天津市杨村第一中学2022年高考考前模拟数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。22B0．53．4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如图是二次函数f(x)x2bxa的部分图象，则函数g(x)alnxf(x)的零点所在的区间是（ ）A．1,1

B．1,1

C．(1,2) D．(2,3)4 2

2 现有甲、乙、丙、丁4则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为1 1B．2 3

1 1C． D．6 12一物体作变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在1s~6s间的运动路程为（ ）m．24B．3

C．494

D．2以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数R2的值判断拟合效果，R2越小，模型的拟合效果越好；③若数据x,x,x, ,x的方差为1，则1 2 3 n2x+1,2x

+1,2x

+1,

,2x

+1x,

,x,

,x,

，其线1 2 3 n

1 1 2 2

10 10x

”是x

xx 1 x

x10

yy 1 2

y10”0 0 0

0 10的充要条件；其中真命题的个数( )A．4 B．3 C．2 D．1 f(xAsin(x

0)x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数4 3g(x)Acosx的图象，只需将f(x)的图象（ ）A．向左平移12

个单位 B．向右平

个单位4C．向左平移

个单位4

D．向右平移4

个单位如图在直角梯形ABCD中A∥DA⊥DA＝D＝AE为AD的中点若CACEDB(,R)，则λ＋μ的值为（ ）6 8A． B．5 5

C．2

D．837．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ）A．13

B．14 C．15，则当

D．16时，左端应在 的基础上加上（ ）A． B．C． D．设正项等差数列

的前nS

S

2S

2

的最小值为8n n 6 3 a82A．8 B．16 C．24 D．362xy4设x，y满足xy1，则zxy的取值范围是（ ）x2y2A．5,3 B． C．2, D．,32xy611xy20xy2

条件下，目标函数

zaxby0,b0

的最大值为

40，则

5a

的最小值是（ ）7 9A． B．4 4

5C． D．22f(xf(xxf(x的新驻点”g(xlnx的新驻点为a，那么a满足0（ ）A．a1 B．0a1 C．2a3 D．1a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知x0，y0，x3y5xy，则x2y的最小值是 ．2x的展开式中x2的系数为 （用具体数据作答）.春天即将来临，某学校开展拥抱春天，播种绿为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株活的概率为p各株是否成活相互独立该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株设X为其中成活的株数若X的方差DX2.1，P(X3)P(X7)，则p ．zz1 2

对应的向量分别是OAOB

1 .zzz2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。x x17（12分）设函数f(x)2.（Ⅰ）求的值；

)2cos2 0)，直线y 3与函数f(x)图象相邻两交点的距离为3 6 6（Ⅱ）在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若点B,0是函数yf(x)图象的一个对称中心，且b5，2 2 面积的最大值.x2 y2 2 x18（12分）设椭圆C: a2 b2

1ab

的离心率为 ，圆O:x2y22

2与

轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被椭圆C截得的弦长为2 2．求椭圆C的方程；设圆OP处的切线交椭圆CMNPM·PN是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．x219（12分）已知椭圆：a2

y2b2

1（ab0）的离心率为e

3，且短轴的一个端点B与两焦点A，C组成2的三角形面积为3.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）PEPEOx2y2

a2于不同的两点M，N（其中M在N的右侧，求四边形ACMN.20（12分）记数列an

的前n

，已知2n,an

,2Sn

a成等差数列(nN*.n证明：数列n

是等比数列，并求n

的通项公式；记b

an1数列

的前n项和为

，求T.n an

n n nn121（12分）已知椭圆C:xa2

y2b2

b0)的离心率为

3，且过点A0,1.2C的标准方程；PA，BPPQyQPQAM与直y1N，DBNOODM的位置关系.22（10分）选修4-：不等式选设函数 ．证明: ；若不等式 的解集非空，求的取值范围．参考答案125601、B【解析】根据二次函数图象的对称轴得出by轴截距，求出ag(x.【详解】∵f(x)x2bxa，结合函数的图象可知，xb0f(0)a1，21xb1，∵f(x)2xb，2 2g(x)alnxf(xalnx2xb在(0,上单调递增.g1aln11b0,g(1)aln12b0， 22 22所以函数g(x)的零点所在的区间是1,1. 2 2故选:B.【点睛】2、B【解析】C2C2求得基本事件的总数为n

4 2

6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为mC2C2

2,A2 22

2 2 2利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，C2C2基本事件的总数为n

4 2A2 22

6，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为mC2C2

2,2 2 2p【点睛】

m1，故选B.n 3.3、C【解析】由图像用分段函数表示v(t1s~6s间的运动路程可用定积分s2

6v(t)dt表示，计算即得解121【详解】由题中图像可得，2t,0t1v(t)2,1t31 t1,3t63由变速直线运动的路程公式，可得s6vt)dt1tdt32t61t1td1 1 1 33 2 21 6 49t213 t2t (m)．1 1 6 42 31s~6s49m．2 4故选：C【点睛】4、C【解析】①根据线性相关性与r的关系进行判断,②根据相关指数R2的值的性质进行判断,③根据方差关系进行判断,④根据点xy0 0可进行判断.【详解】

满足回归直线方程，但点xy0 0

不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;②用相关指数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好,故②错误;x

,x, ,

1,2x

+1,2x

+1,2x

+1, ,2x

+1的方差为224,故③正确;1 2 3 n 1 2 3 n④因为点xy0 0

满足回归直线方程，但点xy0 0

不一定就是这一组数据的中心点，即x 0

xx1

x10，10yy y

xx

x

yy yy 1 20 10

10不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当x 1 20 10

10，y 1 2 100 10时，点x,y0 0

必满足线性回归方程；因此“ x,y0 0

是“x

xx1

x10

yy ，y 1 2

y10”必要不充分条件.故④错误;所以正确的命题有①③.0 10C.【点睛】

0 10.5、A【解析】fx的周期为T

Asin 2π,3,fx πAsin 4 3 4ggx Asin3x

Asin3xπ

ππ

π

π π，故应左移 .π π

4 4

12 4 12 6、B【解析】建立平面直角坐标系，用坐标表示CACEDB，利用CACEDB(R.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，CA(2,2),CE(2,1),DBCACEDB∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，6522 65

82

解得 则 .2 5 5故选：B【点睛】7、C【解析】根据含有n个元素的集合，有2n个子集，有2n1个真子集，计算可得；【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有24115（个，故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n个元素的集合，有2n个子集，有2n1集，属于基础题．8、C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1= 时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案．【详解】当n=k时，等式左端=1+1+…+k1，当故选：C．【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./9、B【解析】S62S3(S6S3S32S9S6S6S3S3S3x(x0)，3a2 (3a

)2

a

)2

S)2 (x4)2 16 16a则SSa6

x2，SS9 6

x4，则8 = 889a 3a89

7aa

9 6 S x

x 82 x 816，x x23a2

2 1 2 3 3当且仅当x4时等号成立，从而8a

的最小值为16，故选B．方法二：设正项等差数列{a

2d，由等差数列的前nSn 64

2S3

2，化简可得65 32 2

)26a d d)2即d 则2

6d)2 2 3 16

16 8161 2 1

2 9 a8 2a

a

82 3a仅当3a

16，即a

4

8

2 22 2 2 2 2的最小值为16，故选B．2 2 3 a2 210、C【解析】首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z的取值范围.【详解】

2xy4xyxy1，可行域如下图所示，x2y2可知目标函数在点A2,0处取得最小值，故目标函数的最小值为zxy2，zxy的取值范围是2,.D.【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.11、B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知： x8,y10z10b有最大值为40z10b404a 51

1514a5b

12525b4a1

252 100 9.b ba b 20a

20

a b

20 425b当

4a

a10b

时等号成立.a b 3 3B.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.12、D【解析】由题设中所给的定义，方程f(x)f(x)的实数根x0

叫做函数f(x)的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出a的大致范围【详解】f(x)f(xx0

叫做函数f(x)的“新驻点”，对于函数g(x)lnx，由于g(x)1，xlnx1，xh(x)lnx1，该函数在(0,为增函数，xeh10，h2ln21ln2lne2

0，h(x在(1,2)上有零点，g(xlnx的新驻点a，那么1a2D．【点睛】本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出a基础题..二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2 6513、 12 65【解析】11 3x2y

(x2y.y x【详解】1由x3y5xy，得31

5，y x2 611 3 1 x 6y 1 x 6y2 6x2y

(x2y) 5 (52 ) 1，当且仅当x 6y，取等号.故答案为：【点睛】

5y x 5 y x 5 y x 52 652 65本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.14、60【解析】利用二项展开式的通项公式可求x2的系数.【详解】2x的展开式的通项公式为Tr1

Cr2x6rr，6令6r2，故r4，故x2的系数为4C42260.660.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.15、0.7【解析】

10p1p2.1X~B10,p

，且PX3PX7，从而可得p值．【详解】X~p 10p1p2.1

p2100p210PX3PX7，即

p0.5 , ∴p0.7故答案为：0.7【点睛】1612i【解析】试题分析：由坐标系可知z1

2i,z2

iz1z12

2i1i考点：复数运算三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。25 317（Ⅰ）（Ⅱ） .25 312【解析】(Ⅰ)f(x)

x x)2cos2 1，利用和差公式和倍角公式，化简即可求得；3 6 6(Ⅱ)由知函数f(x) 3sin(x

，根据点B,0yf(x图象的一个对称中心，代入可得

，利用余3 2 B弦定理、基本不等式的性质即可得出.【详解】(Ⅰ) f(x)

x x )2cos2 13 6 6x

x cos3 6

xsin3

26

1cos3 123 sinx3cosx 3sin(x)32 3 2 3 3 3f(x)的最大值为3,f(x)最小正周期为23sin(B23sin(B2(Ⅱ)由题意及（Ⅰ）知f(x) 3sin(x)，3

)0B3 3a2c2b2cosB2aca2a2c2b2cosB2ac2ac 225aca2c2252ac25,ac3故SABC

1acsinB ac25 332 4 1225 3325 3故的面积的最大值为 .25 312【点睛】本题考查三角函数的和差公式、倍角公式、三角函数的图象与性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档基础题.18

x2y21；（2）见解析.6 3【解析】a,b,cA（I）分切线斜率存在与不存在讨论，设出M,Nm,k的关系式，将直线方程代入椭圆方程，利用根与系数关系，表示OMON，结合三角形相似，证明结论，即可．【详解】2(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为22

知，ba 2b，∴椭圆C的方程可设为

x2 y22b2 b2

1.

2 2

0

2b2

1，b2a26 x2 y2解得b2

3，∴椭圆C的方程为631.2(Ⅱ)P且与圆Ox2

，由(Ⅰ)知，2M ，2，N2，OM

，2ON

2OMON0，∴OMON.P且与圆OykxmMx

，Nx，y，mk212∴ ，即m222mk212

1 1 2 2联立直线和椭圆的方程得x22kxm

6， 2

4km 412k2 2m260 4km∴12k

x24kmx2m260，得

xx1

.2k21 2m26 xx∵OMxyONxy，

12 2k21OMOMONx∴ yy x

kxmkxm，12 12 1

1 2 2m26 4km1k2

xxkm12

xx1

m2

1k

km2k21 2k21

m21k22m264k2m2m22k2 2k21

3m26k26226k26 0，2k21 2k21∴OMON.综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点M，N，都有OMON.在RtOMN中，由OMP与相似得，OP【点睛】

PMPN2为定值.本道题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆位置关系，考查了向量的坐标运算，难度偏难．x219（Ⅰ）4

y21（Ⅱ）4.【解析】33（Ⅰ）结合已知可得c ，bc 求出a，b的值，即可得椭圆方程；33a 2由题意可知直线的斜率存在设出直线方程联立直线方程与椭圆方程利用判别式等于0可得m24k21联立直线方程与圆的方程，结合根与系数的关系求得S S ，利用弦长公式及点到直线的距离公式，求出MCO ANOS ，得到S S S S ，整理后利用基本不等式求最.MON ACMN MON MCO ANO【详解】（Ⅰ）可得c

3，bc3

3结合a2b2c2，3a 2a2c

b1x32432

y21；（Ⅱ）易知直线MN的斜率k存在，设MN：ykxm，ykxm由

，得4k2x2kmx4m20，x24y24由64k2m2164k2m20，得m24k21，∵S S S S ，ACMN MON MCO ANOOM2d2OMNkxymOM2d2m1k2d ，MNm1k24m4m2k211k2

|m|

2 4 m2SMON

22

，3mk23mk21m1k2k21m1k224m2k21由

，得k2x22kmxm240，x2y24xx

2km ，x

m24 ，1 2 /r/