拓扑学基础复习题

《拓扑学基础》复习题单项选择题以下有关连续映射/：x->y正确的选项是(b)a、对x中的任意开集u,有了(U)是丫中的一个开集b、y中的任何一个闭集B,有/-(B)是x中的一个闭集C、丫中的任何一个子集A,有尸&)u/々(A)d、假设/还是一一映射，那么/是一个同胚映射设X是一个拓扑空间，4uX,那么3(A)=(D)A、Ac"B、/fuA。'c、3(A°)D、d(X-A)以下拓扑性质中，没有继承性的是(D)A、7；空间B、4空间C、1空间D、7；空间以下有关实数空间肽，不正确的选项是(D)A、它满足第一可数性公理B、它满足第二可数性公理C、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理D、它的任何一个子空间都是连通的设A是度量空间(X,p)中的一个非空子集，那么以下命题错误的选项是(C)A、xed(A)当且仅当夕(x,A-{x})=0xA)当且仅当夕(x,A)=0C、对X/xwA,且有3(x,£)cAw“，那么A为X中的一个开集D、xwN当且仅当p(x,A)=0填空题假设拓扑空间X有一个可数稠密子集，那么称是一个可分空间.拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，那么称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质。实数空间肽中的有理数集。，那么由。)=峡。设y是拓扑空间(X，)的一个子空间，那么y的拓扑为。实数空间肽的一个基是{(”，.二的£-且〃,以。设X是一个拓扑空间，DuX,假设。是X的一个稠密子集，那么万=X。设X是一个拓扑空间，。是X的一个连通分支，那么屋C。名词解释紧致空间：设X是一个拓扑空间，如果X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，那么称拓扑空间X是一个紧致空间。同胚映射：设x与y是两个拓扑空间，如果fy是一个一一映射，并且/与/T：yfx都是连续的，那么称/是一个同胚映射。不连通空间：设x是一个拓扑空间，如果x中的有两个非空的隔离子集a和B,使得x=aub,那么称拓扑空间x是一个不连通空间。证明题：设(X,。)是一个离散的度量空间，证明：(1)x的每一个子集都是开集(2)假设y也是一个度量空间，那么任何映射/：x->y都是连续的证明：(1)对x中的任意一个子集uVxeU,令8(x4)={y£X|p(x,y)<，}22又・・・x是一个离散的度量空间当xwy时p(x,y)=1二.B(x,：)={x}Xe-)ao从而U是X中的开集2(2)对y中的任意一个开集v,/々(V)是x中的一个子集•••X是一个离散的度量空间。由(1)知：/T(V)是X中的开集/是一个连续映射设X={a乃,c},J={X^{a,b}y{b}}(1)验证J是X的一个拓扑(2))假设4={〃"},求d(A)证明：(I)•:X,@wJ{a,b}r>{b}={b]^J{a,b}<j{b}={a,b}eJ「.J是X的一个拓扑(2)对点。，对点。的任意邻域U,都有ae[a,b](zU,而Uc(A-{a})n{a,力}c(A-{a})、。.\aed(A)对点匕v(Z?)eJ.♦.{〃}为点〃的一个开邻域且仍}c(A_g})二°:.b^d(A)对于点c,其只有一个邻域X,且xc(A-{c})#。ced(A)/.J(A)={a,c}设x和y是两个拓扑空间，/：xfy,证明以下两个条件等价(1)/连续；(2)对于y的每一个子集b,有jt(*))u(/t(3))°证明：(1)=(2)/./■'(8°)=)=r\Y-Bf)=X-f~\Bf~)又•••/连续・•・对于y中的任何一个子集C,有尸(On尸(C).•.尸(8。)=X-于7(B-)uX-r\Br)=X=(尸(5)-=(尸(5))°即尸(8°)u(尸(8))°成立(2)n⑴,对丫的任何一个子集3,尸(B°)u(/t(3))°成立二.尸仍)u(尸(8旷’...X_尸uXT尸⑻厂.•/(&-)n(广(8))-=(广⑻厂令a=",那么a是丫中的一个子集，且广(--)=＞尸6)由B的任意性可知A的任意性二./是连续的设y是拓扑空间x的一个子集，证明：歹是x的一个不连通子集，当且仅当x中存在两个非空集合a和使得Yu478,入小5=或丫04¥。和丫013。。成立。证明：充分性：•••YuAuB:.Y(zAuB=AuB令A=7cK,4=7c5那么7=4%,:AcB=O必要性：•・•歹是X的一个不连通子集那么存在歹中的两个非空隔离子集4,3,使得:且A，q为y中的两个闭子集从而4，4为x中的两个闭子集Ac4=0,yca工丫c用工°设X和y是两个拓扑空间，/：X->Y是一个连续映射，证明：如果X是一个LindelGff空间，那么/(X)也是一个LindelGff空间。证明：fy是一个连续映射:.f：XT/(X)也是一个连续映射设，为/(X)的任意一个开覆盖，即f(x)uUA.•.Xu/t(UA)=U广⑷•・•/连续