2020-2021长春市高三数学下期末一模试卷(附答案)

2020-2021长春市高三数学下期末一模试卷（附答案）选择题1.己知等比数列｛©｝的各项均为正数，前〃项和为若a2=2,S6-S4=6a49则@=A.4B・10C・16D・322.已知数列｛色〕｝的前"项和为s“，且S”=2g”-1(〃gM),则冬等于（）A.-16B.16C・31D.323.若taila=-4,则cos*!a+2sin2a=()644816A.——B・—C・1D.——2525254.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）1123A.-B.—C.一D.—2334己知函数/（x）=（%-3）ex+6/（2hix-x+l）在（1,+°Q）上有两个极值点,且/（x）在（1,2）上单调递增，则实数"的取值范|制是（）A.（匕+s）B.（匕2，）C.（2e2,+oc）D.（匕2w'）U（2£:\+co）甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4X100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求：甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒•老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁祖眶是我国南北朝时代的伟人科学家，他提出的“幕势既同，则枳不容异”称为祖眶原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式岭倂二S/7,其中S是柱体的底面枳，力是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cm3）是（）■iiiiiiii■備视團

■iiiiiiii■備视團A.158B.162C.182D・324&在样本的频率分布直方图中，共有:n个小长方形，若中间一个长方形的面枳等于其他十个小长方形面积的和的鲁，且样本容量是160,则中间一组的频数为()A.32B.0.2C.40D・0.25在AABC中，A为锐角，lgb+lg(—)=lgsinA=-lg则AABC为()cA.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形抛掷一枚骰子，记事件4为“落地时向上的点数是奇数”，事件3为“落地时向上的TOC\o"1-5"\h\z点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对爭件是互斥爭件但不是对立事件的是()A.A与3B.B与CC.4与DD.C与D《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如卞问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为()5435A.一钱B.一钱C.仝钱D.三钱323在AABC中，4=60°,3=45。，BC=3忑,则AC=()A.fB.^3C.2书D.4>/3二、填空,13.数列｛①｝满足q=l,前”项和为S”，且S”=2d,"n2/wN),则｛%｝的通项公式厲=一；14.若正数a,b满足c/b=a+b+3,贝怙+〃的取值范围TOC\o"1-5"\h\z若三点人(一2,3),3(3,-2)((丄,加)共线，则加的值为.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=4>ci=4>/2sinA»且C为锐角，则AABC面积的最人值为・17.已知函数/(x)=sinx(xw[°5])和函数g(x)=丄⑸X的图彖交于A,5C三点，则2AABC的面积为.18.若函数18.若函数/(-¥)=—+^x2+lax在扌，+°°]上存在单调增区间，则实数a的取值范围是・19.已知直线Jx-v3y+6=0与圆x2+y2=12交于力0两点，过力0分别作2的垂线与龙轴交于CD两点.则\CD\=.锐角"BC中，若B=2A,则夕的取值范围是.三、解答题^ABC的内角4，B,C的对边分别为b,c,已知的外接圆半径为R，且2y/3RsinA-sinB-bcosA=0■的值.的值.(2)若tailA=2tailB,bsinCa+2bsinB-2csinC22.已知｛d“｝为等差数列，且6=-6,。6=°・(1)求｛。”｝的通项公式;(2)若等比数列他｝满足b严-8,®=q+冬+©，求数列仇｝的前"项和公式.选修4-5：不等式选讲：设函数/(X)=|x+l|+3卜一d.当a=l时，解不等式/(x)<2x+3；若关于兀的不等式/U)<4+2|x-«|有解，求实数“的取值范围.已知函数/(x)=|x+l|求不等式/(x)<|2x+l|-l的解集M⑵设a,beM,证明:/(ab)>f(a)-f(-b).如图，在四面体ABCD中，AABC是等边三角形，平面ABC丄平面ABD,点M为棱AB的中点，AB=2,AD=2书,ZBAD=90°.(I)求证：AD丄BC；求异面直线BC与MD所成角的余弦值；26.已知椭圆二+匚=l@>b>0)的离心率为也，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点a~b-3为顶点的三角形的面积为2忑•求椭圆的方程；如图，斜率为k的直线/过椭圆的右焦点F,且与椭圆交与AF两点，以线段为直径的圆截直线x=l所得的弦的长度为石，求直线/的方程.XX【参考答案】杯*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1.C解析：C【解析】由S6-S4=a6+a5=6a4得，(g‘+q—6)①=0,g‘+g—6=0,解得q=2,从而a5=-23=2x8=16,故选C..B解析：B【解析】【分析】令7?=1,由q=S]可求出勺的值，再令7?>2,由S”=2a”-1得出S”_i=2a”_]—1,两式相减可得出数列｛%｝为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出込的值.【详解】当〃=1时，S]=2q-1,即al=2aL-l,解得勺=1；当7?>2时，由S”=2o”—1,得S”t=2©t—1,两式相减得an=2an-2atl_lf得匕=2J•所以，数列«/“｝是以1为首项，以2为公比的等比数列，则6/5=1x24=16,故选：B.【点睛】本题考查利用S”来求通项％,—般利用公式同时也要注意等差数代-二十心2列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.TOC\o"1-5"\h\zA解析：A【解析】3434试题分析：由tana=-.得siiia=-,cosa=—或sina=——,cosa=——，所以5555=c16力1264出cos*a+2sin2a=一+4x一=一,故选A.252525【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式.【方法点拨】三角函数求值：①"给角求值"将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②"给值求值"关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系.B解析：B【解析】试题分析：由题意知本题是一个占典概型概率的计算问题.从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是C/=6种，数学之和为偶数的有1+3,2+4两种，所以所求概率为选B.考点：古典概型.C解析：C【解析】【分析】求得函数的导数f(x)=(x-2)・(=),根据函数/(x)在(1,J)上有两个极值点，转化为xex-a=0在(1,2)上有不等于2的解，令g(x)=xe\利用奥数求得函数的单调性，得到a>g(l)=e且dHg(2)=2^,又由/'⑴在(1,2)上单调递增，得到f\x)>0在(1,2)上恒成立，进而得到«>xev在(1,2)上恒成立，借助函数g(x)=xex在(l,g)为单调递增函数，求得a>g(2)=2e2,即可得到答案.【详解】由题意,函数f(x)=(x-3)ex+6/(2Inx-x+l),TOC\o"1-5"\h\z7a—a可得广(x)=ex+(x_3)ex+d(——1)=(x-2)(“——)=(x-2)・(),xxx又由函数/(x)在(l,g)上有两个极值点，X则f(X)=0,即(X—2)•(兰二£)=0在(1,2)上有两解，即xex-a=0在在(1,2)上有不等于2的解，令g(x)=xH,则g'(x)=(x+l)H>O,(x>l),所以函数g(x)=xex在(1,2)为单调递增函数，所以a>g(l)=e且dHg(2)=2/,又由/W在(1,2)上单调递增，则/(x)>0在(1,2)上恒成立,XPx—a即(X_2)•()20在(1,2)上恒成立，即用—Q<0在(1,2)上恒成立，x即aXxex在(1,2)上恒成立，又由函数g(x)=xex在(1,+8)为单调递增函数,所以d>g(2)=2K,综上所述，可得实数。的取值范围是a>le~>即ow(2，,+oo),故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性：已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.6.C解析：C【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意.【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，・••跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意：当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意.故跑第三棒的是丙.故选：C.【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题.B解析：B【解析】【分析】先由三视图还原出原几何体，再进行计算【详解】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,卞底为6,高为3,则该棱柱的体积为x3x6=162故选B【点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目•难度不人，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查•易错点有二，一是不能正确还原几何体：二是计算体枳有误•为避免出错•应注重多观察、细心计算A解析：A【解析】试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积：求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数.解：设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面枳的和为4S,所以频率分布直方图的总面积为5Ss所以中间一组的频率为誇0・25S所以中间一组的频数为160x0.2=32故选A点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率.注意频率分布直方图的纵坐标是频率直方图的纵坐标是频率W-D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析:由lg^+lg(-)=lgsinA=-lg>/2,所以lg-=ccsinA=V?,又因为A为锐角，所以4=45」，由b=至c,根据正弦定理，得22siiiB==-^y-sin(135-B)=cosB+sinB解得cosB=0nB=90,所以三角形为等腰直角三角形，故选D.考点：三角形形状的判定..C解析：C【解析】分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可.详解：在A中，A与B是对立事件，故不正确；在E中，B与C能同时发生，不是互斥爭件，所以不正确：在C中，A与D两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥爭件，但不是对立事件，所以是正确的；在D中，C与D能同时发生，不是互斥爭件，所以是错误的.综上所述，故选C.点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立爭件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础..B解析：B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d，则a-2r/+d-d=a+d+d+a+2r/,解得c/=-6d,又(a}44a-2d+a-d+o+d+d+a+2d=5,・^=1,则d—2d=a—2x—=—a=—,故6丿33选B.12.C解析：C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理可得结果.【详解】解：在AABC中，BCAC可得一^■二SillAsinB即丄2二sill60=A；即厂0sin45——22解得AC=2也,故选C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形的问题，解题的关键是熟练运用正眩定理公式.二填空题13•【解析】【分析】根据递推关系式可得两式相减得：即可知从第二项起数列是等比数列即可写出通项公式【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列又所以故又所以【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式［2”二心2【解析】【分析】根据递推关系式S”=2d”(“>2,/?gM)可得S’—=2仏］(/?>3屮wN)两式相减得:色=2色一2匕_">3,”gN、,即—=2(/?>3,/?gN、,可知从第二项起数列是等比an-i数列，即可写出通项公式.【详解】因为S”=2%(心2,〃wN*)所以=2a”_i(n>3,ngN”)两式相减得：匕=2an-2^(/7>3屮gN、即上J=%所以｛d“｝从第二项起是等比数列,又S?=2a2=l+a2,所以a2=1故an=2n~2(n>29neN*),又兔=11,n=12"~2,n>2'【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.14.【解析】【分析】先根据基本不等式可知a+b22代入题设等式中得关于不等式a+b的方程进而求得a+b的范围【详解】•・•正数ab满足a+b>2.\ab<乂ab=a+b+3a+b+3<即(a+b)2-4(a解析：［6,+s)【解析】【分析】先根据基本不等式可知a+b22顾，代入题设等式中得关于不等式a+b的方程，进而求得a+b的范围.【详解】

TOC\o"1-5"\h\z•••正数/b满足a+b>2y^b，Aab<—・I2丿ff、2又ab=a+b+31Aa+b-H3<巴士一i9即(a+b)2-4(a+b)-12之0・飞2丿"解得a+b>6.故答案为：［6,+8).【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生对基本不等式的整体把握和灵活运用.15・【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线解析：；2【解析】—5>17—31试题分析：依题意有kAB=kAC,即==_^,解得m=-.-+222考点：三点共线.16.【解析】【分析】由利用正弦定理求得再由余弦定理可得利用基本不等式可得从而利用三角形面积公式可得结果【详解】因为乂所以乂为锐角可得因为所以当且仅当时等号成立即即当时面积的最大值为故答案为【点睛】本题主解析：4+4血【解析】【分析】由c=4,a=4>/2sul4，利用正弦定理求得C=^„再由余弦定理可得16=cr+b2-y/2ab16=cr+b2-y/2ab,利用基本不等式可得db<=82—yJ2(2+妈从而利用三角形面积公式可得结果.【详解】因为c=4,又一==sinesiiiA所以sinC=—»又C为锐角，可得C=-.-y/2ab>^2-y/2^ab9-y/2ab>^2-y/2^ab9因为16=a2+b2-2abcosC=a2+b2=8（2+V2）,

当且仅当a=b=$(2+冋时等号成立,即Swu=+cibsinC=ab<4+4迈，即当a=b=$（2+迈）时，AABC面枳的最人值为4+4^2•故答案为4+4^2-【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理以及基本不等式的应用，属于简单题•对余弦定理一定要f222熟记两种形式：（1）a2=b2+c2-2bccosA；（2）cosA=+C,同时还要熟2bc练掌握运用两种形式的条件•另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30\45\60^等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.17.【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐解析:【解析】【分析】由此计算出三角形的面枳.画出两个函数图像，求出三个交点的坐标,由此计算出三角形的面枳.【详解】y=sinx画出两个函数图像如下图所示，由图可知A（OW）,C（忑0）,对于3点【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.18.【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：(-亍X0)【解析】【分析】【详解】试题分析：fr(x)=-x2+x+2a=-x-*)+£+2q.当xw时，孑(“)的最大值为(221(\\ft\-\=2a+-t令2d+彳>0,解得°>一扌，所以a的取值范围是l--,+oo.考点：利用导数判断函数的单调性.4【解析】试题分析:由x-3y+6=0得x二3y-6代入圆的方程整理得y2-33y+6二0解得yl=23y2=3所以xl二0x2二-3所以|AB|=(xl-x2)2+(yl-y2)2=23乂直线1的解析：4【解析】试题分析：由尢-\你y+6=o,得x=\3y-6,代入圆的方程，整理得y2-3\3y+6=0,解得yi=2v'3,y2=A/3,所以xx=0,%2=-3,所以\AB\=7(^1-^2)2+(yi-y2)2=2<3又直线2的倾斜角为30。，由平面几何知识知在梯CD==4形ABDC中，1'cos30°.【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题：另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决.【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以解析：(a/2,>/3)【解析】【分析】【详解】

0<B=2A<-2因为MBC为锐角三角形，所以］0<7r-A-B<—20<A<-4I7t人兀

—<A<-0<A<-4I7t人兀

—<A<-1634asinAa三、解答题（1）-；（2）—婕.610【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sinBH0可得sn4=迥，即可求出角A；3（2）由（1）可得tanB=週,利用2sm4=l及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理6化简分式得一*tan（4+疗），最后利用正切和角公式代入tanA,tanB,可求出结果.【详解】⑴*•*2y/3RsinAsinB-bcosA=0»即sinA-cosAj=0,由正弦定理得：2JJRsm4sinB—2RsmBcos4=0即sinA-cosAj=0,即得sinA=cosA，tailA=:.ZA=-.6（2）（2）由（1）知:tan^=—»sin4=+，6Z2sinAbsinC2sinAbsinCbsinCa+2bsinB-2csinC2sillAct+2/?sinB一2csmCabsinCa2+b2-c2由余弓玄定理得：^-=-tanC=--^n(A+B)ci+2bsinB-2csinC2cosC22^-=-tanC=--^n(A+B)ci+2bsinB-2csinC2cosC22tanA+tanB3>/3——x=・1-tanAtanB10【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.(1)an=2〃-12；(2)S”=4(1-3").【解析】【分析】【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用.、(1)设｛。”｝公差为d,由已知得a.+2d=—6ax=一10口+5心0解得,2an=2/7-12(2)•••b2=a｛+a2+①=3冬=-24,•••等比数列｛9｝的公比勺十二去"利用公式得到和S,,=%2=4(—3")23.(2)(—5,3)23.(2)(—5,3)【解析】【分析】(1)通过讨论x的范I韦I,求出不等式的解集即可;⑵问题等价于关于x的不等式|x+l|+|x-f/|<4有解，(卜+1|+卜一⑷)品<4,求出a的范围即可.【详解】解：(1)/(兀)=卜+1|+3卜-半2兀+3可转化为rx>ir-i<x<ijx<-i[4兀一2<2x+3或[4一2x<2x+3(2-4x<2x4-3*解得或1或无解.24所以不等式的解集为所以不等式的解集为(2)依题意，问题等价于关于％的不等式\x+l\+\x-a\<4有解,即@+ii+m<4,又卜+1|+卜一引耳X+1-X+G冃°+1|,当(x+l)(x-fl)<0时取等号.所以p+l|<4,解得—5VQV3,所以实数a的取值范围是(-5,3).【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用。24.(l)M={x卜v_l或x>l};(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求交集，最后求并集(2)利用分析法证明，先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明仞+1|>0+切，再两边平方，因式分解转化为证明(夕一1)0'-1)>0,最后根据条件a2>l,b2>1确定(夕-1)0-1)>0成立.【详解】V/(^)<|2x+l|-l,A|x+l|-|2x+l|+l<0.当x<—1时，不等式可化为一x—l+(2x+l)+l<0,解得x<-1,/.x<-l；当一，不等式可化为x+l+(2x+l)+l<0,解得x<-l,无解：当时，不等式可化为x+l-(2.r+l)+l<0,解得x>l,Ax>l.综上所述，M={x卜<一1或x>l}.•//(«)-/(-/?)=|«+1|-|-/?+1|^|«+1-(-/?+1)|=|«+/?|,要证/(ab)>/(。)一/(—b)成立，只需证|c/b+l|>|d+b|,即证加+1「>|a+b「，即证a2b2-a2-b2+l>0,即证(&?一1)(夕一1)>0.由(1)知，M={x|xv-l或x>l},VCKbwM,/.a2>1,/?2>1,A（«2-1）（/?2-1）＞0成立.综上所述，对于任意的c/、beM都有/（«/?）＞/（«）-/（-/?）成立.点睛：（1）分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.（2）利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.25.（I）证明见解析；（II）遁；（111）逅.264【解析】分析：（I）由面面垂直的性质定理可得AD丄平面ABC,则AD丄BC.（II）取棱AC的中点N,连接MN,ND.由几何关系可知ZDMN（或其补角）为异面直丄MNI—线BC与MD所成的角.计算可得cosZDMN=芒】=世•贝U异面直线BC与MD所~DM~~16成角的余弦值为亟.26（in）连接CM.由题意可知CM丄平面ABD.则ZCDM为直线CD与平面ABD所成的

角.计算可得sinACDM=空=迟.即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为＜1.CD44详解：（I）证明：由平面ABC丄平面ABD,平面ABCC平面AD丄AB,可得AD丄平面ABC,故AD丄BC.（II）取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点，故MN〃BC.所以ZDMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角.