6c函数在某点取得极值的条件

函数在某点取得极值的条件(2011•上城区)设y=f(x)在R上可导,则f，(xo)=0是y=f(x)在x=x0处取得极值的( )条件.A、充分不必B、必要不充分要C、充要 D、既不充分也不必要考点:函数在某点取得极值的条件;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:常规题型.分析:根据充分条件和必要条件的定义进行求解,y=f(x)在R上可导,举例子f(x)=x3题设和条件能否互推.解答:解:y=f(x)在R上可导,当f(X)=X3在X=0处的导数为〇,但不取得极值.•••不充分,Af(x)在Xo处的导数『(x)=0是f(x)在Xo处取得极值的必要不充分条件;故选B.点评:此题主要考査函数在某点取得极值的条件即方程F(x)=0的根，解题的关键是要学会举反例.(2011•福建)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax?-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于( )A、2B、3C、6D、9考点:函数在某点取得极值的条件；基本不等式.专题:计算题.分析;求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为〇得到a,b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意:一正、ニ定、三相等.解答:解:vf(x)=12x2-2ax-2b又因为在x=1处有极值a+b=6Va>0,b>0ab<(a+b2)2=9当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考査函数在极值点处的导数值为〇、考査利用基本不等式求最值需注意:一正、二定、三相等.(2007•江西)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为( )A、-15B、0C、15D、5考点:函数在某点取得极值的条件;函数奇偶性的性质;三角函数的周期性及其求法.分析:偶函数的图象关于y轴对称,x=0为极值点,f(x)是R上以5为周期,x=5也是极值点,极值点处导数为零解答：解：(x)是R上可导偶函数,Af(x)的图象关于y轴对称，.*.f(x)在x=0处取得极值,即ア(〇)=0,又「f(x)的周期为5,：.V(5)=0,即曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率。,故选项为B点评:本题考査函数的周期性、奇偶性、导数的儿何意义、极值点满足的条件若函数f(x)=x2lnx(x>0)的极值点为a,函数g(x)=xlnx2(x>0)的极值点为P,则有( )A、a>pB、a<pC、a邛D、a与p的大小不确是考点：函数在某点取得极值的条件.分析：利用积的导数法则求f'(x),g，(x):据函数极值点处的导数为零,列出方程解得.解答：解：Vf(x)=2xlnx+x,g，(x)=lnx2+2又f(x)=x2lnx(x>0)的极值点为a,g(x)=xlnx2(x>0)的极值点为p,/.2alna+a=0,lnp2+2=0**•a=6-12,p=©-1.*.a>p故选A.点评：本题考查导数的运算法则和极值点处的导数为零.已知关于x的三次函数f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间(1,2)上只有极大值,则b-a的取值范围是( )A、(-1,+00)B、(-2,+8)C、(-3,D、(-4,+00)+oo)考点：函数在某点取得极值的条件.分析:极大值是函数先增再减,相应导数是先增后负得不等式组再利用线性规划解解答:解:f(x)=ax2+bx+2;f(x)=13ax3+12bx2+2x+1在区间(1,2)上只有极大值二{f,(1)>0f,(2)<0B|J{a+b+2>04a+2b+2<0...-4vb-a故选项为D点评：函数在某点处取极值的条件,利用线性规划求范围函数f(x)=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是( )A、a>-316B、-65<a<-316C>a>-65D、65<a<-316考点：函数在某点取得极值的条件.分析：求函数的极值，耍使图象经过四个象限只要两极值符号不同解答:解:F(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1)令f'(x)=a(x+2)(x-1)=0得x=-2或x=1xe(-00,-2)时ア(x)的符号与xe(-2,1)时ヤ(x)的符号相反,xe(-2,1)时F(x)的符号与xc(1,+00)时r(x)的符号相反Af(-2)=-83a+2a+4a+2a+1=163a+1和为极值,f(1)=13a+12a-2a+2a+1=56a+1•.•图象经过四个象限Z.f(-2)・f(1)VO即(163a+1)(56a+1)<0解得-65<a<-316故答案为B点评：本题考查导数求函数的极值，眼睛函数的单调性及其图象已知函数f(x)=13x3-mx2-3m?x+1在区间(1,2)内有极值,则实数m的取值范围是( )A、(-2,-1)U(13,B、(-23,-13)23)C、(I,2) D、(-23,13)U(I,2)考点：函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析：由函数f(x)=13x3-mx2-3m2x+1在区间(1,2)内有极值，我们易得函数的导函数在在区间(1,2)内有零点,结合零点存在定理,我们易构造出ー个关于m的不等式,解不等式即可得到答案.解答:解:,.,函数f(x)=13x3-mx2-3m2x+1.\f'(x)=x2-2mx-3m2,若函数f(x)=13x3-mx2-3rr|2x+1在区间(1,2)内有极值,贝卄(x)=x2-2mx-3m2在区间(1,2)内有零点即f'(1)«f'(2)<0即(1-2m-3m2)・(4-4m-3m2)<0解得me(-2,-1)U(13,23)故选A点评:本题考査的知识点是函数在某点取得极值的条件,其中将问题转化为导函数的零点问题是解答此类问题最常用的办法.已知函数f(x)=-x'+ax2-4在x=2处取得极值,若m、ne[-1,1],则f(m)+V(n)的最小值为( )A,-13B、ー15C、10D、15考点:函数在某点取得极值的条件;函数的最值及其几何意义.分析:令导函数当x=2时为〇,列出方程求出a值;求出二次函数f，(n)的垠小值,利用导数求出f(m)的最小值,它们的和即为f(m)+f(n)的最小值.解答:解:vf-(x)=-3x2+2ax函数f(x)=-x3+ax?-4在x=2处取得极值.*.-12+4a=0解得a=3.•・ア(x)=-3x2+6x.*.ne[-1,1]时，V(n)=-3n2+6n当n=-1时,ア(n)最小,最小为ー9当me[-1,1]时，f(m)=-m3+3m2-4f(m)=-3m2+6m令イ(m)=0得m=0,m=2所以m=0时,f(m)最小为-4故f(m)+f(n)的最小值为ー9+(-4)=-13故选A点评;函数在极值点处的值为〇.;求高次函数的最值常用的方法是通过导数.考点:函数在某点取得极值的条件.专题:数形结合.分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件,而b-2a-1可看作点P(1,2)与阴影部分内一点(a,b)连线的斜率,由此问题转化为线性规划求范围问题,然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可.解答: 、、 、 ”解:,.,函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c.J(x)=x?+ax+2b=0的两个根为Xi，x2,Vxi，X2分别在区间(0,1)与(1,2)内{f(0)>0f,(2)>0f(1)<0{b>0a+b+2>0a+2b+1<0画出区域如图,而b-2a-1可看作点P(1,2)与阴影部分内•点(a,b)连线的斜率,如图绿色线即为符合条件的直线的边界,M,N两个点为边界处的点,当连线过M(-3,1)时,kPM=2-11+3=14,当连线过N(-1,0)时,kPN=2-01+1=1,由图知b-2a-1e(14,1).故选C.点评:本题主要考査了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题,属于基础题.考点:函数在某点取得极值的条件.专题:数形结合.分析:先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件,而b-2a-1可看作点P(1,2)与阴影部分内一点(a,b)连线的斜率,由此问题转化为线性规划求范围问题,然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可.ヽ・^^***^*しZ解答： '一"解:'.,函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c.,.ア(x)=x?+ax+2b=0的两个根为Xi，x2,VX1,X2分别在区间(0,1)与(1,2)内{f(0)>0f,(2)>0f,(1)<0{b>0a+b+2>0a+2b+1<0画由区域如图,而b-2a-1可看作点P(1,2)与阴影部分内一点(a,b)连线的斜率，如图绿色线即为符合条件的直线的边界,M,N两个点为边界处的点，当连线过M(-3,1)时,kPM=2-11+3=14,当连线过N(-1,0)时，kPN=2-01+1=1,由图知b-2a-1e(14,1).故选C.点评：本题主要考査了利用导数研究函数的极值,以及利用线性规划的知识解题,属于基础题.已知函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f(Xi),f(x2),若x「x2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b-2a-1的取值范围是( )A、(-1,-14)B,(-00,-14)U(1,+00)C、(14,1)D、(12,2)考点：函数在某点取得极值的条件.专题:数形结合.分析:先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件,而b-2a-1可看作点P(1,2)与阴影部分内一点(a,b)连线的斜率,由此问题转化为线性规划求范围问题,然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可.Xi解答: '一・解:'.,函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c.*.f(x)=x?+ax+2b=0的两个根为Xi，x2,：xi，X2分别在区间(0,1)与(1,2)内.ゝ｛f(0)>0f,(2)>0f,(1)<0｛b>0a+b+2>0a+2b+1<0画由区域如闇,而b-2a-1可看作点P(1,2)与阴影部分内一点(a,b)连线的斜率,如图绿色线即为符合条件的直线的边界,M,N两个点为边界处的点,当连线过M(-3,1)时,kPM=2-11+3=14,当连线过N(-1,0)时，kPN=2-01+1=1,由图知b-2a-1仁(14,1).故选C.点评：本题よ要考査了利用导数研究函数的极值,以及利用线性规划的知识解题,属于基础题.已知函数f(x)=13x3+12ax2+2bx+c(a,b,ceR),且函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值,在区间(1,2)内取得极小值,则ス=(a+3)2+b2的取值范围( )A、(22,2)B、(12,4)C、(1,2)D、(1,4)考点：函数在某点取得极值的条件.分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负,极小值点左边导数为负右边导数为正得a,b的约束条件，据线性规划求出最值.解答:解：Vf(x)=13x3+12ax2+2bx+c.,.ア(x)=x2+ax+2b•.•函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值，在区间(1,2)内取得极小值(x)=x2+ax+2b=0在(0,1)和(1,2)内各有一个根V(0)>0,f(1)<0,V(2)>0即｛b>0a+2b+1<a+b+2>00(a+3)?+b2表示点(a,b)到点(-3,0)的距离的平方,由图知(-3,0)到直线a+b+2=0的距离22,平カ.为12为最小值,(-3,0)与(-1,0)的距离2,平方为4为最大值故选项为B点评：本题考査函数极值存在条件及线性规划求最值.11、已知函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c的两个极值分别为f(Xi),f(x2)»若x2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b-2a-1的取值范围是( )A、(-1,-14)B、(-00,-14)U(1,+00)C、(14,1)D、(12,2)考点:函数在某点取得极值的条件.专题:数形结合.分析:先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件,而b-2a-1可看作点P(1,2)与阴影部分内一点(a,b)连线的斜率，由此问题转化为线性规划求范围问题,然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可.解答：ー、』”解：,.•函数f(x)=x33+12ax2+2bx+c/.f(x)=x?+ax+2b=0的两个根为Xi，x2,Vxi，x2分别在区间(0,1)与(1,2)内二{f(0)>0f,(2)>0f,(1)<0{b>0a+b+2>0a+2b+1<0画由区域如向,而b-2a-1可看作点P(1,2)与阴影部分内一点(a,b)连线的斜率,如图绿色线即为符合条件的直线的边界,M,N两个点为边界处的点,当连线过M(-3,1)时,kPM=2-11+3=14,当连线过N(-1,0)时,kPN=2-01+1=1,由图知b-2a-1e(14,1).故选C.点评：本题主要考査了利用导数研究函数的极值,以及利用线性规划的知识解题,属于基础题.若函数f(x)=x3+3bx-3b在区间(0,1)内存在极小值，则实数b的取值范围为( )A、-1VbB、b>-1C、bVOD、b>-12<0考点：函数在某点取得极值的条件.专题:计算题分析：求出函数的导数,然后令导数为零,求出函数的极值,最后确定b的范围.解答：解：由题意得ア(x)=3x2-3b,令ア(x)=0,则x=±b又••・函数f(x)=x3-3bx+b在区间(0,1)内有极小值,.,.0<b<1,Abe(0,1),故选A.点评:熟练运用函数的导数求解函数的极值问题,同时考査了分析问题的能力,属于基础题.考点:函数在某点取得极值的条件.专题:常规题型.分析:求出函数的导函数,根据函数的极值是导函数的根,且根左右两边的导函数符号不同得到△>0;解出a的范围.解答:解:V(x)=3x2+4ax+3(a+2)Vf(x)有极大值和极小值.,.△=16a2-36(a+2)>0解得a>2或a<-1故选B点评：本题考査函数的极值点是导函数的根,且根左右两边的导函数符号需不同.若f(x)=x3+2ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )A、-a〈aB、a>2或C、a52或D、a>1或<2 a<-1 a<-1 a<-2考点：函数在某点取得极值的条件.专题：常规题型.分析：求出函数的导函数,根据函数的极值是导函数的根,且根左右两边的导函数符号不同得到△>0:解出a的范围.解答：解：V(x)=3x2+4ax+3(a+2)Vf(x)有极大值和极小值.-.△=16a2-36(a+2)>0解得a>2或a<-1故选B点评:本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同.若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=1处有极值,则函数f(x)的图象x=-1处的切线的斜率为( )A、1B、ー3C、8D、ー12考点：函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析：对函数f(x)=(x-2)(x2+c)进行求导,根据函数在x=1处有极值,可得ア(1)=0,求出c值,然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解.解答：解：•.•函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=1处有极值,：.V(x)=(x2+c)+(x-2)x2x,Vf(1)=0, (c+1)+(1-2)x2=0,.*.C=19：.V(x)=(x2+1)+(x-2)x2x,...函数f(x)的图象x=-1处的切线的斜率为ア(-1)=(1+1)+(-1-2)x(-2)=2+6=8,故选C.点评:本题主要考査函数在某点取得极值的条件,以及函数的导数的求法,属基础题.函数f(x)=x3+ax?+bx+a2在x=1处有极值10,贝リ( )Aヽa=-11,B>a=・4,C>a=11>D、a=4,b=4 b=11 b="4 b="11考点:函数在某点取得极值的条件.专题:计算题;方程思想.分析:根据函数f(x)=x3+ax2+bx+a2;4x=1处有极值10,可知ア(1)分和f(1)=10,对函数f(x)求导,解方程组｛f(1)=0f(1)=10.注意验证,可求得答案.解答:解:由f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f'(x)=3x2+2ax+b,｛f'⑴=0f⑴=10,即｛2a+b+3=0a2+a+b+1=10,解得｛a=4b=-11或｛a=-3b=3(经检验应舍去)，故选D.点评：考查利用导数研究函数的极值问题,注意f'(X。)=0是x=x。是极值点的必要不充分条件,因此对于解得的结果要检验,这是易错点,属基础题.若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,则a等于( )A、•5B,-2C、1D、3考点：函数在某点取得极值的条件.专题：计算题.分析：由题意得：f'(x)=x2+2x-a(x+1)2,由函数f(x)在x=1处取得极值,可得所以f'(1)=0.进而可得a的值.解答：解：由题意得：f(x)=x2+2x-a(x+1)2因为函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,所以ヤ(1)=0,即a=3.故选D.点评：解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数，再利用函数的极值求出参数的值即可,通过极值求参数的数值是高考常考的知识点之ー.考点：函数在某点取得极值的条件;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：常规题型.分析：分别举反例说明充分性和必要性都不成立：函数y=|x|,在x=0处取极小值但ア(0) 说明充分性不成立;函数f(x)=x3在x=0处,V(x)=0,而f(0)并非函数的极值,必要性质不成立.由此可得正确答案.解答:解;先说明充分性不成立,例如函数y=|x|,在x=0处取得极小值f(0)=0,但F(x)在x=0处无定义，说明f，(0)=0不成立,因此充分性不成立;再说明必要性不成立,设函数f(x)=x3,则f(x)=3x2在x=0处,F(x)=0,但x=0不是函数f(x)的极值点,故必要性质不成立.故选D点评:本题以必要条件、充分条件与充要条件的判断为载体,考査了函数在某点取得极值的条件,是一道概念题.若函数f(X)在X=Xo处有定义,则叶(X)在X=Xo处取得极值,,是叶(X。)=0”的()A、充分不必B、必要不充分要条件 条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件考点:函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析:函数在极值点处的导数值异号,故f(x)的导数f'(x)=x2-2x+a=0有两个实数根,△=4-4a>〇.解答：解：,.•函数f(x)=13x3-x2+ax-1有极值点，.*.f(x)的导数f'(x)=x?-2x+a=0有两个实数根,.,.△=4-4a>0,.\a<1,故选C.点评：本题考查函数存在极值的条件,利用函数在极值点处的导数值异号.函数f(x)=13x3-x2+ax-1有极值点，则a的取值范围是( )A>(-00,0)B>(-oo,C>(-00,1)D>(-oo,〇] 1]考点：函数在某点取得极值的条件.专题：计算题.分析：利用导数工具去解决该函数极值的求解问题,关键要利用导数将原函数的单调区间找出来,即可确定出在哪个点处取得极值,进而得到答案.解答：解：由题意可得：ゾ=3x2-3,令ヅ=3x2-3>0,则x>1或者xV-1,所以函数y=x3-3x在(-00,-1)上递增，在(-1,1)上递减，在(1,+00)上递增,所以当x=-1时,函数有极大值m=2,当x=1,时,函数有极小值n=-2,所以m+n=O.故选A.点评：利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键,要先确定出导函数大于〇时的实数x的范围,再讨论出函数的单调区间,根据极值的判断方法求出该函数的极值,体现了导数的工具作用.函数y=x3-3x的极大值为m,极小值为n.则m+n为( )A、0B、1C、2D、4考点:函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析•:利用导数工具去解决该函数极值的求解问题,关键要利用导数将原函数的单调区间找出来,即可确定出在哪个点处取得极值,进而得到答案.解答:解：由题意可得:ヅ=3娯3,令y，=3x2-3>0,则x>1或者xV-1,所以函数y=x3-3x在(-00,-1)上递增,在(-1,1)上递减,在(1,+00)上递增,所以当x=-1时,函数有极大值m=2,当x=1,时,函数有极小值n=-2,所以m+n=0.故选A.点评：利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键,要先确定出导函数大于〇时的实数x的范围,再讨论出函数的单调区间,根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c的值为( )A,3B、6C、3或6D、2或6考点：函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析：对函数f(x)=X(X-C)2求导，利用函数的导函数与极值的关系,令导函数等于〇即可解出c的值.解答:解:V(x)=(x-c)2+2x(x-c),f(2)=(2-c)2+2x2(2-c)=0,解得c=6或2.验证知当c=2时,函数在x=2处有极小值,舍去故c=6故选B.点评：本题主要考査了函数在某点取得极值的条件，对函数求导,令导函数等于〇即可解出c的值,由于本题明确指出在该点出取到极大值,故需对求出的c的值进行验证,如本题,c=2必需舍去,做题时要注意考虑周详.函数f(x)=x3-ax2-bx+aユ在x=1时有极值10,则a,b的值为(A、｛a=3b=-3或｛a=-4b=11B、｛a=-4b=1或｛a=-4b=11C、｛a=-4b=11D、以上皆错考点:函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析:首先对f(x)求导,然后由题设在x=1时有极值10可得｛f(1)=0f(1)=10解之即可求出a和b的值.解答：解：对函数f(x)求导得?(x)=3x2-2ax-b,又•.•在x=1时f(x)有极值10,二｛ff(1)=3-2a-b=0f(1)=1-a-b+a2=10,解得｛a=-4b=11或｛a=3b=-3,验证知,当a=3,b=-3时,在x=1无极值,故选C.点评：掌握函数极值存在的条件,考査利用函数的极值存在的条件求参数的能力,属于基础题.2222、图是函数y=f(x)的导函数y=「(x)的图象，给出下列命题:①-3是函薮y=f(x)的极值点;②-1是函数y=f(x)的最小值点;③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确命题的序号是( )A、①②B、②③C、③④D、①④考点:函数在某点取得极值的条件;函数的单调性与导数的关系.专题:数形结合.分析:根据导函数的图象得到导函数的符号,根据导函数的符号判断出函数单调性,根据函数的单调性求出函数的极值及最值,判断出①②④的对错根据函数在切点的导数为切线的斜率,判断出③的对错.解答:解:由导函数y=ア(x)的图象知f(x)在(-oo,-3)节・调递减,(-3,+00)单调递增所以①-3是函数y=f(x)的极小值点,即最小值点故①对②不对VOe,(-3,+00)又在(-3,+00)单调递增：.V(0)>0故③错Vf(x)在(-3,+00)单调递增，y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增故④对故选D点评:根据导函数的符号判断函数的单调性:导函数大于〇,函数单调递增;导函数小于。,函数单调递减.注意函数的极值点的左右的导函数符号要相反.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.则常数a=( )A、•23B、-1C、1D、〇考点:函数在某点取得极值的条件.专题：计算题.分析：已知函数f(x)=alnx+bx2+x,求其导数ア(x),因为x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点,可得ア(1)=((2)=0,从而联立方程求出a的值.解答:解：,.,函数f(x)=alnx+bx2+x,/.f(x)=ax+2bx+1,；x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点，：.V(1)=f(2)=0,；.a+2b+1=0…①a2+4b+1=0…②联立方程①②得a=-23,b=-16,故选A.点评：此题考査函数的导数与极值的关系,是・道比较简单的题,解题的关键是会联立方程并正确求解二元一次方程.V(x0)=0是函数f(x)在点X。处取极值的( )A、充分不必B、必要不充分要条件条件C、充要条件D、既不充分又不必要条件考点：函数在某点取得极值的条件;充要条件.专题:计算题.分析:结合极值的定义可知必要性成立,而充分性中除了要求f'(X。)=0外,还的要求在两侧有单调性的改变(或导函数有正负变化),通过反例可知充分性不成立.解答:解:如y=x3,yf=3x2,y[x=o=O,但x=0不是函数的极值点.若函数在X。取得极值,由定义可知ア(X。)=0所以「(x(j)=0是X。为函数y=f(x)的极值点的必要不充分条件故选B点评:本题主要考査函数取得极值的条件:函数在X。处取得极值V(xo)=0,Kf(X<Xo)(X>XO)<0一”/25、如图是导函数y=r(x)的图象,在标记的点中,函数有极小值的是( )A、x=x2B、x=x3x=x5Dヽx=Xi或x=x4考点:函数在某点取得极值的条件.专题:证明题.分析:导数的几何意义是导数大于〇时原函数是增函数,当导数小于〇时原函数是减函数,根据导数的几何意义可得答案.解答:解：根据导数的几何意义得：函数f(X)在区间(-00,X3),(x5,+00)是增函数,在区间(x3,x5)上是减函数,当X=X5时函数f(X)有极小值,故选C.点评：解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义以及怎样利用导数判断函数的单调性与极值.若函数f(x)=x(x-c)2在X=2处有极大值，则常数C为( )A、2B、6C、2或6D、ー2或ー6考点：函数在某点取得极值的条件.专题：计算题.分析：求出函数的导数，再令导数等于〇,求出c值,再检验函数的导数是否满足在x=2处左侧为正数,右侧为负数,把不满足条件的c值舍去.解答:解:函数f(x)=x(x-c)2的导数为f'(x)=3x2-4cx+c2,由题意知,在x=2处的导数值为12-8c+c2=0.•・.c=6,或c=-2,又函数f(x)=x(x-c)2在X=2处有极大值,故导数在x=2处左侧为正数,右侧为负数,故c=6.故选B.点评：本题考查函数在某点取得极大值的条件：导数值等于〇,且导数在该点左侧为正数,右侧为负数.已知函数f(x)=|x|,在x=0处函数极值的情况是( )A、没有极B、有极大值值C、有极小D、极值情况值 不能确定考点:函数在某点取得极值的条件.专题:阅读型.分析:由在x=0处左侧的导数小于零,在x=0处右侧的导数大于零,根据极值的定义可知在x=0处函数取极小值.解答：解：当x>0时，f，(x)>0,f(x)为减函数,当XV0时,V(x)<0,f(x)为增函数，根据极值的定义可知函数f(x)=|x|,在x=0处函数取极小值,故选C点评：本小题主要考査函数的导数的极值,属于基础题.f(x)在X。处的导数f(x)=0是f(x)在X。处取得极值的( )A、充分但不必要的条件B、必要但不充分的条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要的条件考点:函数在某点取得极值的条件;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:综合题.分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解,举例子f(x)=|x|题设和条件能否互推.解答：解:例如:f(x)=|x|在x=0处有极值,但x=0处不可导,所以f'(0)#0.••不必要,而f(x)=x3在x=0处的导数为〇,但不取得极值.不充分,Af(x)在Xo处的导数f(x)=0是f(x)在Xo处取得极值的即不充分也不必要条件;故选D.点评：此题主要考査函数在某点取得极值的条件即方程P(x)=0的根,解题的关键是要学会举反例.函数f(x)=x3+ax?+bx+a2在x=1处有极值10,贝リ( )Aヽa=-119B、a=-4,C、a=11,D、a=4,b=4 b=11 b=-4 b=-11考点:函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析:由题意得：尸(x)=x2+2x-a(x+1)2,由函数f(x)在x=1处取得极值,可得所以f'(1)=0.进而可得a的值.解答:解:由题意得:f'(x)=x2+2x-a(x+1)2因为函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,所以f'(1)=0,即a=3.故选D.点评:解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数,再利用函数的极值求出参数的值即可,通过极值求参数的数值是高考常考的知识点之ー.若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,则a等于( )A、-5B、•2C、1D、3考点:函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析:由题意得:f'(x)=x2+2x-a(x+1)2,由函数f(x)在x=1处取得极值,可得所以f'(1)=0.进而可得a的值.解答:解：由题意得：)(x)=x2+2x-a(x+1)2因为函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值,所以ア(1)=0,即a=3.故选D.点评：解决此类问题的关键是利用已知函数的解析式正确的求出函数的导数,再利用函数的极值求出参数的值即可，通过极值求参数的数值是高考常考的知识点之ー.若函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=1处有极值,则函数f(x)的图象x=-1处的切线的斜率为( )A、1B、ー3C、8D、ー12考点：函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析：对函数f(x)=(x-2)(x2+c)进行求导,根据函数在x=1处有极值,可得ア(1)=0,求出c值，然后很据函数导数和函数切线的斜率的关系即可求解.解答：解：•.•函数f(x)=(x-2)(x2+c)在x=1处有极值,Af(x)=(x2+c)+(x-2)x2x,Vf(1)=0, (c+1)+(1-2)x2=0,/•C=1,：.V(x)=(x2+1)+(x-2)x2x,.•・函数f(x)的图象x=-1处的切线的斜率为ア(-1)=(1+1)+(-1-2)x(-2)=2+6=8,故选C.点评：本题主要考査函数在某点取得极值的条件,以及函数的导数的求法,属基础题.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.则常数a=( )A、•23B、-1C、1D,0考点:函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.专题:综合题.分析:先构造函数y=f(x)ex,对该函数进行求导,化简变形可判定导函数的符号,再判断增减性,从而得到答案.解答:解:yf(x)<f(x)从而f(x)-f(x)>0从而ex[f,(x)-f(x)]e2x>0从而(f(x)ex)f>0从而函数y=f(x)ex单调递增,故x=2时函数的值大手x=0时函数的值，即f(2)e2>f(〇)所以f(2)>e4(0),f(2010)>e2010f(0).故选B.点评:本题主耍考査函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系,即导函数大于〇时原函数单调递增，当导函数小于〇时原函数单调递减.已知函数f(x)=ax+e、没有极值点,则实数a的取值范围是( )A、a<0B>a>OC、a<0D、a>0考点:函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析：函数f(x)=ax+ex在R上没有极值点,即函数的导数等于〇无解或有唯・解(但导数在点的两侧符号相同)，又导数为f'(x)=a+ex,故a=-ex无解，根据指数函数的性质求得实数a的取值范围.解答:解:函数f(x)=ax+e、在R上没有极值点,即函数的导数等于〇无解或有唯・解(但导数在点的两侧符号相同).函数f(x)=ax+e,的导数为f(x)=a+ex,；.a+eX=O无解,...aheX无解,/.a>0故选D.点评：本题考査函数在某点取得极值的条件，以及方程无解或只有唯一解的条件.属于基础题.已知f(x)为R上的可导函数,且f(x)<f(x)和f(x)>0对于xeR恒成立,则有( )A、f(2)<e2-f(O),f(2010)>e2010-f(0)B、f(2)>e2-f(0),f(2010)>e2010-f(0)C、f(2)<e2-f(0),f(2010)<e2010-f(0)D、f(2)<e2-f(0),f(2010)<e2010-f(0)考点：函数在某点取得极值的条件.专题:计算题.分析:已知函数f(x)=alnx+bx2+x,求其导数ア(x),因为x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点,可得F(1)=f(2)=0,从而联立方程求出a的值.解答:解:,.,函数f(x)=alnx+bx2+x,.,.V(x)=ax+2bx+1,：x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点,：.V(1)=f(2)=0,a+2b+1=0…①a2+4b+1=0…②联立方程①②得a=-23,b=-16,故选A.点评：此题考査函数的导数与极值的关系,是・道比较简单的题,解题的关键是会联立方程并正确求解二元一次方程.函数f(x)的导函数为メ(x)»若(x+1)ザ(x)>0,则下列结论中正确的ー项为( )A、x=-1一定是函数f(x)的极大值点B、x=-1一定是函数f(x)的极小值点C、x=-1不是函数f(x)的极值点D、x=-1不,一定是函数f(x)的极值点考点：函数在某点取得极值的条件;必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：常规题型.分析:根据极值的定义可知,前者是后者的充分条件若"f'(X。)=0”,还应在导数为〇的左右附近改变符号时,“函数f(x)在xo处取得极值”.故可判断.解答：解：若“函数f(X)在X。处取得极值”,根据极值的定义可知サ(X。)=0”成立,反之,“r(xo)=o”,还应在导数为〇的左右附近改变符号时,“函数f(X)在Xo处取得极值”.故选A.点评：本题以函数为载体,考査极值的定义,属于基础题.已知函数f(x)=|x|)在x=0处函数极值的情况是( )A、没有极B、有极大值值C、有极小D、极值情况值 不能确定考点：函数在某点取得极值的条件.专题：常规题型.分析：求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△>0;解出a的范围.解答：解：'(x)=3x2+4ax+3(a+2)Vf(x)有极大值和极小值.,.△=16a2-36(a+2)>0解得a>2或av-1故选B点评:本题考査函数的极值点是导函数的根,且根左右两边的导函数符号需不同.若f(x)=x3+2ax2+3(a+2)x+