课时跟踪检测(五十六)曲线与方程

-.z.课时跟踪检测(五十六)曲线与方程1．平面直角坐标系中，两点A(3,1)，B(－1,3)，假设点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线 B．椭圆C．圆 D．双曲线2．(2012·焦作模拟)设点A为圆(*－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2* B．(*－1)2＋y2＝4C．y2＝－2* D．(*－1)2＋y2＝23．定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：*2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点A．椭圆 B．双曲线C．抛物线 D．圆4．假设点P(*，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P(*，y)的轨迹方程为()A．y2＝8* B．y2＝－8*C．*2＝8y D．*2＝－8y5．A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－eq\f(*2,48)＝1(y≤－1) B．y2－eq\f(*2,48)＝1(y≥1)C．*2－eq\f(y2,48)＝1(*≤－1) D．*2－eq\f(y2,48)＝1(*≥1)6．(2012·杭州模拟)点A(1,0)，直线l：y＝2*－4，点R是直线l上的一点，假设＝，则点P的轨迹方程为()A．y＝－2* B．y＝2*C．y＝2*－8 D．y＝2*＋47．点P是圆C：(*＋2)2＋y2＝4上的动点，定点F(2,0)，线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q，则点Q的轨迹方程是________．8．直线eq\f(*,a)＋eq\f(y,2－a)＝1与*、y轴交点的中点的轨迹方程是________．9．向量a＝(*，eq\r(3)y)，b＝(1,0)，且(a＋eq\r(3)b)⊥(a－eq\r(3)b)．则点M(*，y)的轨迹C的方程为______________．10．(2012·四川高考改编)如图，动点M与两定点A(－1,0)，B(1,0)构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C，试求轨迹C的方程．11．(2012·苏州模拟)定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交动点C的轨迹于P，Q两点，交直线l1于点R，求,·,的最小值．12．(2012·山西模拟)椭圆的中心是坐标原点O，焦点F1，F2在y轴上，它的一个顶点为A(eq\r(2)，0)，且中心O到直线AF1的距离为焦距的eq\f(1,4)，过点M(2,0)的直线l与椭圆交于不同的两点P，Q，点N在线段PQ上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，求动点N的轨迹方程．1．设过点P(*，y)的直线分别与*轴正半轴和y轴正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，假设,＝2,，,·,＝1，则点P的轨迹方程是()A.eq\f(3,2)*2＋3y2＝1(*＞0，y＞0)B.eq\f(3,2)*2－3y2＝1(*＞0，y＞0)C．3*2－eq\f(3,2)y2＝1(*＞0，y＞0)D．3*2＋eq\f(3,2)y2＝1(*＞0，y＞0)2．点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为()A．*2－eq\f(y2,8)＝1(*＞1) B．*2－eq\f(y2,8)＝1(*＜－1)C．*2＋eq\f(y2,8)＝1(*＞0) D．*2－eq\f(y2,10)＝1(*＞1)3．(2012·辽宁高考)如图，动圆C1：*2＋y2＝t2,1<t<3，与椭圆C2：eq\f(*2,9)＋y2＝1相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程．答案课时跟踪检测(五十六)A级1．选A设C(*，y)，则＝(*，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，∵＝λ1＋λ2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝3λ1－λ2,y＝λ1＋3λ2))，又λ1＋λ2＝1，∴*＋2y－5＝0，表示一条直线．2．选D如图，设P(*，y)，圆心为M(1,0)．连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，∴|PM|＝eq\r(|MA|2＋|PA|2)＝eq\r(2).即|PM|2＝2，即P的轨迹方程为(*－1)2＋y2＝2.3．选B设N(a，b)，M(*，y)，则a＝eq\f(*－2,2)，b＝eq\f(y,2)，代入圆O的方程得点M的轨迹方程是(*－2)2＋y2＝22，此时|PF1|－|PF2|＝|PF1|－(|PF1|±2)＝±2，即||PF1|－|PF2||＝2,2<|F1F2|故所求的轨迹是双曲线．4．选C点P(*，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(*，y)到点F(0,2)和到直线y＋2＝0的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为*2＝2py，其中p＝4，故所求的轨迹方程为*2＝8y.5．选A由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－eq\f(*2,48)＝1(y≤－1)．6．选B∵＝，∴R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(*，y)，R(*1，y1)，则由＝，得(1－*1，－y1)＝(*－1，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－*1＝*－1，,－y1＝y，))即*1＝2－*，y1＝－y，将其代入直线y＝2*－4中，得y＝2*.7．解析：依题意有|QP|＝|QF|，则||QC|－|QF||＝|CP|＝2，又|CF|＝4＞2，故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线，a＝1，c＝2，得b2＝3，所求轨迹方程为*2－eq\f(y2,3)＝1.答案：*2－eq\f(y2,3)＝18．解析：设直线eq\f(*,a)＋eq\f(y,2－a)＝1与*、y轴交点为A(a,0)，B(0,2－a)，A、B中点为M(*，y)，则*＝eq\f(a,2)，y＝1－eq\f(a,2)，消去a，得*＋y＝1，∵a≠0，a≠2，∴*≠0，*≠1.答案：*＋y＝1(*≠0，*≠1)9．解析：∵(a＋eq\r(3)b)⊥(a－eq\r(3)b)，∴(a＋eq\r(3)b)·(a－eq\r(3)b)＝0，∴a2－3b2＝0，∴*2＋3y2－3＝0，即点M(*，y)的轨迹C的方程为eq\f(*2,3)＋y2＝1.答案：eq\f(*2,3)＋y2＝110．解：设M的坐标为(*，y)，当*＝－1时，直线MA的斜率不存在；当*＝1时，直线MB的斜率不存在．于是*≠1且*≠－1，此时，MA的斜率为eq\f(y,*＋1)，MB的斜率为eq\f(y,*－1).由题意，有eq\f(y,*＋1)·eq\f(y,*－1)＝4，化简可得4*2－y2－4＝0.故动点M的轨迹C的方程是4*2－y2－4＝0(*≠1且*≠－1)．11．解：(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴动点C的轨迹方程为*2＝4y.(2)由题意知，直线l2方程可设为y＝k*＋1(k≠0)，与抛物线方程联立消去y，得*2－4k*－4＝0.设P(*1，y1)，Q(*2，y2)，则*1＋*2＝4k，*1*2＝－4.又易得点R的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k)，－1))，∴·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*1＋\f(2,k)，y1＋1))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*2＋\f(2,k)，y2＋1))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*1＋\f(2,k)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(*2＋\f(2,k)))＋(k*1＋2)·(k*2＋2)＝(1＋k2)*1*2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋2k))(*1＋*2)＋eq\f(4,k2)＋4＝－4(1＋k2)＋4keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋2k))＋eq\f(4,k2)＋4＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))＋8.∵k2＋eq\f(1,k2)≥2，当且仅当k2＝1时取等号，∴≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16.12．解：(1)设椭圆的标准方程是eq\f(y2,a2)＋eq\f(*2,b2)＝1(a＞b＞0)．由于椭圆的一个顶点是A(eq\r(2)，0)，故b2＝2.根据题意得∠AF1O＝eq\f(π,6)，sin∠AF1O＝eq\f(b,a)，即a＝2b，a2＝8，所以椭圆的标准方程是eq\f(y2,8)＋eq\f(*2,2)＝1.(2)设P(*1，y1)，Q(*2，y2)，N(*，y)，由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(*－2)．直线l的方程与椭圆方程联立消去y得(k2＋4)*2－4k2*＋4k2－8＝0.由Δ＝16k4－4(k2＋4)(4k2－8)＞0，得－2＜k＜2.根据根与系数的关系得*1＋*2＝eq\f(4k2,4＋k2)，*1*2＝eq\f(4k2－8,4＋k2).又|PM|·|NQ|＝|PN|·|MQ|，即(2－*1)(*2－*)＝(*－*1)(2－*2)．解得*＝1，代入直线l的方程得y＝－k，y∈(－2,2)．所以动点N的轨迹方程为*＝1，y∈(－2,2)．B级1．选A设A(a,0)，B(0，b)(a，b＞0)．可得＝(*，y－b)，,＝(a－*，－y)，＝(－*，y)，＝(－a，b)．由＝2,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(*＝2a－2*，,y－b＝－2y，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)*，,b＝3y.))由·＝1得a*＋by＝1.所以eq\f(3,2)*2＋3y2＝1(*＞0，y＞0)．2．选A设另两个切点为E、F，如下图，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|，从而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|，所以P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a＝1，c＝3，则b2＝8.故方程为*2－eq\f(y2,8)＝1(*＞1)．3．解：(1)设A(*0，y0)，则矩形ABCD的面积S＝4|*0||y0|.由eq\f(*\o\al(2,0),9)＋yeq\o\al(2,0)＝1得yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(*\o\al(2,0),9)，从而*eq\o\al(2,0)yeq\o\al(2,0)＝*eq\o\