概率论-p数理统计

数理统计

(MathematicalStatistics)

是数学的一个分支学科,

研究怎样有效地收集

,整理和分析带有随机性的数据,以对所观察的问题作出推断或

,直至为采取一定的决策和行动提供依据与建议。参数估计假设检验点估计区间估计数理统计内容分析方差分析参数检验分布检验方差分析正交设计回归 一元回归多元回归§6.1

总体和样本总体—研究对象全体元素集合,记为X

.i表示,n

为样本容量.21

—组成

的每个元素,记为

X.子样—从样本,用称(n

)为

X

的一个容量为n

的子样值,或称样本观测值.中抽取的部分

,称若

X

的子样

21

满21与,,

相同的分布；21

相,,

，则称

(n

单)随机子样.随机抽样简单随机子样重复抽样非重复抽样独立同分布近似独立同分布N条件：

n

0.1N总体容量nn

xFi

)i121

n若

X

的密度函数为f(

x),则子样的概率密度函数为nf

n(n

)

f

(xi

)i1(设

X的分布函数为F

(x),则子样n

)的概率分布函数为若母体X为离散情形,则子样n

xi

)Pn

(x1

,

x2

,,

xn

)

P(

Xii1(

X1,

X

2

,,

Xn

)的联合概率分布为例如设某批产品共有N

个,其中的次品数为M,其次品率为p

M

/

N所取的产品是次品

0,

所取的产品不是次品X

1,其概率分布若p

是未知的,则可用抽样方法估计.从这批产品中任取一个产品,用随机变量X

来描述它是否是次品:f

(x,

p)

p

0,1设有放回地抽取一个容量为n的子样21

21的联合分布为n

xfii121

n总21

其子样值为样本空间为{(

n}i21

innnxii1(1

p)nxi

p

i1若抽样是无放回的,则前次抽取的结果会影响后面抽取的结果.例如M

1N

1P(

X

2

1

X1

1)

N

1P(

X

2

1

X1

0)

M所以,当子样容量n

与中数目N相比很小时,可将无放回抽样近似地看作放回抽样.

pN

Np

11

1NpN

pN1

1子样(n

)

的连续函数21

中不含未知参数,则称为统计量.21

定义统计量例

X

~

N

(,

2

)

, ,

2

是未知参数,则i1innX

1

X是统计量,不是统计量.1

ni1iX

2

2ini11

n(1)

X

X为样本均值ni1S

2

1n

-1iX

X

2(2)为样本方差iX

X

i12n

-1n

1

为样本标准差21

设是来自总体X的容量为n

的样本,称统计量

1

n

1i1n

i1n

1

iiX

X

2

n

1

S

显然XS

22

n(

X

)

2ni1kik(3)

X

Xn1为样本的k

阶原点矩

X

k

为样本的k

阶中心矩Xni1ik(4)

m

1n一阶原点矩为样本均值，二阶中心矩为n

1

i1i1

(

X

)2iiX

X

2n

1

Xnnm22经验分布函数为子样的经验分布函数.Fn

(

x)同分布函数

F

(x)

一样具有性质：非降、右连续、Fn

()

0,Fn

()

1.设子样为排列，可得(n

),

将其由小到大定义1k

)(nnxF

k

,)(2()1(由子样频数分布得子样经验分布函数：Fn

(

x)

n1,)1(k

)(x

x(1)0

,1

,n2

,)1(nk2(x

x(

n)xo1

onx(1)

x(

2)x(

k

)n2

on子样经验分布函数图形Fn

(

x)1

k

o例1

从织布车间抽取12匹布检查每匹布的疵点数，得子样(1,0,0,2,1,3,2,0,1,1,2,1

)求子样频数分布和子样频率分布.将12个数从小到大排列,相同的合并，0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,2,3Fn

(

x)

1/

4

,2

/

3,11/12

,1,x

0例1的子样经验分布函数：0

,0

x

11

x

22

x

3x

3例1的子样经验分布函数图形xFn

(

x)11lim

P

Fn

(

x)