第22章 《一元二次方程》章节专题培优训练

第22章一元二次方程§22.1一元二次方程励志名言：不要失去信心，只要坚持不懈，就终会有成果的．------钱学森院士经典分析：例1.（2004年荆州市调研）关于x的一元二次方程（a－2）x2＋3x＋a2－4=0有一个解是0，则a的值是______．分析：本题考查方程解的概念，只需将方程的解代入原方程即可．解：因为方程（a－2）x2＋3x＋a2－4=0有一个解是0，因此把x=0代入到原方程得（a－2）02＋3×0＋a2－4=0，即a=±2又因为原方程是一元二次方程，因此a－2≠0，即a≠2所以a=－2点评：这是运用方程根的定义的题目，解题的基本思想是：方程的根一定满足原方程，因此将根代回到原方程即可得到关于未知数的等式，从而求解．特别注意的是当未知数前面的系数含有字母时要慎重考虑．例2．（1999年北京）我们学过一元二次方程，例如当矩形的面积为900平方米，长比宽x多10米，则宽是多少？其关系式可以写为，即．请你仿照上例另举一个在日常生活、生产或学习中有关一元二次方程的实例，并写出它的关系式．你自己能完成吗？实例：____________________________________．关系式：__________．分析：弄清题意及语言叙述的顺序，找出等量关系，列出方程．解：学校图书馆去年有图书3万册，预计明年年底增加4.4万册，求这两年的年平均增长率x等于多少？其关系式可以写为即点评：本题是开放题，只要符合题意都是正确的．基础感悟：1．下列方程中是一元二次的有（）①7x2＋6=3x②③bx2－x=0④2x2－5y=0⑤－x2=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．关于x的方程（a－1）x2＋ax－1=0是一元二次方程的条件是．3．填表一元二次方程一般式二次项二次项系数一次项一次项系数常数项拓展思维：1．如果方程3x2＋（6－a）x－1=0的一次项系数为3，则a=．2．如果方程（a＋1）x2＋（x－1）2=0的二次项系数为－2，则a=．3．如果方程ax2－5x＋3=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a＋6﹥0的解是（）A．a＞－2B．a＜－2C．a＞－2且a≠0D．a＞4．已知方程是关于x的一元一次方程，求的值当为何值时，方程才表示是关于x的一元二次方程呢？5．阅读下题的解答过程，请判断其是否有错误，如果有，请给出正确的解答．已知：是关于x的方程x2－2x＋=0的一个根，求的值．解：把x=m代入到原方程化简得，两边同除以，得，所以=1，把=1代入原方程检验可知：=1符合题意．答：的值是1．知识探究：1．试证明关于x的方程，不论取何值，该方程都是一元二次方程．2.已知实数a满足，求的值．§22.2一元二次方程的解法第1课时励志名言：业精于勤荒于嬉，形成于思毁于随．------韩愈经典分析：例．解方程分析：本题考查用因式分解法解一元二次方程的同时还要灵活运用数学中换元的思想，使较复杂的计算得以简化．解：设，则原方程可化为所以当时，，解得当时，，解得所以原方程的解是，点评：当一个式子中有相同的代数式或量与量间有联系时，可以用新的变量替换原来的一些量，即用换元法求解．基础感悟：1．在方程（x－1）2=4中，x－1是的平方根，而4的平方根有个，是和，所以x－1=，则x=或x=．2．如果方程x2－x－2=0，则方程的解为．3．用直接开平方法或因式分解法解下列方程：①.②.③.④.4．试用两种方法解方程：x2－81=05．（2004年富阳市）解方程拓展思维：1．李华在解方程：x2=－3x，将方程两边同除以x，得x=－3，这样做对吗？为什么？2．解方程3．解方程4．解方程5．已知，x是什么数时，y的值等于零？x是什么数时，y的值等于－4？6．已知，求证，或知识探究：1．已知，求的值2．解方程§22.2一元二次方程的解法第2课时励志名言：你如果要喜爱你自己的价值,你就得给世界创造价值．------歌德经典分析：例１．解方程分析：先把原方程化成一般形式，这个方程的二次项系数是2，为了方便配方，可把二次项系数化为1，为此，可把原方程各项都除以2．解析：将原方程化成一般形式，得化二次项系数为1，得移项，得方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得配方，得解得所以，点评：“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”是配方法解方程的关键，把方程化成一般形式，二次项系数化为1是进行这一类题关键步骤的前提．例2．试用配方法证明：代数式的值不小于．分析：要使代数式的值不小于，即求代数式的最小值为，解决这类问题的方法是先将代数式配方后形如的形式，而的最小值为，从而达到目的．解：==可见无论为何值代数式的值都不小于．点评：注意代数式的配方不能像解方程那样，各项都除以二次项系数．基础感悟：1．填空题①=()2②=()2③=(2)2２．用配方法解下列方程①②3．如果是一个完全平方式，则的值为拓展思维：１．配方后的方程为．２．配方后的方程为３．用配方法解方程①②４．试用配方法求代数式的最小值．5．用配方法解方程6．用配方法解方程知识探究：1．用配方法解方程2．如果，试用配方法求的值．§22.2一元二次方程的解法第3课时励志名言：人不能像走兽那样活着,应该追求知识和美德.------但丁经典分析：例．解关于的方程分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，在确定的情况下，利用公式法求解．解：原方程可化为所以原方程的解是，点评：注意此方程是关于的方程，即是未知数，为已知数，只要在确定就可以利用公式法求解．基础感悟：1．用公式法解一元二次方程,必须先把方程整理成一般形式：，再算出的值，在确定0时，代入求根公式求出方程的解．2．方程化成一般形式，得，=，用求根公式求得，．3．用公式法解下列方程：①.②.③.④.4．（2004年富阳市）用公式法解方程5．用公式法解方程拓展思维：1.用公式法解下列方程①．②．2．用公式法解方程3．用公式法解关于方程4．解方程（精确到0.01）知识探究：如果，则=，=．§22.2一元二次方程的解法第4课时励志名言：生活而无目标，犹如航海而无指南针------英国谚语经典分析：例1．用适当的方法解方程分析：注意本题的特点，两边都有共同的因式（），因此可选用提公因式法．解：原方程化成提公因式，得所以，点评：对于这种形式的方程，不要急于化成一般式，而是把化为，移项后，直接提公因式，是一种技巧性的解法，应细心体会，灵活掌握．例2．已知，求的值分析：方程都有一个共同的因式，因此可将看作一个整体求解．解：原方程化成即或所以或又因为（因此不成立）所以点评：本题很容易忽略题中的隐含条件而导致多解．基础感悟：填空题①当时，代数式的值等于8．②如果与互为相反数，则的值为．③如果分式没有意义，则的值为．２．不解方程，判别下列方程的根的情况．①．②．③．3．用适当的方法解下列方程①②③④4．已知5和2分别是方程的两个根，则．5．方程的判别式△=．拓展思维：1．方程的解为．2．方程的解为．3．关于的方程的根的情况是．4．用适当的方法解下列方程①②③④5．已知：，，问为何值时，6．已知关于的方程有两个不等的实根，求的取值范围．7．(2004上海市)关于X的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0,,其根的判别式的值为1,求m的值及该方程的根.知识探究：1．为实数,且有，求的值．2．已知关于的方程，①求证：无论取何值，方程总有实数根；②．如果等腰△ABC的一边=4，另两边、恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．§22.2一元二次方程的解法第5课时励志名言：劝告朋友要在无人的地方，赞扬朋友可在人多的场合------贺拉斯经典分析：例．将进货单价为40元的商品按50元出售，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？分析：本题是一道实用型的应用题，用关系式每个商品的利润×销售量=8000元．解：设每个商品涨价元，则售价为元，每个商品的利润为元，销售量为个，依题意，得：=8000解得，当=10时，=60，当=30时，=80，因此要想赚8000元的利润，售价应定为60元或80元，如果售价应定为60元，则进货量为400个；如果售价应定为80元，则进货量为200个．点评：本题以日常生活中的买卖为背景，体现了浓郁的生活气息，感受了数学的价值，解这类问题，要注意问题的现实背景，善于将实际问题转化为数学问题．基础感悟：1．两个连续整数的积是210，则这两个数是．2．长方形的长比宽多2，面积为48，则它的周长为．3．某商店今年1月份的销售额50000元，3月份的销售额上升到72000元，则平均每月增长的百分率为．4．求27和48的比例中项．拓展思维：1．三个连续整数两两相乘后，再求和，得362，求这三个数．2．用一根长为22cm的铁丝，折成一个面积是30cm2的长方形，求长方形的长与宽．3．有一长方形的空地，一边是长为30m的墙，另三边由一根长为35m的铁丝围成，已知长方形的空地面积是125m2，求长方形空地的长与宽．4．制造一种产品，原来每件的成本是300元，由于连续两次降低成本，现在的成本是19２元，问平均每次降低成本百分之几？5．公园里有一块长是宽的2倍的长方形的草地，现要在草地的中央建一个面积最大的圆形花园，使得剩余草地的面积是180m2，你能算出这块长方形草地的长与宽吗？请试一试（结果保留两位小数）．知识探究：某人把500元存入银行，定期一年，到期后他取出300元，将余下的部分（含利息）继续存入银行，定期还是一年，且利息不变，到期后他全部取出，正好是275元，这笔存款的年利率是%．§22.3实践与探索励志名言：有许多良友，胜于有许多财富------沙士比亚经典分析：例．（2004江西省南昌市）已知关于x的方程x2－2(m+1)x+m2=0.（1）当m取什么值时，原方程没有实数根；（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．分析：方程没有实数根只需△<0即可，求这两个实数根的平方和实质上是韦达定理的应用．解：（1）△=[－2(m+1)]2－4m2=4(m2+2m+1)－4m2=4(2m+1)<0.∴m<－.当m<－时，原方程没有实数根；（2）取m=1时，原方程为x2－4x+1=0.设此方程的两实数根为x1,x2，则x1+x2=4,x1·x2=1.∴x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=42－2×1=14.点评：值得注意的是本题第二问答案不唯一，只要符合题意即可．基础感悟：方程的根是，；则，．方程的根是，；则，．方程的根是，；则，．方程的根是，；则，．………………类似地，有：如果、是方程的根，则有，．如果、是方程的根，则有，．（这个结论就是著名的“韦达定理”，运用这个定理，不解方程也可以解决许多有关一元二次方程根与系数的问题）．拓展思维：1．如果方程的两根互为相反数，则.2．如果一元二次方程的两个根分别是-3和4，试写出满足条件的一个方程为．3．已知、是方程的两根，不解方程，试求的值．4．（2004深圳市）已知x1、x2是关于x的方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12x22-x1-x2=115，（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值．5．已知x1、x2是关于x的方程的两个实数根，求x12+x22的最小值．知识探究：在解一元二次方程时，粗心的甲、乙两同学分别抄错了同一道题，甲抄错了常数项，得到的两根分别为8和2，乙抄错了一次项的系数，得到的两根分别为－9和－1，请同学们帮帮忙，找出正确的原方程．单元小结导航一．知识点总结1．基本概念：（1）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是2的整式方程叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般式：，注意才是一元二次方程．2．一元二次方程四种解法（1）直接开平方法：形如或类型的方程，均可用直接开平方法．（2）因式分解法：这是较为简单的解一元二次方程的方法．（3）配方法：形如的方程变形为的形式，形如的一元二次方程要先将二次项的系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程变形为的形式．（4）公式法：这是解一元二次方程通用的方法，只要化成．利用求根公式：．3．一元二次方程根的及判定方法的根的判别式为△．△方程有两个不相等的实数根．△方程有两个相等的实数根．△方程无实数根．4．韦达定理（根与系数的关系）如果、是方程的根，则有，．以,为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．5．列方程解应用题的步骤及注意的问题：（1）设未知数和做答时，单位要写清楚.（2）列方程时，方程两边的量应该相同，并且各项的单位应该一致.（3）在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉.（4）对于求得的方程的解，还要看它是否有实际意义.因此在学习时要特别注意以上几个方面的问题，在今后的学习中逐步体会到用方程解决问题的优越性.二．点击考点本章的主要考点是解一元二次方程及利用一元二次方程解决实际问题．主要以选择题、填空题形式出现，或在综合题中出现，尤其是密切联系生活实际的应用题是中考命题的热点，以下是近年来各地的一些中题1．（2004大连）一元二次方程的根的情况是()A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根2．（2004北京）对于任意实数m，方程的根的情况是（） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有实数根且都是正数 D．有两个不相等的实数根3．（2004年无锡市）若关于x的方程有两个相等的实数根，则k满足（）A．k>1B．k≥1C．k=1D．k<1分析：这第1----3题是考查学生对根的判别式掌握的情况，是近年来常见的试题．1题选D，2题选A，3题选C．4．（2004浙江省湖州市）已知一元二次方程x2+3x-4=0的两个根为x1，x2，则x1·x2的值是（）A.4B.-4C.3D.-35．（2004锦州市）设方程x2+x-2=0的两个根为α、β，则(α-1)(β-1)的值等于()A.-B.-B.-B.-2C.0D.2分析：这第4、5题是考查学生对韦达定理掌握的情况，也是近年来常见的试题．4题选B，5题选C．三.名师导航1.学习方法指导在学习中主要注意以下几方面的问题：对有关一元二次方程定义的问题，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．（2）解一元二次方程时，要根据方程的特点，灵活选用解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑公式法．2.综合例题分析例1．(2004年浙江省台州(温州)市)、(1)对于任意给定的一个矩形C,是否存在另一个矩形,使它的周长和面积都是矩形C的2倍?请说明你理由．(2)当实数m是什么值时,对于任何一个矩形C,都存在另一个矩形,它的周长与面积都是矩形C的m倍?证明你的结论．分析：本题考查关于矩形周长和面积的应用题．解：（1）设已知矩形的长与宽分别为a,b,所求矩形为x,y.则∴x,y是方程t2－2(a+b)t+2ab=0的两根∵⊿=4(a+b)2－8ab=4(a2+b2)＞0,∴方程有解∴对于长与宽分别为a,b矩形,存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形．(2)设已知矩形的长与宽分别为a,b,所求矩形为x,y.则∴x,y是方程t2－m(a+b)t+mab=0的两根当⊿=m2(a+b)2－4mab≥0,即时,方程有解∴对于长与宽分别为a,b矩形,当时,存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形．∵(a－b)2≥0,∴a2+b2≥2ab∴a2+b2+2ab≥4ab即(a+b)2≥4ab,,∴的最大值为1∴当m≥1时,所有的矩形都有周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形．点评：本题应用换元法，使复杂的计算简化．当一个式子中有相同的代数式或量与量间有联系时，可以用新的变量替换原来的一些量，即用换元法求解．单元检测试题（，满分100分）一.填空题（共20分）1．关于x的方程（a－1）x2＋ax－1=0是一元二次方程的条件是．2．（万州区中考题）方程x2=x的解是_______________．3．如果，则以、为根的一元二次方程________．4．（芜湖市中考题）已知方程的一个根是1，则m的值是________．5．（天津市中考题）已知关x的方程x2－3x＋m＝0的一个根是另一个根的2倍，则m的值为_______．6．用一根长为22cm的铁丝，折成一个面积是30cm2的长方形，则长方形的长与宽分别为______________．7．把方程化成的形式______________．8．如果是一个完全平方式，则的值为_．9．已知，则_．10．（资阳市中考题）若非零实数a，b满足4a2+b2=4ab，则=___________．二．选择题（共20分）11．下列方程中是一元二次方程的有（）①7x2＋6=3x②③bx2－x=0④2x2－5y=0⑤－x2=0A．1个B．2个C．3个D．4个12．如果方程ax2－5x＋3=0是关于x的一元二次方程，则不等式3a＋6﹥0的解是（）A．a＞－2B．a＜－2C．a＞－2且a≠0D．a＞13．（梅州市中考题）已知是方程的两根，则（）A．B．C．D．14．以3和－2为根的一元二次方程是（）A．B．C．D．15．（无锡市中考题）若关于x的方程有两个相等的实数根，则k满足（）A．k>1B．k≥1C．k=1D．k<116．（扬州市中考题）方程的两实根中，大根与小根的差是（）A． B．