北师大七年级数学下册《小结与复习》公开课课件

小结与复习第一章整式的乘除小结与复习第一章整式的乘除11．幂的乘法运算法则要点梳理法则名称文字表示式子表示同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数，指数.am•an＝

(m、n为正整数)幂的乘方幂的乘方,底数，指数.(am)n＝

(m、n为正整数)积的乘方积的乘方，等于把积的每个因式分别，再把所得的幂.(ab)n＝(n为正整数)am＋namnanbn

不变相乘相加不变相乘乘方1．幂的乘法运算法则要点梳理法则名称文字表示式子表示同底数幂2[注意](1)其中的a、b可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．[注意](1)其中的a、b可以是单独的数、单独的字母，还可32．同底数幂的除法法则（3）同底数幂相除,底数不变，指数相减.(a≠0,m、n为任意整数)（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.（2）负整数指数幂：（a≠0，n为正整数）2．同底数幂的除法法则（3）同底数幂相除,底数不变，指数相43．整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的________,_____________分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个

.单项式与多项式相乘，用

和_______

的每一项分别相乘，再把所得的积

.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的

_______与另一个多项式的

相乘，再把所得的积

.系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加54．乘法公式公式名称平方差公式完全平方公式文字表示两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差两数和(差)的平方，等于这两数的______加上(减去)________的2倍式子表示(a＋b)(a－b)＝(a±b)2＝平方和这两数积a2－b2a2±2ab＋b24．乘法公式公式名称平方差公式完全平方公式文字表示两数和与这6公式的常用变形a2＝

(a－b)＋b2；b2＝

－(a＋b)(a－b).a2＋b2＝(a＋b)2－

,

或(a－b)2＋

；(a＋b)2＝(a－b)2＋

.

(a＋b)2ab2ab4ab[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算；

(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式．a2公式的a2＝(a－b)＋b2；a2＋b2＝(a7考点讲练考点一幂的乘法运算例1

计算：（1）(2a)3(b3)2·4a3b4；（2）(－8)2017×(0.125)2016.解：（1）原式=8a3b6×4a3b4=32a3+3b6+4=2a6b10.（2）原式=（－8）×（－8）2016×（0.125）2016=（－8）[（－8）×0.125]2016

=（－8）×（－1）2016=－8.考点讲练考点一幂的乘法运算例1计算：解：（1）原式8方法总结

幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.1.下列计算不正确的是（）A.2a3·a=2a4 B.(－a3)2=a6

C.a4·a3=a7 D.a2·a4=a8D针对训练方法总结幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积92.计算：0.252017×（－4）2017－8100×0.5301.解:原式=[0.25×（－4）]2017－（23）100×0.5300×0.5=－1－（2×0.5）300×0.5=－1－0.5=－1.5.解:∵420=（42）10=1610，∴1610>1510,∴420>1510.3.

比较大小：420与1510.2.计算：0.252017×（－4）2017－810010考点二整式的乘法

例2

计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中x=1,y=3.【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.

解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2)×3x2y=(2x3y2－2x2y)×3x2y=6x5y3－6x4y2.当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108.考点二整式的乘法例2计算：[x(x2y2－xy)11方法总结

整式的乘法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式及多项式乘以多项式，其中单项式乘以单项式是整式乘法的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.4.一个长方形的长是a－2b+1,宽为a,则长方形的面积为

.a2－2ab+a针对训练方法总结整式的乘法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘12考点三整式的乘法公式的运用

例3

先化简,再求值：[(x－y)2+(x+y)(x－y)]－2x2,

其中x=3,y=1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再进行整式的除法运算.

解：原式=(x2－2xy+y2+x2－y2)÷2x=(2x2－2xy)－2x2=－2xy.当x=3,y=1.5时，原式=－9.考点三整式的乘法公式的运用例3先化简,再求值：[13方法总结

整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公式可减少运算量，提高解题速度.方法总结整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，145.求方程(x－1)2－(x－1)(x+1)+3(1－x)=0的解.解：原方程可化为－5x+5=0,解得x=1.6.已知x2+9y2+4x－6y+5=0,求xy的值.解：∵x2+9y2+4x－6y+5=0,∴(x2+4x+4)+(9y2－6y+1)=0，∴(x+2)2+(3y－1)2=0.∴x+2=0,3y－1=0,解得x=－2,y=∴针对训练5.求方程(x－1)2－(x－1)(x+1)+3(1－x)=15考点四本章数学思想和解题方法转化思想

例4

计算：(1)－2a·3a2b3·

(2)（－2x+5+x2）·（－6x3）.【解析】(1)单项式乘以单项式可以转化为有理数的乘法和同底数幂的乘法；(2)多项式乘以单项式可以转化为单项式乘以单项式.解：（1）原式=（2）原式=(－2x)·(－6x3)+5·(－6x3)+x2·(－6x3)=12x4－30x3－6x5.考点四本章数学思想和解题方法转化思想例4计算16将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数学中常用的思想方法.如本章中，多项式×多项式单项式×多项式单项式×单项式有理数的乘法和同底数幂的乘法.方法总结

7.计算：（4a－b）•（－2b）2．解：原式=（4a－b）•4b2=16ab2－4b3．针对训练将要解决的问题转化为另一个较易解决的问题，这是初中数17整体思想

例5

若2a+5b－3=0，则4a·32b=

.【解析】已知条件是2a+5b－3=0，无法求出a，b的值因此可以逆用积的乘方先把4a·32b.化简为含有与已知条件相关的部分，即4a·32b=22a·25b=22a+5b.把2a+5b看做一个整体，因为2a+5b-3=0，所以2a+5b=3，所以4a·32b=23=8.8整体思想例5若2a+5b－3=0，则4a·32b=18在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数式看做一个字母，这就是整体思想，应用这种思想方法解题，可以简化计算过程，且不易出错.方法总结8.若xn=5，则(x3n)2－5(x2)2n=

.12500

9.若x+y=2，则=

.2

针对训练在本章中应用幂的运算法则、乘法公式时，可以将一个代数19例6

如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是

.baaaabbbbba-b数形结合思想a2－b2=(a+b)(a－b)例6如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形20【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，从图形中的阴影部分可知其面积是两个正方形的面积差(a2－b2),又由于图的梯形的上底是2b,下底是2a,高为a－b,所以梯形的面积是(2a+2b)(a－b)÷2=(a+b)(a－b),根据面积相等，得乘法公式a2－b2=(a+b)(a－b).【解析】通过图形面积的计算，验证乘法公式，21

本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形.由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式画图时，关键在于合理拼接，往往是相等的边拼到一起．方法总结本章中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代22我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一个代数恒等式也可以用这种形式来表示，例如（2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图①和图②等图形的面积表示.aaabbabababa2a2b2图①b2a2a2abababaaabb图②针对训练我们已知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际23（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2.（1）请写出图③所表示的代数恒等式；bbaabaabababababa2a2b2b2图③图④a2baababababb2b2b2(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2;（2）请画一个几何图形，使它的面积能表示（1）请写出图③所表24幂的运算乘法公式整式的乘除积的乘方平方差公式多项式与单项式相乘、相除完全平方公式整式的乘除法单项式与单项式相乘、相除多项式与多项式相乘同底数幂相乘幂的乘方同底数幂相除课堂小结幂的运算乘法公式整式的乘除积的乘方平方差公式多项式与单项式相25小结与复习第二章相交线与平行线小结与复习第二章相交线与平行线26一、对顶角两个角有________，并且两边互为___________，那么具有这种特殊关系的两个角叫作对顶角.对顶角性质：_____________.AOCBD1324公共顶点反向延长线对顶角相等要点梳理一、对顶角两个角有________，并且两边互为___27二、垂线

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是_____时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的______，它们的交点叫______.1.垂线的定义2.经过直线上或直线外一点，_____________一条直线

与已知直线垂直.4.直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫作点到直线的距离.3.直线外一点与直线上各点的所有连线中，_______最短.有且只有垂线段距离直角垂线垂足二、垂线1.垂线的28同位角、内错角、同旁内角的结构特征:同位角“F”型内错角“Z”型同旁内角“U”型三、同位角、内错角、同旁内角三线八角同位角、内错角、同旁内角的结构特征:同位角“29四、平行线1.在同一平面内，_______的两条直线叫作平行线.3.平行于同一条直线的两条直线_______.2.经过直线外一点，________一条直线与已知直线平行.4.平行线的判定与性质：两直线平行

同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线的性质不相交有且只有平行四、平行线1.在同一平面内，_______的两条直线叫作平行30考点一利用对顶角、垂线的性质求角度例1

如图,AB⊥CD于点O,直线EF过O点，∠AOE=65°,求∠DOF的度数.BACDFEO解：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°.∵∠AOE=65°,∴∠COE=25°.又∵∠COE=∠DOF(对顶角相等），∴∠DOF=25°.考点讲练考点一利用对顶角、垂线的性质求角度例1如图,AB⊥C311.如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠DOF，∠DOE=50°，求∠AOC、∠EOF、∠COF的度数．解：∵AB⊥OE（已知），∴∠EOB=90°(垂直的定义).∵∠DOE=50°（已知），∴∠DOB=40°(互余的定义).∴∠AOC=∠DOB=40°（对顶角相等）.又∵OB平分∠DOF，∴∠BOF=∠DOB=40°（角平分线定义）.∴∠EOF=∠EOB+∠BOF=90°+40°=130°.∴∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°.

针对训练1.如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分32考点二点到直线的距离例2如图AC⊥BC,CD⊥AB于点D,CD=4.8cm,AC=6cm,BC=8cm,则点C到AB的距离是

cm;点A到BC的距离是

cm;点B到AC的距离是

cm.4.868考点二点到直线的距离例2如图AC⊥BC,CD⊥AB于点33针对训练2.如图所示，修一条路将B村庄与A村庄及公路MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线路图，并说明理由．解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．针对训练2.如图所示，修一条路将B村庄与A村庄及公路MN连34

与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是“垂线段最短”．方法归纳与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的35考点三平行线的性质和判定例3

（1）如图所示，∠1=72°，∠2=72°，∠3=60°，求∠4的度数；解：∵∠1=∠2=72°，∴a//b(内错角相等，两直线平行）.∴∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠3=60°，∴∠4=120°.ab考点三平行线的性质和判定例3（1）如图所示，∠1=736

解:∵∠DAC=∠ACB(已知)，∴AD//BC(内错角相等,两直线平行).∵∠D+∠DFE=180°(已知)，∴AD//EF(同旁内角互补,两直线平行).∴EF//BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行).（2）已知∠DAC=∠ACB,∠D+∠DFE=180°,

试说明:EF//BC.ABCDEF解:∵∠DAC=∠ACB(已知)，（2）已知∠D373.如图⑴,已知AB∥CD,∠1=30°,∠2=90°,则∠3=

°4.如图⑵,若AE∥CD,∠EBF=135°，∠BFD=60°,∠D=（）A.75°B.45°C.30°D.15°图（1）图（2）60D针对训练3.如图⑴,已知AB∥CD,∠1=30°,∠2=9038考点四相交线中的方程思想例4

如图所示，交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.4123解：设∠1的度数为x°,则∠2的度数为x°,则∠3的度数为8x°,根据题意可得x°+x°+8x°=180°，解得x=18.即∠1=∠2=18°，而∠4=∠1+∠2（对顶角相等）.故∠4=36°.考点四相交线中的方程思想例4如图所示，395.如图所示，直线AB与CD相交于点O,∠AOC:∠AOD=2:3,求∠BOD的度数.ABCDO答案：72°方法归纳

利用方程解决问题，是几何与代数知识相结合的一种体现，它可以使解题思路清晰，过程简便.在有关线段或角的求值问题中它的应用非常广泛.针对训练5.如图所示，直线AB与CD相交于点O,ABCDO答案：7240平面内两条直线的位置关系两条直线相交对顶角，相等垂线，点到直线的距离两条直线被第三条直线所截两直线平行两直线平行的判定两直线平行的性质课堂小结同位角、内错角、同旁内角平面内两条直线的位置关系两条直线相交对顶角，相等垂线，点到直41两直线平行的判定同位角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行的性质两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补平行线间的距离处处相等内错角相等，两直线平行两直线同位角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线两42小结与复习第三章变量之间的关系小结与复习第三章变量之间的关系43丰富的现实情境变量及其关系利用变量之间的关系解决问题、进行预测自变量和因变量变量之间关系的探索和表示（表格、关系式、图象）分析用表格、关系式、图象所表示的变量之间的关系要点梳理丰富的现实情境变量及其关系利用变量之间的关系解决问题、进行预44例1

心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系（其中0≤x≤30）：提出概念所用时间(x)257101213141720对概念的接受能力(y)47.853.556.35959.859.959.858.355考点讲练考点一用表格表示的变量关系例1心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的45（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？提出概念所用的时间x和对概念接受能力y两个变量，其中x是自变量，y是因变量；59（1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是提出概念所用的4613分钟（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？（4）从表格中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（5）根据表格大致估计当时间为23分钟时，学生对概念的接受能力是多少？2分钟至13分钟时，13分钟至20分钟大约5213分钟（3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟2分钟至47例2

某蓄水池开始蓄水，每时进水20米3，设蓄水量为V（米3），蓄水时间为t（时）.（1）V与t之间的关系式是什么？（2）若蓄水池最大蓄水量为1000米3，则需要多长时间能蓄满水？考点二用关系式表示的变量关系解：（1）V=20t；（2）把V=1000米3代入关系式，得1000=20t，解得t=50(时）.例2某蓄水池开始蓄水，每时进水20米3，设蓄水量考点二48（3）当t逐渐增加时，V怎样变化？说说你的理由.（3）当t逐渐增加时，V也在逐渐增加，因为V是t的正整数倍.（3）当t逐渐增加时，V怎样变化？说说你的理由.（3）当t逐49针对训练

1.如图，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8.（1）梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？（2）当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由；（3）当x＝0时，y等于什么？此时它表示的是什么？y=4x+60x每增加1，y增加4.当x=0时，y=60，此时它表示的是三角形的面积.针对训练1.如图，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是850考点三用图象表示的变量关系例3（2016春•蓬溪县期中）王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间x（分）与离家距离y（米）之间的关系是（）【分析】对四个图依次进行分析，符合题意者即为所求．DABCDOOOOAD考点三用图象表示的变量关系例3（2016春•蓬溪县期中51利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵轴表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数问题的相应解决．方法总结利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数方法522.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（）A．小强从家到公共汽车站步行了2千米B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟C．公交车的平均速度是34千米/小时D．小强乘公交车用了30分钟x(分)y(千米)C针对训练2.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小533.甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从A城出发到B城旅行.如图表示甲、乙两人离开A城的路程与时间之间关系的图象.根据图象，你能得到关于甲、乙两人旅行的那些信息？路程（千米）摩托车自行车时间（小时）3.甲、乙两人（甲骑自行车，乙骑摩托车）从A城出发到B城旅行54解：（1）本次旅行甲用了8小时.（2）甲比乙晚到2小时.（3）甲出发3小时后走了全程的一半.路程（千米）摩托车自行车时间（小时）解：（1）本次旅行甲用了8小时.路程（千米）摩托车自行车时间55丰富的现实情境自变量和因变量变量之间关系的探索和表示分析用表格、关系式、图象所表示的变量之间关系利用变量之间的关系解决问题、进行预测课堂小结丰富的现实情境自变量和因变量变量之间关系的探索和表示分析用表56小结与复习第四章三角形小结与复习第四章三角形57要点梳理一.三角形的有关性质1.不在同一直线上的三条线段首尾_________所组成的图形叫作三角形.以点A，B，C为定点的三角形记为______，读作“三角形ABC”.顺次相接△ABC2.三角形三个内角的和等于______.180°要点梳理一.三角形的有关性质1.不在同一直线上的三条线段首尾58锐角三角形直角三角形钝角三角形按角分按边分不等边三角形等腰三角形5.三角形的三边关系三角形任意两边之和大于第三边.三角形任意两边之差小于第三边.3.

三角形的分类4.直角三角形的两个锐角互余.锐角三角形直角三角形钝角三角形按角分按边分不等边三角形等腰三596.三角形的三条角平分线交于一点；三角形三条中线交于一点；三角形的三条高所在的直线交于一点.二.全等三角形1.全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等3.三角形的稳定性的依据：SSS2.全等三角形的判定ASASSSSASAAS6.三角形的三条角平分线交于一点；二.全等三角形1.全等三角60考点一三角形的三边关系例1已知两条线段的长分别是3cm、8cm

，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？解：

由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得8－3<a<8+3,所以5<a<11.又因为第三边长为奇数,所以第三条边长为7cm或9cm.考点讲练【分析】根据三角形的三边关系满足8－3<a<8+3

解答即可.考点一三角形的三边关系例1已知两条线段的长分别是3611.已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是

．24【方法归纳】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.针对训练1.已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形24【62考点二三角形的内角和例2

如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.因为CD是∠ACB的平分线，所以∠BCD＝∠ACB＝×60°＝30°.因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°，

∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°.考点二三角形的内角和例2如图，CD是∠ACB的平分线，632.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B－∠A=∠C-∠B，则∠B=

.

90°针对训练2.在△ABC中,三个内角∠A,∠B,∠C满足∠B－∠A=∠64考点三三角形的角平分线、中线、高例3如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．解析：因为点D是AC的中点，所以AD＝AC，因为S△ABC＝12，所以S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.

因为EC＝2BE，S△ABC＝12，

所以S△ABE＝

S△ABC＝×12＝4.

因为S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)

＝S△ADF－S△BEF，所以S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.2考点三三角形的角平分线、中线、高例3如图，在△ABC65

三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．方法归纳三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高663.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A=70°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是

，∠FBC的度数是

.4.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC=132°，那么∠A的度数是

.ABCEFABCDEO20°40°84°针对训练3.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，4.如图，在△A67例4

已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明：△ABC≌△DCB．∠ABC＝∠DCB(已知），

BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），解：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB（ASA）.BCAD【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定．考点四全等三角形的判定与性质例4已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∠A68例5

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,试说明：∠DEC=∠FEC.ABCDFEG【分析】欲证∠DEC=∠FEC由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE只需要证明△DEG

≌△DCG.例5如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点69ABCDFEG解：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=90°.在△AGE和△AGC中，∠AGE=∠AGC，AG=AG，∠EAG=∠CAG，∴△AGE

≌

△AGC(ASA)，

∴GE=GC.在△DGE和△DGC中，EG=CG，∠EGD=∠CGD=90°，DG=DG.∴△DGE≌△DGC(SAS).∴∠DEG=∠DCG.∵EF//BC,∴∠FEC=∠ECD，∴∠DEG=∠FEC.ABCDFEG解：∵CE⊥AD,∴∠AGE=∠AGC=70利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个715.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF

B.∠A=∠D,∠B=∠E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,∠A=∠D

D.AB=DE,BC=EF,∠C=∠FD针对训练5.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△72考点五本章中的思想方法方程思想例6如图，△ABC中，BD平分∠ABC,∠1=∠2,∠3=∠C,求∠1的度数.ABCD))))2413解：设∠1=x,根据题意可得∠2=x.

因为∠3=∠1+∠2，∠4=∠2，所以∠3=2x,∠4=x，又因为∠3=∠C，所以∠C=2x.在△ABC中，x+2x+2x=180°,解得x=36°,所以∠1=36°.考点五本章中的思想方法方程思想例6如图，△ABC中，B73

在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.方法总结在角的求值问题中，常常利用内角、外角之间的关系进行转74分类讨论思想例7

已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是

．解析：由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.26或22分类讨论思想例7已知等腰三角形的两边长分别为10和6，75化归思想ABCDO如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数字“8”，我们不难发现有一重要结论：∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图.化归思想ABCDO如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三76性质判定：SAS、ASA、AAS、SSS三角形高、角平分线、中线性质等腰（等边）三角形的性质与判定全等三角形用尺规作三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边内角和为180°课堂小结性质判定：SAS、ASA、AAS、SSS三高、角平分线、中线77小结与复习第五章生活中的轴对称小结与复习第五章生活中的轴对称781.轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形.这条直线叫作对称轴.2.轴对称：把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对称.这条直线叫作对称轴.要点梳理一.轴对称图形与轴对称1.轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如要点梳理一.轴793.轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称区别联系图形(1)轴对称图形是指()

具有特殊形状的图形,

只对()图形而言;(2)对称轴()只有一条(1)轴对称是指()图形的位置关系,必须涉及

()图形;(2)只有()对称轴.如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.如果把两个成轴对称的图形拼在一起看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形.一个一个不一定两个两个一条3.轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称804.轴对称的性质：

在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.4.轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称811..等腰三角形的性质

名称项目

等腰三角形

性质

①边：两腰相等②角：两个底角相等(等边对等角)③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线

二.简单的轴对称图形1..等腰三角形的性质名称等腰三角形性质①边：两82角平分线上的点到角两边的距离相等.3.角平分线的性质2.线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.角平分线上的点到角两边的距离相等.3.角平分线的性质2.线段83考点一轴对称图形与轴对称例1

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称.(1)画直线EF;(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′与直线

MN，EF所夹锐角α的数量关系.ABCA′B′C′A″B″C″MN考点讲练【分析】连接△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.考点一轴对称图形与轴对称例1如图，△ABC和△A′84ABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如图，连接B′B″,作线段B′B″的垂直平分线EF,则直线EF是△A′B′C′和△A″B″C″的对称轴；（2）连接B″O,B′O,BO,∵△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，∴∠BOM=∠B′OM.∵△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称，∴∠B′OE=∠B″OE.∴∠B′OB″=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α.EFOMNABCA′B′C′A″B″C″解：（1）如图，连接B′B85轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会通过简单的图案设计确定最短路线等.方法总结轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生861.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?针对训练1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?872.如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形．xyOx=1ABCA′B′C′解：△A′B′C′就是所求作的图形.2.如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形．xyOx88考点二等腰三角形的性质例2

如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.试说明：∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.考点二等腰三角形的性质例2如图所示，在△A89ABCD))12E解：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则∵AB=AC,∴AE⊥BC.∴∠2+∠ACB=90°.∵BD⊥AC,∴∠DBC+∠ACB=90°.∴∠2=∠DBC.∴∠BAC=2∠DBC.ABCD))12E解：作∠BAC的平分线AE,交BC于点90

解：∵AD

是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD.∵点C在AE

的垂直平分线上，∴AC=CE,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=DE.例3

如图，AD是BC的垂直平分线，点C

在AE

的垂直平分线上，AB，AC，CE

的长度有什么关系？AB+BD与DE

有什么关系？ABCDE考点三线段垂直平分线与角平分线的性质【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.解：∵AD是BC的垂直平分线，例3如图，91常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的”三线合一”结合起来考查.方法总结常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点92例4

有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法).例4有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图.电信93【解析】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.解：根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE;【解析】利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.94(2)作线段AB的垂直平分线FG；则射线OD,OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.(2)作线段AB的垂直平分线FG；953.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是

.C18厘米ABDE针对训练3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米964.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．解：AD平分∠BAC．理由如下：∵D到PE的距离与到PF的距离相等，∴点D在∠EPF的平分线上．∴∠1＝∠2．又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．ABCEFD((((3412P

4.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF97考点四本章的数学思想与解题方法分类讨论思想例5

等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x－8)cm，根据题意得2x+x－8=20,解得x=,∴x－8=;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4,∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.故此等腰三角形的三边长分别为考点四本章的数学思想与解题方法分类讨论思想例5等腰98

根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确.方法总结根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知条件未明确995.若等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.针对训练5.若等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.解：①若腰100生活中的轴对称轴对称现象两个图形成轴对称轴对称图形对称轴简单的轴对称图形等腰三角形的性质轴对称图形的性质对称性“三线合一”底角相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等应用图案设计计算与推理课堂小结生两个图形成轴对称轴对称图形对称轴简单的轴等腰三角形的性质轴101小结与复习第六章概率初步小结与复习第六章概率初步102事件的可能性必然事件不可能事件P(A)=1P(A)=0随机事件不确定事件游戏的公平性概率的简单计算作出决策频率的稳定性,P(A)=要点梳理0<P(A)<1事件的可能性必然事件不可能事件P(A)=1P(A)=0随机事103考点一事件的判断和概率的意义例1

在成语“瓮中捉鳖”、“拔苗助长”、“守株待兔”和“水中捞月”描述的事件中，分别是什么事件？考点讲练解：“瓮中捉鳖”是必然事件，“拔苗助长”和“水中捞月”是不可能事件，“守株待兔”是随机事件.考点一事件的判断和概率的意义例1在成语“瓮1041.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰是红球的概率是”的意思是（）A．布袋中有2个红球和5个其他颜色的球B．如果摸球次数很多，那么平均每摸7次，就有2次摸中红球C．摸7次，就有2次摸中红球D．摸7次，就有5次摸不中红球B针对训练1.“闭上眼睛从布袋中随机地摸出1个球，恰是红球B针对训练105考点二

用频率估计概率例2

某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：【解析】观察这位运动员多次进球的频率可以发现在0.75上下徘徊，于是可以估计他投篮一次进球的概率是0.75.投篮次数n8101291610进球次数m6897127进球率(1)把表格补充完整．(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？0.750.80.780.70.750.75考点二用频率估计概率例2某篮球运动员在最近的几场106

频率是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变.而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关.在大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性：试验频率稳定于其理论概率.方法总结频率是在相同条件下进行重复试验时事件发生的次数与试验1072.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现从中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15％和45％，则口袋中白色球的个数最有可能是（

）A.24个B.18个C.16个D.6个C针对训练2.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻C针对训练108例3一个小妹妹将10盒蔬菜的标签全部撕掉了.现在每个盒子看上去都一样.但是她知道有三盒玉米，两盒菠菜，四盒豆角，一盒土豆.她随机地拿出一盒并打开它.（2）盒子里面是豆角的概率是多少？（3）盒子里面不是菠菜的概率是多少？（4）盒子里面是豆角或土豆的概率是多少？（1）

盒子里面是玉米的概率是多少？考点三等可能事件的概率例3一个小妹妹将10盒蔬菜的标签全部撕掉了.现在每个盒子109

3.一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同的概率是()A.B.C.D.A针对训练3.一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，A针对训110（1）P(抽到大王）=1544.一副扑克牌，任意抽取其中的一张，227（2）P(抽到3）=1354（3）P(抽到方块）=（1）P(抽到大王）=1544.一副扑克牌，任意抽取其中的一1115.话说唐僧师徒越过石砣岭,吃完午饭后,三徒弟商量着今天由谁来刷碗,可半天也没个好主意.还是悟空聪明,他灵机一动,扒根猴毛一吹,变成一粒骰子，对八戒说道:我们三人来掷骰子：

如果掷到2的倍数就由八戒来刷碗；

如果掷到3就由沙僧来刷碗；

如果掷到7的倍数就由我来刷碗；

徒弟三人洗碗的概率分别是多少！5.话说唐僧师徒越过石砣岭,吃完午饭后,三徒弟商量着今天由谁112

1.会判定三类事件(必然事件、不可能事件、随机事件)及三类事件发生的概率，用图来表示事件发生的概率.

2.理解概率的意义，会计算有关摸球、面积等一些事件的概率.

3.会设计概率游戏使其满足某些要求.（1）P(摸到红球)＝（2）P(事件发生)=课堂小结1.会判定三类事件(必然事件、不可能事件、随机事件)及三113小结与复习第一章整式的乘除小结与复习第一章整式的乘除1141．幂的乘法运算法则要点梳理法则名称文字表示式子表示同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数，指数.am•an＝

(m、n为正整数)幂的乘方幂的乘方,底数，指数.(am)n＝

(m、n为正整数)积的乘方积的乘方，等于把积的每个因式分别，再把所得的幂.(ab)n＝(n为正整数)am＋namnanbn

不变相乘相加不变相乘乘方1．幂的乘法运算法则要点梳理法则名称文字表示式子表示同底数幂115[注意](1)其中的a、b可以是单独的数、单独的字母，还可以是一个任意的代数式；(2)这几个法则容易混淆，计算时必须先搞清楚该不该用法则、该用哪个法则．[注意](1)其中的a、b可以是单独的数、单独的字母，还可1162．同底数幂的除法法则（3）同底数幂相除,底数不变，指数相减.(a≠0,m、n为任意整数)（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.（2）负整数指数幂：（a≠0，n为正整数）2．同底数幂的除法法则（3）同底数幂相除,底数不变，指数相1173．整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们的________,_____________分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个

.单项式与多项式相乘，用

和_______

的每一项分别相乘，再把所得的积

.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的

_______与另一个多项式的

相乘，再把所得的积

.系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加系数相同字母的幂因式单项式多项式相加每一项每一项相加1184．乘法公式公式名称平方差公式完全平方公式文字表示两数和与这两数的差的积，等于这两数的平方的差两数和(差)的平方，等于这两数的______加上(减去)________的2倍式子表示(a＋b)(a－b)＝(a±b)2＝平方和这两数积a2－b2a2±2ab＋b24．乘法公式公式名称平方差公式完全平方公式文字表示两数和与这119公式的常用变形a2＝

(a－b)＋b2；b2＝

－(a＋b)(a－b).a2＋b2＝(a＋b)2－

,

或(a－b)2＋

；(a＋b)2＝(a－b)2＋

.

(a＋b)2ab2ab4ab[点拨](1)乘法公式实际上是一种特殊形式的多项式的乘法，公式的主要作用是简化运算；

(2)公式中的字母可以表示数，也可以表示其他单项式或多项式．a2公式的a2＝(a－b)＋b2；a2＋b2＝(a120考点讲练考点一幂的乘法运算例1

计算：（1）(2a)3(b3)2·4a3b4；（2）(－8)2017×(0.125)2016.解：（1）原式=8a3b6×4a3b4=32a3+3b6+4=2a6b10.（2）原式=（－8）×（－8）2016×（0.125）2016=（－8）[（－8）×0.125]2016

=（－8）×（－1）2016=－8.考点讲练考点一幂的乘法运算例1计算：解：（1）原式121方法总结

幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方.这三种运算性质贯穿全章，是整式乘法的基础.其逆向运用可将问题化繁为简，负数乘方结果的符号，奇次方得负，偶次方得正.1.下列计算不正确的是（）A.2a3·a=2a4 B.(－a3)2=a6

C.a4·a3=a7 D.a2·a4=a8D针对训练方法总结幂的乘法运算包括同底数幂的乘法、幂的乘方、积1222.计算：0.252017×（－4）2017－8100×0.5301.解:原式=[0.25×（－4）]2017－（23）100×0.5300×0.5=－1－（2×0.5）300×0.5=－1－0.5=－1.5.解:∵420=（42）10=1610，∴1610>1510,∴420>1510.3.

比较大小：420与1510.2.计算：0.252017×（－4）2017－8100123考点二整式的乘法

例2

计算：[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]×3x2y,其中x=1,y=3.【解析】在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序；二要熟练正确地运用运算法则.

解：原式=(x3y2－x2y－x2y+x3y2)×3x2y=(2x3y2－2x2y)×3x2y=6x5y3－6x4y2.当x=1,y=3时，原式=6×27－6×9=108.考点二整式的乘法例2计算：[x(x2y2－xy)124方法总结

整式的乘法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式及多项式乘以多项式，其中单项式乘以单项式是整式乘法的基础，必须熟练掌握它们的运算法则.4.一个长方形的长是a－2b+1,宽为a,则长方形的面积为

.a2－2ab+a针对训练方法总结整式的乘法主要包括单项式乘以单项式、单项式乘125考点三整式的乘法公式的运用

例3

先化简,再求值：[(x－y)2+(x+y)(x－y)]－2x2,

其中x=3,y=1.5.【解析】运用平方差公式和完全平方公式，先算括号内的，再进行整式的除法运算.

解：原式=(x2－2xy+y2+x2－y2)÷2x=(2x2－2xy)－2x2=－2xy.当x=3,y=1.5时，原式=－9.考点三整式的乘法公式的运用例3先化简,再求值：[126方法总结

整式的乘法公式包括平方差公式和完全平方公式，而完全平方公式又分为两个：两数和的完全平方公式和两数差的完全平方公式，在计算多项式的乘法时，对于符合这三个公式结构特征的式子，运用公