2022年秋高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课后习题新人教B版选择性必修第一册

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9.已知与双曲线x216−y2910.如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.B级关键能力提升练11.椭圆x24+y2a2=1与双曲线A.12 B.-C.1 D.-1或112.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是()A.x2-y24=1 B.x2-yC.x2-y215=1 D.x2-y13.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,F1关于N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.圆14.已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为15.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆的圆心M的轨迹方程为.

16.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线方程C级学科素养创新练17.设F1,F2分别是双曲线x2-y29=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且PF1·PF2A.25 B.5 C.210 D.1018.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示.已知△OFQ的面积为26,且OF·FQ=m,其中O(1)设6<m<46,求OF与FQ的夹角(2)设|OF|=c,m=64-1c2,当|OQ

2.6.1双曲线的标准方程1.C由题意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1.因为c2=a2+b2,所以16=m+1,解得m=15.故选C.2.ACD当α∈π4,3π4时,sinα∈22,1,cosα∈-22,22,可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲线可以是椭圆(sinα>0,cosα>0).也可以是双曲线(sinα>0,cos3.C由题意得|解得a则该双曲线的方程为x2-y24=4.A设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=12|PF2|∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或35.A设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1).6.B由题意,双曲线x2m−y2n=1(m>0,n>0)和椭圆x25+y2∴4m+1n=13(m+n)4m+1n=135+4nm+mn≥135+24nm·m7.(-∞,-2)∪(3,+∞)由双曲线的方程可得(m-3)(m+2)>0,解得m>3或m<-2.8.x216−y29=1设焦点F1(-c,0),F则由QF1⊥QF2,得kQF∴5c·5-c=-设双曲线方程为x2a2−y2∵双曲线过点(42,-3),∴32a2又∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴双曲线的标准方程为x216−9.解已知双曲线x216则c2=16+9=25,∴c=5.设所求双曲线的标准方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).故所求双曲线方程可写为x2a2∵点P-52∴-52化简得4a4-129a2+125=0,又c=5,解得a2=1或a2=1254(舍去)∴a2=1,b2=24,∴所求双曲线的标准方程为x2-y224=10.解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=32,c=5,于是b2=c2-a2=914.∴动圆圆心M的轨迹方程为x2911.D因为双曲线x2a2−y2所以由题意可得4-a2=a2+2,所以a2=1,所以a=±1.故选D.12.A若双曲线的方程为x2-y24则a=1,c=5,不妨设|PF1|=2|PF2|,则由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,即(x-5)2+y2=4,与双曲线方程4x2-y2=4联立可得5x2-25x-3=0,其判别式Δ=20+60=80>0,故存在“L点”.13.B连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,∴|MF2|=2.∵F1关于N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.14.32因为F是双曲线C:x2-y23=所以F(2,0).因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,yP).因为P是C上一点,所以4-yP23=1,解得y所以P(2,±3),|PF|=3.又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,所以S△APF=12×|PF|×1=12×3×1=15.x2-y28=1(x≤-1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|,所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于|C1C2|=6.根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支,其中a=1,c=3,则b2=8,故点M的轨迹方程为x2-y28=1(x≤-16.解因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=34所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.设所求双曲线方程为x2a2−y2b由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2-a2=100-4=96,故所求方程为x24−17.C由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-