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文档简介
中国药科大学数学教研室杨访第三节函数的极限本节概要函数
y
=
f(
x
)在一点
x
0处实际有两个不同的“值”的概念，一个是函数在点
x
0
处的函数值，另一个是函数在点
x
0
处的极限值。
y
=
f(
x
)在点
x
0处的函数值是指当自变量
x
取确定值
x
0时，因变量的值
y0
=
f(
x0
)是多少,它反映因变量
y
按对应法则
f的变化“结果”。
y
=
f(
x
)在点
x
0
处的极限值是指当变量
x
趋向于确定值
x
0时，因变量
y
按对应法则
f的变化“趋势”。中国药科大学数学教研室杨访第三节函数的极限本例：设有作变速直线运动的物体，其路程函数为
S=S(
t
)=2(
t
2-
t)，求该物体在时刻
t
0=1
时的速度
V(
t
0
)．
对非匀速直线运动，由于在同样长的时间段内物体走过的路程不尽相同，故不能直接利用速度公式
V=S/T计算其速度。然而，变和不变是相对的，因此可考虑取较短的时间段，在此时间段内物体可近似看作匀速直线运动，于是可将变速直线运动局部视作匀速直线运动进行考察。一.自变量趋于有限值时函数的极限引例分析例：设有作变速直线运动的物体，其路程函数为一.自变量趋于有
考察物体在时间段[
t
0
,t
]内的平均速度
对
t
0
=
1
有故求得
考察物体在时间段[t0,t]内的平均速度
由从函数性质讨论的角度看，尽管函数
V=V(
t
)在点
t
0
=
1
处没有定义，但却可确定自变量
t
趋向于
1时函数值的变化趋势。
当
t
→
1时，函数值趋于一个确定“数值”，这个值并不是函数
V=V(
t
)在点
t
0
=1
处的函数值，而是另一种性质的“值”。
结果说明这个值反映了函数在一点的变化趋势由从函数性质讨论的角结果说明这个值反映(1)
函数在一点极限的描述性定义
对于函数
y
=
f(
x
)，如果当自变量
x
的变化趋向于某一定值
x
0
时，函数值
f(
x
)的变化无限接近于某个常数
A
，就称当
x
→
x
0
时，函数
y=f(
x
)以
A
为极限，或常数
A
是函数
y=f(
x
)当
x
→x
0时的极限，记作：1.自变量趋于有限值时函数的极限(1)函数在一点极限的描述性定义对于函数y(2)
对函数在一点极限值的认识极限值与函数值是两种不同性质的“值”的概念。这两种值是相互独立的，一般情况下二者独立存在，彼此没有直接联系。例：函数
在点
t
0=1
没有函数值，但却有极限值，即有
函数值不存在但极限值存在
(2)对函数在一点极限值的认识极限值与函数值是函数值不存在而极限值存在函数在点x
=
1处的极限值函数值不存在而极限值存在函数在点x=1处的极限值例：函数
在点
x
0=
0
处的函数值为f(
0
)=0
，但其在x
0
=
0
处的极限值却不存在。
极限值不存在但函数值存在
函数在点x
=
0处因振荡而没有极限例：函数
极限值、函数值均存在但二者不相等
例：函数
在点
x
0=1
处的函数值为g(
1
)=1
，在点x
0=1
处的极限值为在点x
0=1处函数值和极限值都存在，但二者不相等。极限值、函数值均存在但二者不相等例：函数函数值和极限值均存在但不相等函数值和极限值均存在但不相等究竟什么叫x→x
0时，f(
x
)→A
？
由数列极限的讨论可推知，x→x
0，f(
x
)→
A的意义就是，对
>0，随着
x的变化，
当
x和x
0
接近到一定程度后，最终可使得
|
f(
x
)-
A
|<．
问题是“一定程度”究竟是什么样一种程度呢？问题函数极限的描述不够严谨！究竟什么叫x→
为弄清当x→x
0时，|
f(
x
)-
A
|<的具体过程，可先通过实例进行考察。设有函数
f(
x
)=
2
x
-
1，考察其在点
x
0=
1
处取得的极限
1
的情形。f(
x
)与A
=
1
的接近程度可用绝对值|
f(
x
)-
1
|的大小来表达，
x与
x
0
=
1的接近程度可用绝对值
|
x
-
1
|的大小来表达。
由于
f(
x
)与
1
无限接近可通过
|
f(
x
)-
1
|<
来刻划，于是所论问题就归结为考察，对于取定的
>
0，当|
x
-
1
|变得多么小时可使得
|
f(
x
)-
1
|<
成立。分析为弄清当x→x0时
若取
1=10
-
2，即要求有|
f(
x
)-
1
|<10
-2，由于|
f(
x
)-
1
|=|(
2
x
-
1
)-
1
|=2|
x
-
1
|，因此只要x满足
就可使|
f(
x
)-
1
|=2|
x
-
1
|
<10
-2.若取
2=10
-4，即要求有
|
f(
x
)-
1
|
<10
-
4，则只要x满足
就可使|
f(
x
)-
1
|=2|
x
-
1
|
<10
-4.若取1=10-2，即要求有由此可以推想，所谓当
x和
x
0
接近到一定程度后有|
f(
x
)-
A
|<中的“一定程度”意义实际是：对
>0，可找到一个和
相关的某个正数，用以刻划|
f(
x
)-
A
|<时，x
与
x
0
所需接近的程度。若用
来表示这一正数，则为使
|
f(
x
)-
A
|<
，相应
x
与
x
0
的接近程度可表为
0<|
x
-
x
0
|<.于是函数在一点
x
0处极限的叙述：当
x→x
0时，f(
x
)→
A的意义就是：对
>0，总存在这样一个正数
，
使得当
x满足0<|
x
-
x
0|<时有|
f(
x
)-
A
|<．由此可以推想，所谓当x和x0接近到函数取极限过程的直观认识函数取极限过程的直观认识
|
f(
x
)-
A
|<
A-
<
f(
x
)<
A
+
，且这一结果是在x→
x
0的过程中发生的。从几何上看，x→x
0对应于动点x不断向定点
x
0
靠近的过程，此时曲线y=f(
x
)上的点(
x
,y
)相应不断沿曲线运动，最终函数
y=f(
x
)的图形都会落在水平线y
=
A
-
和
y
=
A
+
之间。
当动点(
x
,y
)沿曲线
y=f(
x
)进入两直线
y=A
-
和
y=A
+
构成的水平区域内时，必和两直线各有一 个交点，分别记之为
P、Q
.设
P、Q
的横坐分别为
x
0-
1，x
0+
2，
1
,
2>0
,并取
=Min{
1
,
2
}，则当x
0-
<x
<
x
0+
时便有A
-
<
f(
x
)<
A
+
．分析|f(x)-A|
由函数y=f(
x
)在点
x
0处取极限过程的直观认识可见，正数
定量地表达了x
和
x
0接近到何种程度时就会有
|
f
(
x
)-
A
|<
．所谓当
x
和
x
0接近到“一定程度”实际是通过
的具体数值来体现的。因此，能否确定这样的正数
或这样的正数
是否存在，就是函数
y=f(
x
)在点
x
0处是否存在极限的关键！
由函数y=f(x)在点x0(3)
函数在一点极限的精确定义设函数
f(
x
)在点
x
0
的某个去心邻域内有定义，如果存在常数
A，对于任意给定的正数
(
无论它多么小),总存在正数
，使得当
x满足不等式
0
<|
x-
x
0
|<
时,对应的函数值
f
(
x
)就满足不等式
|
f(
x
)-
A|<
，那么常数
A
就叫做函数
f(
x
)当
x→
x
0时的极限，记作:如果这样的常数不存在，那么称
x
→
x
0
时
f(
x
)没有极限，或
不存在。(3)函数在一点极限的精确定义设函数f((5)
用“–”定义证明函数极限为某定值例：用定义证明
由函数极限的“
-
”定义知：
f(
x
)→
A
,(
x
→
x
0
)，就是对任意给定的正数
，一定存在这样的正数
，使得当
0
<|
x
-
x
0|<
时，不等式
|
f(
x
)-
A|<
能成立。对本例，|
f(
x
)-
A
|=|
C
-
C
|=
0
，因此，对任意给定的正数
，总有
|
f(
x
)-
A|<
，于是可取任意正数作为
，使得当0
<|
x
-
x
0|<
时，不等式|
f(
x
)-
A|<
成立。因此有分析(5)用“–”定义证明函数极限为某定值例：本例取极限过程几何示意本例取极限过程几何示意例：用定义证明
用极限的“
-
”定义证明函数
y
=f(
x
)在一点x
0处的极限为某值
A，就是对任意给定的正数
，要说明一定存在正数
，使得当
0
<|
x
-
x
0|<
时，不等式|
f(
x
)-
A|<
能成立。要说明这样的
存在，最直接的办法就是将
找出来。由于式子|
f(
x
)-
A|
随|
x-
x
0
|的不断变小而逐步变小，故可从所证式子
|
f(
x
)-
A|<
出发确定
.归纳地看，用“
-
”定义证明函数极限为某定值实际就是对给定
>
0
，从不等式|
f(
x
)-
A|<
出发去找出
的过程。分析例：用定义证明分析从所证式子
|
f(
x
)-
A
|
<
出发找
证
对本例，由于
|
f(
x
)-
A
|
=
|
x
-
x
0
|.因此对任意给定的正数
，只要取
=
，则当0
<|
x
-
x
0|<
=
时就有|
f(
x
)-
A|=
|
x
-
x
0
|<
=
，由极限的“
-
”定义知从所证式子|f(x)-A|<出发找例：用定义证明
用极限的“
-”定义证明函数
y=f(
x
)在一点x
0处的极限为某值
A，就是对任意给定的正数
，要说明一定存在正数
，使得当
0
<|
x
-
x
0|<
时，不等式|
f(
x
)-
A|<
能成立。要说明这样的
存在，最直接的办法就是将
找出来。由于式子|
f(
x
)-
A|
是随|
x-
x
0
|
的不断变小而逐步变小的，故可从所证式子
|
f(
x
)-
A|<
出发确定
.
归纳地看，用“
-
”定义证明函数极限为某定值实就是对给定的
>0
，从不等式|
f(
x
)-
A|<
出发去找出
的过程。分析例：用定义证明分析证从不等式|
f(
x
)-
A
|
<
出发找
对本例，由于
|
f(
x
)-
A
|
=
|(
3
x+1
)-
4
|=3|
x-
1
|．故对任意给定的正数
，要使
|
f(
x
)-
A
|=
3|
x
-
1
|<
，只需|
x
-
1|<
/3
．因此取
=
/
3，则对这个确定的
，当0
<|
x
-
1|<
=
/
3时有
|(
3x+1
)-
4
|=3|
x
-
1
|<3
=3
/
3
=
，由极限定义知证从不等式|f(x)-A|<出发找本例极限证明的几何示意本例极限证明的几何示意
对于极限证明问题一般可按以下步骤求解：
将|
f(
x
)-
A
|放大成|
f(
x
)-
A
|k|
x-
x
0|；
对
>0，由|
f(
x
)-
A
|k|
x-
x
0|<
解出|
x-
x
0|<
/k；取
=
/k，验证
0
<|
x-
x
0
|<
时有|
f(
x
)-
A|<
.方法归纳证明函数极限的一般步骤对于极限证明问题方法归纳证明函数极限的一般步骤按照极限的一般概念，函数
f(
x
)在一点x
0
的取极限过程中，动点x趋于定点x
0
的方式必须是任意的，但出于某些特殊问题的研究需要，有时需考虑动点x按某种特殊方式趋于定点x
0
时函数的变化趋势。在动点x趋于定点x
0的各种方式中，有两种特殊方式值得关注，即
x
仅从x
0左侧趋于
x
0(记作:x→
x0-
)时的极限和
x仅从x
0
右侧趋于x
0
(记作:x→
x0+)时的极限，这就是单侧极限的概念。相应地，x
以任意方式趋向于定点x
0
时的极限称为双侧极限。2.相应单侧极限的概念按照极限的一般概念，函数f(x)在一点x0(1)
单侧极限的定义设函数
y
=
f(
x
)在点
x
0
的左邻域内有定义，如果对于任意给定的正数
(无论它多么小)，总存在正数
,使得对于适合不等式
-
<x-
x
0
<
0
的一切
x，对应的函数值
f(
x
)都满足不等式
|
f(
x
)-
A
|<
，则常数
A就叫做函数
y=f(
x
)当
x
→
x
0
时的左极限，记作：(1)单侧极限的定义设函数y=f(类似地，设函数
y=f(
x
)在点
x
0
的右邻域内有定义，如果对于任意给定的正数
(无论它多么小)，总存存在正数
，使得对于适合不等式
0<x-
x
0
<
的一切x，对应函数值
f(
x
)都满足不等式
|
f(
x
)-
A|<
，则常数
A
就叫做函数
y
=
f(
x
)当
x→
x
0时的右极限，记作:类似地，设函数y=f(x)在点x0的(2)
单侧极限与双侧极限的关系函数在一点的单侧极限虽然是函数极限的一种特殊形式，但它和一般的函数极限，即双侧极限却有着密切的联系。由函数在一点的单侧极限与双侧极限的定义，容易证明二者有如下关系：C.P.U.Math.Dept.·杨访(2)单侧极限与双侧极限的关系函数在按定义进行证明证·
必要性
设
，要证因为，由定义，对
>
0，存在
>
0
,使得当0
<|
x
-
x
0|<
时，|
f(
x
)-
A|<
，即当x
0-
<x
<
x
0
时，有|
f(
x
)-
A|<
，当x
0<x
<
x
0+
时，有|
f(
x
)-
A|<
.由单侧极限的定义知：按定义进行证明证·必要性设·
充分性
设
，要证因为，由单侧极限的定义对
>0，存在
1,
2
>0，使得当x
0-
1
<x
<
x
0
时，有|
f(
x
)-
A|<
，当x
0<x
<
x
0+
2
时，有|
f(
x
)-
A|<
.取
=min{
1,
2
}，则当0
<|
x
-
x
0|<
时，以上两式均成立，即恒有|
f(
x
)-
A|<
.由极限定义知：·充分性设
由于单侧极限形式相对简单，利用这一结果常可将复杂的双侧极限问题转化为较简单的单侧极限问题进行讨论，特别是对分段函数在分段点处极限问题，应用这一结果尤为方便。
结果说明由于单侧极限形式相对简单，利用这一结果常可例：设函数证明：当x→0时，f(
x
)的极限不存在。这是个分段函数在分段点处的极限讨论问题。由于该分段函数在分段点
x
=
0
两侧的表达式不同，故宜分别通过两个单侧极限来考察此分段点处的极限。分析例：设函数分析解根据单侧极限与双侧极限的关系证明·
确定分段点处的左极限
当
x
<
0
时，f(
x
)=x
-1
，由直观容易看出应有为说明结果的正确性，考虑用“-
”定义证之。因为|
f(
x
)-(
-1
)|=
|(
x
-1
)-(
-1
)|=
|
x|，故
对
>0，存在
=
，使得当
-
<x
<
0
时，有
|(
x
-1
)-(
-1
)|=
|
x|<
=
.由左极限的定义知：解根据单侧极限与双侧极限的关系证明·确定分段点处·
确定分段点处的右极限
当
x
>
0
时，f(
x
)=x
+1
，易看出应有与左极限的情形相类似，可方便地证明这一结果。因为在分段点x
=
0
处有
由函数在一点的极限与单侧极限的关系知：
不存在。·
证明分段点处的极限不存在
·确定分段点处的右极限当x>0时，对函数性质的直观认识通常是建立在有限区间基础之上的。然而，通过这种认识方法对函数性质的了解往往还只是“局部的”或“有限的”。从微积分研究需要和某些实际问题的讨论要求看，对定义在无穷区间上的函数f(
x
)，要了解其“总体”或“全局”的性质，还需要考虑自变量x无限增大时函数的性质，即需研究x
→
时函数
f(
x
)的变化趋势及性质。二.自变量趋于无穷大时函数的极限对函数性质的直观认识通常是建立在有限区间基二例如，对于函数f(
x
)=
arctan
x，要了其沿
x
轴的两端无限远去时的性状，就必须研究x
→
时，f(
x
)的变化趋势。又如，在考虑点电荷电场的作功问题时，就会遇到如下形式的极限问题：
f(
x
)=kq
/x
2→0,(
x
→
).例如，对于函数f(x)=arctan设有定义在(
-
,+
)上的函数
y=f(
x
)，直观地考虑极限问题：
f(
x
)→
A，x
→
.(1)自变量趋于无穷大时函数极限的直观认识设有定义在(-,+)上的函数y=(2)自变量趋于无穷时函数极限的精确定义设函数
f(
x
)当|
x
|大于某正数
M时定义，如果存在常数
A，使得对于任意给定的正数
(无论它多么小),总存在着正数
X，只要自变量
x适合不等式
|
x
|>
X，对应的函数值f(
x
)就都满足不等式|
f(
x
)-
A
|<
，那么常数
A
就叫做函数
f(
x
)当
x
→
时的极限，记作：如果这样的常数不存在，那么称
x
→
时
f(
x
)没有极限。(2)自变量趋于无穷时函数极限的精确定义设(3)
用“–
X”定义证明函数极限为某定值例：用定义证明
由极限的“
-X
”定义知：f(
x
)→
A,(
x
→
),就是对任意给定的正数
，一定存在正数
X
，使得当|
x
|>
X
时，不等式|
f(
x
)-
A|<
能成立。要说明这样的
X
存在，最直接的办法就是将
X
找出来。由于式子|
f(
x
)-
A|
是随着|
x
|
的不断变大而逐步变小的，故可从所证式子
|
f(
x
)-
A|<
出发确定
X
.
归纳地看，用“
-X
”定义证明函数极限为某定值实际就是对给定的
>0
，从不等式|
f(
x
)-
A|<
出发去找出
X的过程。分析(3)用“–X”定义证明函数极限为某定值例：证从不等式|
f(
x
)-
A
|
<
出发找
X
对本例，由于故对任意给定的正数
，要使
只需|
x
|>
1
/
．因此取
X
=1
/
，则对这个确定的
X
，当
|
x
|>
X=
1
/
时有由极限的“
-X
”定义知证从不等式|f(x)-A|<出发找X由于
x
→
的过程可以是取正值而无限增大，也可以是取负值而绝对值无限增大，因此
x
→
的过程也是一种双向极限过程。在某些具体问题讨论中，常需要分别考察函数当
x
→
-
和x
→
+
时的极限问题，于是有了相应单侧极限的概念。2.相应单侧极限的概念由于x→的过程可以是取正值而无限增大，也可设函数
y
=
f(
x
)当
x
大于某正数时定义，如果存在常数
A，使得对于任意给定的正数
(无论它多么小)，总存在正数
X，只要自变量适合不等式
x
>
X
，对应的函数值f(
x
)都满足不等式
|
f(
x
)-
A
|<
，那么常数
A就叫做函数
y=f(
x
)当
x→+
时的极限，记作：
如果这样的常数不存在，那么称
x
→
+
时
f(
x
)没有极限。(1)
自变量趋于无穷时单侧极限的精确定义自变量取正值而无限增大时的极限
设函数y=f(x)当x大于某正数时定义设函数
y
=
f(
x
)当
x
小于某负数时定义，如果存在常数
A，使得对于任意给定的正数
(无论它多么小)，总存在正数
X，只要自变量适合不等式
x
<
-
X
，对应的函数值f(
x
)都满足不等式
|
f(
x
)-
A
|<
，那么常数
A就叫做函数
y=f(
x
)当
x→-
时的极限，记作：如果这样的常数不存在，那么称
x
→
-
时
f(
x
)没有极限。
自变量取负值而绝对值无限增大时的极限
设函数y=f(x)当x小于某负数时定义例：用定义证明
由单侧极限的“
-X
”定义知：要证当
x
→
-
时，f(
x
)→
A，就是对任意的
>0
，要设法找出正数
X
，使得当
x
<-
X
时，不等式|
f(
x
)-
A|<
能成立。找
X的过程实际是由不等式
|
f(
x
)-
A|<
解出x
<
(
)，再取
X
=
-(
)的过程。分析例：用定义证明分析证从不等式|
f(
x
)-
A
|
<
出发找
X
对任意给定的正数
，为证明方便不妨设
0
<
<
1
.于是，要使不等式
|
f(
x
)-
A|=
|
a
x
-
0|=
a
x
<
，成立，只需
x
ln
a
<
ln
，即x
<
ln
/
ln
a
．
取
X
=-
ln
/
ln
a
，由于当
a
>
1
时，指数函数
a
x单调增，故当x
<-
X
时有|
a
x
-
0|=
a
x
<
a
-X=
a
ln
/
ln
a
=
a
log
a=
.由单侧极限的“
-X
”定义知证从不等式|f(x)-A|<出发找X(2)
单侧极限与双侧极限的关系自变量趋于无穷时的单侧极限虽然是函数极限的一种特殊形式，但它和对应双侧极限却有着密切的联系。由函数当自变量趋于无穷时的单侧极限与双侧极限的定义，容易证明二者有如下关系：(2)单侧极限与双侧极限的关系自变量按定义进行证明证·
必要性
设
，要证因为，由定义，对
>0，存在
X
>
0
,使得当
|
x
|>
X
时，|
f(
x
)-
A|<
，即当x
<
-
X
时，有|
f(
x
)-
A|<
，当x
>
X
时，有|
f(
x
)-
A|<
.由单侧极限的定义知：按定义进行证明证·必要性设·
充分性
设
，要证因为，由单侧极限定义，对
>0，存在
X
1,X
2
>0，使得当x
<
-
X
1
时，有|
f(
x
)-
A|<
，当x
>
X
2
时，有|
f(
x
)-
A|<
.
取
X
=max{
X
1,X
2
}，则当|
x
|>
X
时，以上两式均成立，即恒有|
f(
x
)-
A|<
.由极限定义知：·充分性设单侧极限与双侧极限关系图示单侧极限与双侧极限关系图示例：判别极限是否存在，若存在，试确定之；若不存在，试说明理由。由于基本初等函数
arctan
x只是形式表达式而非运算式。因此可直接从其几何性质考察极限存在性。由函数图形易看出，当
x→-
和
x→+
时，该函数有不同的变化趋势，故可由单侧极限确定该极限不存在。因为故由单侧极限与双侧极限的关系知，极限不存在。分析通过单侧极限进行考察解例：判别极限是否存在，若单侧极限与双侧极限关系图示单侧极限与双侧极限关系图示(3)水平渐近线的概念
自变量趋向于无穷大时函数取极限的几何特征是函数图形无限接近于一条水平直线。由此可建立所谓水平渐近线的概念。
若函数
y=f(
x
)具有下列三种情形之一：则称直线
y=A
为函数
y
=
f(
x
)图形的水平渐近线。
函数
y=f(
x
)图形的渐近线对了解函数的几何性质及函数作图都有重要作用。
水平渐近线的定义
(3)水平渐近线的概念自变量趋向于无穷大时函数函数图形的水平渐近线图示函数图形的水平渐近线图示
已证得极限由定义知，直线
y
=
0为曲线
y
=
1/x的一条水平渐近线。
水平渐近线的例
已证得极限水平渐近线的例因为
故直线y
=
/2,
y
=
-
/2均为曲线y
=
arctan
x的水平渐近线。
因为三.函数极限的性质函数在一点的性质是由其在该点邻域内的性质决定的，而函数在一点的极限反映了函数在该点邻域内的性质。同理，函数当自变量趋于无穷大时的极限反映了函数在无穷远处的性质。因此，研究和了解函数极限性质是研究函数性质的基本手段和方法。
C.P.U.Math.Dept.·杨访三.函数极限的性质函数在一点的性质是由其在该点邻域
如果，且
A
0，那么必存在某个正数
，使得当
0<|
x
-
x
0|<
时
f(
x
)恒不为零且与
A
有相同的符号。如果，且
A
0，那么必存在某个正数X，使得当|
x|>
X
时
f(
x
)恒不为零且与
A有相同符号。定理局部保号性定理保号性如果，且A0，那么必存定理是按两种极限形式叙述的，每一种极限形式下又可分为两种不同情形。对
x
→
x
0的极限形式，定理的两种情形可表为：如果
，且
A
>0，那么就存在点
x
0的某个去心邻域，当
x
在该邻域内时有
f(
x
)>0；如果
，且
A
<0，那么就存在点
x
0的某个去心邻域，当
x
在该邻域内时有
f(
x
)<
0.
结果说明定理是按两种极限形式叙述的，每一种极限形式结保号性定理的几何意义一若A
>0，则存在
>0，使得当
xU(
x
0
,
)时有
f(
x
)>
0
，即在x
0
的某去心邻域内有无穷多个点x满足f(
x)>
0
．保号性定理的几何意义一若A>0，则存在证根据定义进行证明
证明
，且
A
>
0的情形。因为
，根据极限存在的定义，对
=
A/2
>
0，必存在正数
，使得只要点
x适合不等式0<|
x-
x
0
|<
，对应的函数值
f(
x
)就满足不等式|
f(
x
)-
A|<
⇔A
-
<f(
x
)<
A
+
.因此，在点
x
0的去心邻域内有证根据定义进行证明证明证根据定义进行证明
证明
，且
A
<
0的情形。因为
，根据极限存在的定义，对
*=
-
A/2
>0，必存在正数
*，使得只要点
x适合不等式
0<|
x-
x
0
|<
*，对应函数值
f(
x
)就满足不等式|
f(
x
)-
A|<
*
⇔A
-
*
<f(
x
)<
A
+
*.因此，在点
x
0的去心邻域内有证根据定义进行证明证明
如果当
0<|
x
-
x
0|<
时，f(
x
)
0，且
，那么
A
0.如果当
0<|
x
-
x
0|<
时，f(
x
)
0，且
，那么
A
0.如果当|
x|>
X
时，
f(
x
)
0，且，那么
A
0.如果当|
x|>
X
时，
f(
x
)
0，且，那么
A
0.推论保号性定理的逆否命题如果当0<|x-x0|<时，
结果说明
对该推论的理解应注意其条件和结论的关系。若将推论条件改为f(
x
)>
0
，则结论仍为A
0，而不能将结论相应地改为
A
>
0
.
若将推论条件改为
f(
x
)<
0
，则结论仍为A
0，而不能将结论相应地改为A
<
0
.反例，设有函数显然，对一切x
有f(
x
)
>
0
，但此时有结果说明对该推论的理解应注意其条件和同济第三版高数(13)第三节函数的极限同济第三版高数课件中国药科大学数学教研室杨访第三节函数的极限本节概要函数
y
=
f(
x
)在一点
x
0处实际有两个不同的“值”的概念，一个是函数在点
x
0
处的函数值，另一个是函数在点
x
0
处的极限值。
y
=
f(
x
)在点
x
0处的函数值是指当自变量
x
取确定值
x
0时，因变量的值
y0
=
f(
x0
)是多少,它反映因变量
y
按对应法则
f的变化“结果”。
y
=
f(
x
)在点
x
0
处的极限值是指当变量
x
趋向于确定值
x
0时，因变量
y
按对应法则
f的变化“趋势”。中国药科大学数学教研室杨访第三节函数的极限本例：设有作变速直线运动的物体，其路程函数为
S=S(
t
)=2(
t
2-
t)，求该物体在时刻
t
0=1
时的速度
V(
t
0
)．
对非匀速直线运动，由于在同样长的时间段内物体走过的路程不尽相同，故不能直接利用速度公式
V=S/T计算其速度。然而，变和不变是相对的，因此可考虑取较短的时间段，在此时间段内物体可近似看作匀速直线运动，于是可将变速直线运动局部视作匀速直线运动进行考察。一.自变量趋于有限值时函数的极限引例分析例：设有作变速直线运动的物体，其路程函数为一.自变量趋于有
考察物体在时间段[
t
0
,t
]内的平均速度
对
t
0
=
1
有故求得
考察物体在时间段[t0,t]内的平均速度
由从函数性质讨论的角度看，尽管函数
V=V(
t
)在点
t
0
=
1
处没有定义，但却可确定自变量
t
趋向于
1时函数值的变化趋势。
当
t
→
1时，函数值趋于一个确定“数值”，这个值并不是函数
V=V(
t
)在点
t
0
=1
处的函数值，而是另一种性质的“值”。
结果说明这个值反映了函数在一点的变化趋势由从函数性质讨论的角结果说明这个值反映(1)
函数在一点极限的描述性定义
对于函数
y
=
f(
x
)，如果当自变量
x
的变化趋向于某一定值
x
0
时，函数值
f(
x
)的变化无限接近于某个常数
A
，就称当
x
→
x
0
时，函数
y=f(
x
)以
A
为极限，或常数
A
是函数
y=f(
x
)当
x
→x
0时的极限，记作：1.自变量趋于有限值时函数的极限(1)函数在一点极限的描述性定义对于函数y(2)
对函数在一点极限值的认识极限值与函数值是两种不同性质的“值”的概念。这两种值是相互独立的，一般情况下二者独立存在，彼此没有直接联系。例：函数
在点
t
0=1
没有函数值，但却有极限值，即有
函数值不存在但极限值存在
(2)对函数在一点极限值的认识极限值与函数值是函数值不存在而极限值存在函数在点x
=
1处的极限值函数值不存在而极限值存在函数在点x=1处的极限值例：函数
在点
x
0=
0
处的函数值为f(
0
)=0
，但其在x
0
=
0
处的极限值却不存在。
极限值不存在但函数值存在
函数在点x
=
0处因振荡而没有极限例：函数
极限值、函数值均存在但二者不相等
例：函数
在点
x
0=1
处的函数值为g(
1
)=1
，在点x
0=1
处的极限值为在点x
0=1处函数值和极限值都存在，但二者不相等。极限值、函数值均存在但二者不相等例：函数函数值和极限值均存在但不相等函数值和极限值均存在但不相等究竟什么叫x→x
0时，f(
x
)→A
？
由数列极限的讨论可推知，x→x
0，f(
x
)→
A的意义就是，对
>0，随着
x的变化，
当
x和x
0
接近到一定程度后，最终可使得
|
f(
x
)-
A
|<．
问题是“一定程度”究竟是什么样一种程度呢？问题函数极限的描述不够严谨！究竟什么叫x→
为弄清当x→x
0时，|
f(
x
)-
A
|<的具体过程，可先通过实例进行考察。设有函数
f(
x
)=
2
x
-
1，考察其在点
x
0=
1
处取得的极限
1
的情形。f(
x
)与A
=
1
的接近程度可用绝对值|
f(
x
)-
1
|的大小来表达，
x与
x
0
=
1的接近程度可用绝对值
|
x
-
1
|的大小来表达。
由于
f(
x
)与
1
无限接近可通过
|
f(
x
)-
1
|<
来刻划，于是所论问题就归结为考察，对于取定的
>
0，当|
x
-
1
|变得多么小时可使得
|
f(
x
)-
1
|<
成立。分析为弄清当x→x0时
若取
1=10
-
2，即要求有|
f(
x
)-
1
|<10
-2，由于|
f(
x
)-
1
|=|(
2
x
-
1
)-
1
|=2|
x
-
1
|，因此只要x满足
就可使|
f(
x
)-
1
|=2|
x
-
1
|
<10
-2.若取
2=10
-4，即要求有
|
f(
x
)-
1
|
<10
-
4，则只要x满足
就可使|
f(
x
)-
1
|=2|
x
-
1
|
<10
-4.若取1=10-2，即要求有由此可以推想，所谓当
x和
x
0
接近到一定程度后有|
f(
x
)-
A
|<中的“一定程度”意义实际是：对
>0，可找到一个和
相关的某个正数，用以刻划|
f(
x
)-
A
|<时，x
与
x
0
所需接近的程度。若用
来表示这一正数，则为使
|
f(
x
)-
A
|<
，相应
x
与
x
0
的接近程度可表为
0<|
x
-
x
0
|<.于是函数在一点
x
0处极限的叙述：当
x→x
0时，f(
x
)→
A的意义就是：对
>0，总存在这样一个正数
，
使得当
x满足0<|
x
-
x
0|<时有|
f(
x
)-
A
|<．由此可以推想，所谓当x和x0接近到函数取极限过程的直观认识函数取极限过程的直观认识
|
f(
x
)-
A
|<
A-
<
f(
x
)<
A
+
，且这一结果是在x→
x
0的过程中发生的。从几何上看，x→x
0对应于动点x不断向定点
x
0
靠近的过程，此时曲线y=f(
x
)上的点(
x
,y
)相应不断沿曲线运动，最终函数
y=f(
x
)的图形都会落在水平线y
=
A
-
和
y
=
A
+
之间。
当动点(
x
,y
)沿曲线
y=f(
x
)进入两直线
y=A
-
和
y=A
+
构成的水平区域内时，必和两直线各有一 个交点，分别记之为
P、Q
.设
P、Q
的横坐分别为
x
0-
1，x
0+
2，
1
,
2>0
,并取
=Min{
1
,
2
}，则当x
0-
<x
<
x
0+
时便有A
-
<
f(
x
)<
A
+
．分析|f(x)-A|
由函数y=f(
x
)在点
x
0处取极限过程的直观认识可见，正数
定量地表达了x
和
x
0接近到何种程度时就会有
|
f
(
x
)-
A
|<
．所谓当
x
和
x
0接近到“一定程度”实际是通过
的具体数值来体现的。因此，能否确定这样的正数
或这样的正数
是否存在，就是函数
y=f(
x
)在点
x
0处是否存在极限的关键！
由函数y=f(x)在点x0(3)
函数在一点极限的精确定义设函数
f(
x
)在点
x
0
的某个去心邻域内有定义，如果存在常数
A，对于任意给定的正数
(
无论它多么小),总存在正数
，使得当
x满足不等式
0
<|
x-
x
0
|<
时,对应的函数值
f
(
x
)就满足不等式
|
f(
x
)-
A|<
，那么常数
A
就叫做函数
f(
x
)当
x→
x
0时的极限，记作:如果这样的常数不存在，那么称
x
→
x
0
时
f(
x
)没有极限，或
不存在。(3)函数在一点极限的精确定义设函数f((5)
用“–”定义证明函数极限为某定值例：用定义证明
由函数极限的“
-
”定义知：
f(
x
)→
A
,(
x
→
x
0
)，就是对任意给定的正数
，一定存在这样的正数
，使得当
0
<|
x
-
x
0|<
时，不等式
|
f(
x
)-
A|<
能成立。对本例，|
f(
x
)-
A
|=|
C
-
C
|=
0
，因此，对任意给定的正数
，总有
|
f(
x
)-
A|<
，于是可取任意正数作为
，使得当0
<|
x
-
x
0|<
时，不等式|
f(
x
)-
A|<
成立。因此有分析(5)用“–”定义证明函数极限为某定值例：本例取极限过程几何示意本例取极限过程几何示意例：用定义证明
用极限的“
-
”定义证明函数
y
=f(
x
)在一点x
0处的极限为某值
A，就是对任意给定的正数
，要说明一定存在正数
，使得当
0
<|
x
-
x
0|<
时，不等式|
f(
x
)-
A|<
能成立。要说明这样的
存在，最直接的办法就是将
找出来。由于式子|
f(
x
)-
A|
随|
x-
x
0
|的不断变小而逐步变小，故可从所证式子
|
f(
x
)-
A|<
出发确定
.归纳地看，用“
-
”定义证明函数极限为某定值实际就是对给定
>
0
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