数学七年级上：代数式知识精讲

初三数学代数式知识精讲一.本周教学内容：代数式［学习目标］1.掌握整式的有关概念和运算，理解代数式的分类，熟练运算法则；2.掌握因式分解的概念、方法、步骤；3.理解分式概念及运算［学习重点、难点］1.代数式分类及定义2.求代数式的值3.整式的运算（1）同类项（2）添（去）括号法则（3）整式加减（4）整数指数幂及运算性质①②③④⑤⑥（5）整式的乘除①乘法：单×单单×多多×多②乘法公式③除法：单÷单多÷单4.因式分解（1）定义：是一种形变是多×多的逆变形。（2）注意：数集，幂的形式，首项不带负号。（3）方法①提公因式②公式法③分组分解法④十字相乘法⑤求根公式分解二次三项式的方法（4）步骤：一提二套三分组5.分式（1）若A和B均为整式，B中含有字母，形如的式子叫做分式。（2）最简分式：分子，分母没有公因式的分式。（3）分式运算：①加减：，特别时，②乘：③④乘方：6.二次根式（1）形如叫二次根式。（2）最简二次根式及同类二次根式。（3）性质：①②③④⑤⑥若（4）分母有理化（5）运算：加减乘除。例1.已知，，求的值。解：∵，∴∵∴当说明：求代数式的值，有时要把已知条件化简，得出字母的值或字母之间的关系，然后把它们代入化简（或变形）后的所要求值的代数式里，进行计算求值。例2.计算：（1）；（2）解：（1）（2）说明：正确运用幂的运算法则是进行幂的运算的关键。单项式相乘除时，要注意运算顺序，先做乘方，然后按从左到右的顺序做乘除法。例3.计算：（1）；（2）；解：（1）（2）例4.把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）说明：用分组分解法分解因式，关键在于分组后各组之间是否有公因式可以提取，分组的目的是为前三种方法创造条件。对于四项的多项式，经常需要先判断是“二、二分组”还是“一、三分组”。能“一、三分组”的多项式的特点是，有三项的绝对值能表示成完全平方形式，而且这三项异号，其中同号的两项能与多项式中的剩余项配成完全平方形式（如第（2）、（3）题）。对于不符合这个特点的四项多项式，可结合它们各项系数之间的规律考虑“二、二分组”。用第一项分别与第二、三、四项分组进行试验，一般都能找到两种恰当的分组方法。例5.把下列各式分解因式：（1）；（2）；※（3）解：（1）（2）（3）说明：在因式分解的过程中常用到配方法，运用完全平方公式进行配方时，其关键是根据中左端的形式，配中间乘积项2ab或一个平方项（或）。配方后转化为用平方差公式（或十字相乘）等继续进行分解因式。在因式分解时，有时还需要使用拆、添项的技巧，以便能达到顺利分组的目的。例6.已知是一个完全平方式，求a的值。解：（方法1）是一个完全平方式，∴∴。（方法2）∵是一个完全平方式，∴有两个相等实根。即∴。说明：如果一个整式恰好是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式。解决这类问题，可用配方法或者用方程观点去解。例7.当x取何值时，下列分式有意义？分式的值为零？（1）；（2）解：（1）要使分式有意义，只要使，解得且。∴当有意义。要使的值为零，只要，解得∴当的值等于零。（2）要使分式有意义，只要使≠0，解得x≠－3且x≠4。∴当x≠－3且x≠4时，分式有意义。要使的值为零，只要，解得∴当x＝3时，分式的值等于零。说明：（1）确定分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式。（2）只有当字母的取值使分子的值等于零而且分母的值不为零时，分式的值才等于零。（3）注意确切使用“或”和“且”字。如题目中，对第（2）个分式，问的是分式什么时候有意义，这时答x≠－3且x≠4，如果题目问的是该分式什么时候无意义，这时应答x＝－3或x＝4。例8.计算：÷解：÷例9.计算：解：例10.已知：，化简求值。解法1：原式∵∴原式※解法2：由，得，平方，移项，可得∴当将原式化简为后，立即得其值为1。例11.已知，求的值。解：将代入上式∴原式。例12.当x为何值时，下列代数式有意义？（1）；（2）；（3）解：（1）欲使有意义，只要使，解这个不等式得。∴当有意义。（2）欲使有意义，只要使即，解得∴当有意义。（3）欲使有意义，只要使，解得∴当x＝0时，有意义。例13.化简：（1）；（2）；（3）已知：，化简；解：（1）∵∴（2）原式（3）∵∴例14.计算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式说明：请总结，在各小题的解法中，是如何根据式子的结构特征，简化计算过程的？这对你提高运算能力有什么启发？例15.已知：，计算：。解：∵∴∵又∵∴（答题时间：60分钟）1.选择题：（1）下面计算中，正确的是（）A.B.C.D.（2）等于（）A. B.C.0 D.（3）若的值为（）A.9 B.10 C.2 D.1（4）下列二次根式中，最简二次根式的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个（5）若数轴上表示数a的点在原点的左边，则化简的结果是（）A. B. C. D.2.填空题：（1）计算：①___________；②___________；③___________；④___________；⑤＝___________；⑥___________（n为整数）（2）若是同类二次根式，则a＝___________，b＝___________。3.计算：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4.将下列各式分解因式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5.化简：6.已知x、y是方程组的解，求代数式的值。7.计算：