2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市高三(上)期末数学试卷

第第23页(共19页)已过抛物线C:X2=4y的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点，以A,B两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于P点.当直线l平行于x轴时，求点P的坐标；|PA|当空=2时，求直线l的方程.|PB|【解答】解：(1)依题可知F(0,1)，当直线l平行于x轴时，则l的方程为y=1，x21所以可得A(2,1)，B(—2,1)，又X2=4y可得y二一，y'二-x;422—2所以在A，B处的切线分另U为：y一1=-(x一2)，y一1=—(x+2)，即y=x一1，y=—x一1,22联立两切线可得卩一x—1解得x=0，y=—1，所以P(0,—1)•Iy=—x-1(2)设l的方程为：y=kx+1，A(x',y')，B(x'',y'')，则联立有LC整理得：x2一4kx一4=0，所以x'+x''=4k，x'x''i在A处的切线为：y-4x2=-m-x)，即y=-x'x-4宀同理可得，在B处切线：y-1x''2=-x''(x-x'')，即y=1x''x一4x〃2,1'1'y=xx—x2x+xx+x八解得x=，y=—1，即点P(，—1).1''1''2"2y=x''x一x''224，x'、,x'+x''八1Lzx'、八IPAI=、.1+(—)2I一xI=&'1+(—)2gx''—xI，222飞2同理可得：IPB1=丄「1+(—)2gx〃一x'I,2'2所以—=IPBI1+(f)所以—=IPBI1+(f)21+(T)2紀=2一x'2+4=4("+4)’又兀0=—4，解得x''2=1.x''=±1，所以・=一1或｛又兀0=—4，3所以直线方程为：y=±3x+1.4已知函数f(x)=ex+1(1ex+1—ax+a-1)，其中e=2.718...是自然对数的底数，g(x)=f'(x)是函数f(x)的导数.

若g(x)是R上的单调函数，求a的值；7当a=—时，求证：若x丰x,且x+x=-2，则f(x)+f(x)>2.8121212【解答】解：(1)g(x)=f'(x)=ex+i(1ex+i一ax一1)，g'(x)=ex+i(ex+i-ax一a一1),由题意g(x)是R上的单调函数，故G(x)=ex+i一ax一a一1..0恒成立，由于G(-1)=0，所以G'(—l)=0，解得a=1.解法1：消元求导：1—11—-(2)f(x)=ex+1(ex+1-x-—)=ex+1(ex+1-(x+1)+)，1—-'令x+1=t，t+1=0，不妨^设t=x+1>0，h(t)=et(et—t+)，1224841—-1—-令H(t)=h(t)+h(—t)=et(et—t+)+e-t(e-t+t+)，题即证明当t题即证明当t>0时，H(t)>21—11—11—1H'(t)=et(et—t—)—e-t(e-t+t—)=(et+e-t)(et—e-t)—t(et+e-t)—(et—e-t)7/=—(et+e-t8[(et7/=—(et+e-t8[(et一e-t)]=(et+e-t)一1...0,22—e-t)—t]+(et—e-t)[(et+e-t)—2]...016因为H(0)=2，所以当t>0时，H(t)>2，得证.解法2：切线放缩：1—3化解过程同上，原题即证明当t>0时，H(t)=h(t)+h(-t)>2，h(t)=et(-et--1+-)，841—-注意到h(0)=e0(e0-x0+-)=1，1—-1—1-求出h(t)=et(才et-t+)在(0,1)处的切线方程，则h'(t)=etet--1--)，即h'(0)=,则：切线方程为y=-1+1.-下面证明h(t).t+1恒成立(t>0)；8-令F(t)=h(t)--1-1，81—1-则F'(t)=et(et-t-)-=0nt=0，得F'(t)>0在t>0恒成立，2888第第19页（共19页）第/