A(10)C(11)C(12)D二．填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．(13)252(14)－(15)(16)②③三．解答题(17)本小题主要考查三角函数的图像和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．解：(Ⅰ)y=cos2x＋sinxcosx＋1=(2cos2x－1)＋＋(2sinxcosx)＋1=cos2x＋sin2x＋=(cos2x·sin＋sin2x·cos)＋=sin(2x＋)＋——6分y取得最大值必须且只需2x＋=＋2kπ，k∈Z，即x=＋kπ，k∈Z．所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为{x|x=＋kπ，k∈Z}——8分(Ⅱ)将函数y=sinx依次进行如下变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x＋)的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2x＋)的图像；(iv)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x＋)＋的图像；综上得到函数y=cos2x＋sinxcosx＋1的图像．——12分(18)本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．(Ⅰ)证明：连结A1C1、AC、AC和BD交于O，连结C1O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD=CD．又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，∴△C1BC≌△C1DC∴C1B=C1D，∵DO=OB∴C1O⊥BD，——2分但AC⊥BD，AC∩C1O=O，∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1∴C1C⊥BD．——4分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知AC⊥BD，C1O⊥BD，∴∠C1OC是二面角α—BD—β的平面角．在△C1BC中，BC=2，C1C=，∠BCC1=60º，∴C1B2=22＋()2－2×2××cos60º=∵∠OCB=30º，——6分∴OB=BC=1．∴C1O2=C1B2－OB2=，∴C1O=即C1O=C1C．作C1H⊥OC，垂足为H．∴点H是OC的中点，且OH=，所以cos∠C1OC==．——8分(Ⅲ)当=1时，能使A1C⊥平面C1BD证明一：∵=1，∴BC=CD=C1C，又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，由此可推得BD=C1B=C1D．∴三棱锥C－C1BD是正三棱锥．设A1C与C1O相交于G．∵A1C1∥AC，且A1C1∶OC=2∶1，∴C1G∶GO=2∶1．——10分又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，∴点G是正三角形C1BD的中心，∴CG⊥平面C1BD．即A1C⊥平面C1BD．——12分证明二：由(Ⅰ)知，BD⊥平面AC1，∵A1C平面AC1，∴BD⊥A1C．——10分当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C，又BD⊥BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD．——12分(19)本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．解：(Ⅰ)不等式f(x)≤1即≤1＋ax，由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0．所以，原不等式等价于即——3分所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0}；当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．——6分(Ⅱ)在区间[0，+∞]上任取x1、x2，使得x1＜x2．f(x1)－f(x2)=－－a(x1－x2)=－a(x1－x2)=(x1－x2)((ⅰ)当a≥1时－a)．——8分∵<1∴－a<0，又x1－x2<0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以，当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调递减函数．——10分(ii)当0<a<1时，在区间上存在两点x1=0,x2=，满足f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函数f(x)在区间上不是单调函数．综上，当且仅当a≥1时，函数f(x)在区间上是单调函数．——12分(20)本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．解：(Ⅰ)因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有（cn+1－pcn）2=(cn+2－pcn+1)(cn－pcn－1)，将cn=2n＋3n代入上式，得[2n＋1+3n＋1－p(2n＋3n)]2=[2n＋2+3n＋2－p(2n+1＋3n+1)]·[2n+3n－p(2n－1＋3n－1)]，即[(2－p)2n+(3－p)3n]2——3分=[(2－p)2n+1+(3－p)3n+1][(2－p)2n－1+(3－p)3n－1]，整理得(2－p)(3－p)·2n·3n=0，解得p=2或p=3．——6分(Ⅱ)设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn．为证{cn}不是等比数列只需证≠c1·c3．事实上，=(a1p＋b1q)2=p2＋q2＋2a1b1pq，c1·c3=(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)=由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，c1·c3，故{cn}不是等比数列．p2＋q2＋a1b1(p2＋q2)．因此——12分(21)本小题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为f(t)=——2分——4分由图二可得种植成本与时间的函数关系为g(t)=(t－150)2＋100，0≤t≤300．(Ⅱ)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)=f(t)－g(t)即h(t)=——6分当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=－(t