2023学年北京市顺义区、通州区高考数学四模试卷（含解析）

2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（）A． B． C． D．2．若复数（为虚数单位）的实部与虚部相等，则的值为()A． B． C． D．3．设，，分别是中，，所对边的边长，则直线与的位置关系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直4．已知复数是正实数，则实数的值为()A． B． C． D．5．如图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．C．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．6．已知直线：与椭圆交于、两点，与圆：交于、两点.若存在，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B． C． D．7．集合的真子集的个数为()A．7 B．8 C．31 D．328．已知函数，若，则a的取值范围为（）A． B． C． D．9．三棱锥中，侧棱底面，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．10．（）A． B． C． D．11．已知函数，则函数的零点所在区间为（）A． B． C． D．12．已知直线，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正方形的边长为2，圆内切于正方形，为圆的一条动直径，点为正方形边界上任一点，则的取值范围是______.14．已知椭圆的下顶点为，若直线与椭圆交于不同的两点、，则当_____时，外心的横坐标最大．15．已知，，则与的夹角为.16．某市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取的份数为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数是自然对数的底数.（1）若，讨论的单调性；（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明:.18．（12分）已知函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）设函数的极值点为，当变化时，点构成曲线，证明：过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.19．（12分）设为实数,已知函数,．（1）当时,求函数的单调区间：（2）设为实数,若不等式对任意的及任意的恒成立,求的取值范围;（3）若函数（,）有两个相异的零点,求的取值范围．20．（12分）已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值.21．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面.（1）在线段上是否存在点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）已知椭圆的短轴长为，离心率，其右焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和，求的取值范围.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】

利用复数相等的条件求得，，则答案可求．【题目详解】由，得，．对应的点的坐标为，，．故选：．【答案点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．2、C【答案解析】

利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可.【题目详解】，又的实部与虚部相等，，解得.故选:C【答案点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.3、C【答案解析】试题分析：由已知直线的斜率为，直线的斜率为，又由正弦定理得，故，两直线垂直考点：直线与直线的位置关系4、C【答案解析】

将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【题目详解】因为为正实数，所以且，解得.故选：C【答案点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.5、C【答案解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【题目详解】对于A选项：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故A正确；对于B选项：与去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长，所以其总量也实现了增长，故B正确；对于C选项：2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是：江苏、山东、浙江、河南、辽宁，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是：江苏、辽宁、山东、河南、浙江，均居同一位的省有2个，故C错误；对于D选项：去年同期河南省的GDP总量，故D正确.故选：C.【答案点睛】本题考查了图表分析，学生的分析能力，推理能力，属于基础题.6、A【答案解析】

由题意可知直线过定点即为圆心，由此得到坐标的关系，再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系，由此化简并求解出离心率的取值范围.【题目详解】设，且线过定点即为的圆心，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：A.【答案点睛】本题考查椭圆与圆的综合应用，着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用，难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的，大大简化运算.7、A【答案解析】

计算，再计算真子集个数得到答案.【题目详解】，故真子集个数为：.故选：.【答案点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.8、C【答案解析】

求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．【题目详解】由得，在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数，∴由得，解得．故选：C.【答案点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．9、B【答案解析】由题，侧棱底面，，，，则根据余弦定理可得，的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径，则该三棱锥的外接球的表面积为点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径公式是解答的关键．10、D【答案解析】

利用，根据诱导公式进行化简，可得，然后利用两角差的正弦定理，可得结果.【题目详解】由所以，所以原式所以原式故故选：D【答案点睛】本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.11、A【答案解析】

首先求得时，的取值范围.然后求得时，的单调性和零点，令，根据“时，的取值范围”得到，利用零点存在性定理，求得函数的零点所在区间.【题目详解】当时，.当时，为增函数，且，则是唯一零点.由于“当时，.”，所以令，得，因为，，所以函数的零点所在区间为.故选：A【答案点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12、C【答案解析】

先得出两直线平行的充要条件，根据小范围可推导出大范围，可得到答案.【题目详解】直线，，的充要条件是，当a=2时，化简后发现两直线是重合的，故舍去，最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.【答案点睛】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【答案解析】

根据向量关系表示，只需求出的取值范围即可得解.【题目详解】由题可得：，故答案为：【答案点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.14、【答案解析】

由已知可得、的坐标，求得的垂直平分线方程，联立已知直线方程与椭圆方程，求得的垂直平分线方程，两垂直平分线方程联立求得外心的横坐标，再由导数求最值．【题目详解】如图，由已知条件可知，不妨设，则外心在的垂直平分线上，即在直线，也就是在直线上，联立，得或，的中点坐标为，则的垂直平分线方程为，把代入上式，得，令，则，由，得（舍）或．当时，，当时，.当时，函数取极大值，亦为最大值．故答案为：.【答案点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，是中等题．15、【答案解析】

根据已知条件，去括号得：，16、【答案解析】

由题意结合正态分布曲线可得分以上的概率，乘以可得.【题目详解】解：，所以应从分以上的试卷中抽取份.故答案为：.【答案点睛】本题考查正态分布曲线，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）减区间是，增区间是；（2），证明见解析.【答案解析】

（1）当时，求得函数的导函数以及二阶导函数，由此求得的单调区间.（2）令求得，构造函数，利用导数求得的单调区间、极值和最值，结合有两个极值点，求得的取值范围.将代入列方程组，由证得.【题目详解】（1），，又，所以在单增，从而当时，递减，当时，递增.（2）.令，令，则故在递增，在递减，所以.注意到当时，所以当时，有一个极值点，当时，有两个极值点，当时，没有极值点，综上因为是的两个极值点，所以不妨设，得，因为在递减，且，所以又所以【答案点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.18、（1）；（2）证明见解析【答案解析】

（1）由恒成立，可得恒成立，进而构造函数，求导可判断出的单调性，进而可求出的最小值，令即可；（2）由，可知存在唯一的，使得，则，，进而可得，即曲线的方程为，进而只需证明对任意，方程有唯一解，然后构造函数，分、和三种情况，分别证明函数在上有唯一的零点，即可证明结论成立.【题目详解】（1）由题意，可知，由恒成立，可得恒成立.令，则.令，则，，，在上单调递增，又，时，；时，，即时，；时，，时，单调递减；时，单调递增，时，取最小值，.（2）证明：由，令，由，结合二次函数性质可知，存在唯一的，使得，故存在唯一的极值点，则，，，曲线的方程为.故只需证明对任意，方程有唯一解.令，则，①当时，恒成立，在上单调递增.，，，存在满足时，使得.又单调递增，所以为唯一解.②当时，二次函数，满足，则恒成立，在上单调递增.，，存在使得，又在上单调递增，为唯一解.③当时，二次函数，满足，此时有两个不同的解，不妨设，，，列表如下：00↗极大值↘极小值↗由表可知，当时，的极大值为.，，，，，..下面来证明，构造函数，则，当时，，此时单调递增，，时，，，故成立.，存在，使得.又在单调递增，为唯一解.所以，对任意，方程有唯一解，即过原点任意的直线与曲线有且仅有一个公共点.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.19、（1）函数单调减区间为;单调增区间为．（2）（3）【答案解析】

（1）据导数和函数单调性的关系即可求出;（2）分离参数,可得对任意的及任意的恒成立,构造函数,利用导数求出函数的最值即可求出的范围;（3）先求导,再分类讨论,根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出的范围【题目详解】解：（1）当时,因为,当时,;当时,．所以函数单调减区间为;单调增区间为．（2）由,得,由于,所以对任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以对任意的恒成立,设,,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以．（3）由,得,其中．①若时,则,所以函数在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不合题意;②若时,令,得．由第（2）小题,知：当时,,所以,所以,所以当时,函数的值域为．所以,存在,使得,即,①且当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减．因为函数有两个零点,,所以．②设,,则,所以函数在单调递增,由于,所以当时,．所以,②式中的,又由①式,得．由第（1）小题可知,当时,函数在上单调递减,所以,即．当时,（ⅰ）由于,所以得,又因为,且函数在上单调递减,函数的图象在上不间断,所以函数在上恰有一个零点;（ⅱ）由于,令,设,,由于时,,,所以设,即．由①式,得,当时,,且,同理可得函数在上也恰有一个零点．综上,．【答案点睛】本题考查含参数的导数的单调性,利用导数求不等式恒成立问题,以及考查函数零点问题,考查学生的计算能力,是综合性较强的题.20、（1）；（2）【答案解析】

（1）设的极坐标为，在中，有，即可得结果；（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，联立两个方程，可求出，联立可得，则计算可得，利用三角函数的性质可得最值.【题目详解】（1）设的极坐标为，在中，有，点的轨迹的极坐标方程为；（2）设射线：，，圆的极坐标方程为，由得：，由得：，，，当，即时，，的最大值为.【答案点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.21、（1）存在；详见解析（2）【答案解析】

（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出长，写出各点坐标，用向量法求二面角．【题目详解】解：（1）当为上靠近点的三等分点