北师大八上数学优质公开课课件271 二次根式及其性质

第二章二次根式2.7二次根式第1课时二次根式及其性质第二章二次根式2.7二次根式第1课时1课堂讲解二次根式的定义二次根式的性质最简二次根式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的定义2课时流程逐点课堂小结作业提升观察下列代数式：可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.观察下列代数式：1知识点二次根式的定义知1－讲形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点：①都是形如的式子，②a都是非负数.1知识点二次根式的定义知1－讲形如知1－讲例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．解：(1)不是．理由：因为的根指数是3，所以不是二次根式．

(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且的根指数为2，所以是二次根式．知1－讲例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．知1－讲(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时，是二次根式；当a＞0时，－5a＜0，则不是二次根式．所以不一定是二次根式．(4)不是．理由：(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式．

知1－讲(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时，知1－讲(5)不一定是．理由：当a＝4，即a－4＝0时，是二次根式；当a≠4时，－(a－4)2＜0，所以不是二次根式．所以不一定是二次根式．(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且的根指数为2，所以是二次根式．(7)是．理由：因为|x|≥0，且的根指数为2，所以是二次根式．

知1－讲(5)不一定是．理由：当a＝4，即a－4＝0时，总结知1－讲

二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．总结知1－讲二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二知1－讲例2当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数．解：(1)欲使有意义，则必有2x－6≥0且x－5≠0，所以x≥3且x≠5.(2)欲使有意义，则必有x－2≥0且5－x≥0，所以

2≤x≤5.

知1－讲例2当x取怎样的数时，下列各式在实数范总结知1－讲求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数，则必须满足底数不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关系．第三步，由不等关系得出字母的取值范围．总结知1－讲求式子有意义时字母的取值范围的方法：1下列式子一定是二次根式的是()(中考·武汉)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A．x≥－2B．x>－2C．x≥2D．x≤2知1－练

2CC1下列式子一定是二次根式的是()知1－练2知识点二次根式的性质知2－导做一做（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.2知识点二次根式的性质知2－导做一做知识点知2－讲二次根式的性质：

积的算术平方根，等于________________;

商的算术平方根，等于________________;算术平方根的积算术平方根的商知识点知2－讲二次根式的性质：算术平方根的积算术平方根知识点知2－讲例3化简：

解：知识点知2－讲例3化简：解：知识点知2－讲例4〈易错题〉化简：导引：应用积的算术平方根性质的前提是乘积的算术平方根，如不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数(式)

必须是非负数．(1)(2)中被开方数为数，(3)(4)中被开方数是含有字母的单项式，都可利用

进行化简．知识点知2－讲例4〈易错题〉化简：知识点知2－讲解：

知识点知2－讲解：知识点知2－讲商的算术平方根再探索(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则；(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分母中的根号化去．知识点知2－讲商的算术平方根再探索知识点知2－讲分母有理化(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；(2)依据：分式的基本性质及(a≥0)；(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．知识点知2－讲分母有理化1(中考·荆门)当1＜a＜2时，代数式的值是(

)A．－1B．1C．2a－3D．3－2a知2－练

B1(中考·荆门)当1＜a＜2时，代数式下列结果正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练

2C下列结果正确的有()知2－练2C3知识点最简二次根式知3－讲1.定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式必须满足：

(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数

(式)；

(2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因数(式)的指数都是1.3知识点最简二次根式知3－讲1.定义：一般地，被开方数不含分知识点知3－讲2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：

(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；

(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；

(3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母．注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式；

(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；

(3)去根号后漏掉括号．知识点知3－讲2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤知识点知3－讲例5下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．

(2)是最简二次根式．

(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)．

(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x

＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．

(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．

知识点知3－讲例5下列各式中，哪些是最简二次根式总结知3－讲

判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备分母中不含二次根式的条件．总结知3－讲判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法知识点知3－讲例6化简：

若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．解：导引：知识点知3－讲例6化简：若被开方数是小数，则先将其化总结知3－讲

被开方数是数的二次根式的化简技巧：(1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数；(2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数或带分数化成假分数的形式；(3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出．总结知3－讲被开方数是数的二次根式的化简技巧：1(中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是(

)在下列根式中，不是最简二次根式的是(

)知3－练

2AD1(中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是()知3－练当a≥0时，当a≥0时，3.当a≥0时，第二章二次根式2.7二次根式第1课时二次根式及其性质第二章二次根式2.7二次根式第1课时1课堂讲解二次根式的定义二次根式的性质最简二次根式2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1课堂讲解二次根式的定义2课时流程逐点课堂小结作业提升观察下列代数式：可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.观察下列代数式：1知识点二次根式的定义知1－讲形如(a≥0)的式子叫做二次根式．其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点：①都是形如的式子，②a都是非负数.1知识点二次根式的定义知1－讲形如知1－讲例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．解：(1)不是．理由：因为的根指数是3，所以不是二次根式．

(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且的根指数为2，所以是二次根式．知1－讲例1判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．知1－讲(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时，是二次根式；当a＞0时，－5a＜0，则不是二次根式．所以不一定是二次根式．(4)不是．理由：(a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式．

知1－讲(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时，知1－讲(5)不一定是．理由：当a＝4，即a－4＝0时，是二次根式；当a≠4时，－(a－4)2＜0，所以不是二次根式．所以不一定是二次根式．(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且的根指数为2，所以是二次根式．(7)是．理由：因为|x|≥0，且的根指数为2，所以是二次根式．

知1－讲(5)不一定是．理由：当a＝4，即a－4＝0时，总结知1－讲

二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．总结知1－讲二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二知1－讲例2当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数．解：(1)欲使有意义，则必有2x－6≥0且x－5≠0，所以x≥3且x≠5.(2)欲使有意义，则必有x－2≥0且5－x≥0，所以

2≤x≤5.

知1－讲例2当x取怎样的数时，下列各式在实数范总结知1－讲求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数，则必须满足底数不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关系．第三步，由不等关系得出字母的取值范围．总结知1－讲求式子有意义时字母的取值范围的方法：1下列式子一定是二次根式的是()(中考·武汉)若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A．x≥－2B．x>－2C．x≥2D．x≤2知1－练

2CC1下列式子一定是二次根式的是()知1－练2知识点二次根式的性质知2－导做一做（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借助计算器验证，并与同伴进行交流.2知识点二次根式的性质知2－导做一做知识点知2－讲二次根式的性质：

积的算术平方根，等于________________;

商的算术平方根，等于________________;算术平方根的积算术平方根的商知识点知2－讲二次根式的性质：算术平方根的积算术平方根知识点知2－讲例3化简：

解：知识点知2－讲例3化简：解：知识点知2－讲例4〈易错题〉化简：导引：应用积的算术平方根性质的前提是乘积的算术平方根，如不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数(式)

必须是非负数．(1)(2)中被开方数为数，(3)(4)中被开方数是含有字母的单项式，都可利用

进行化简．知识点知2－讲例4〈易错题〉化简：知识点知2－讲解：

知识点知2－讲解：知识点知2－讲商的算术平方根再探索(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则；(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分母中的根号化去．知识点知2－讲商的算术平方根再探索知识点知2－讲分母有理化(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；(2)依据：分式的基本性质及(a≥0)；(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．知识点知2－讲分母有理化1(中考·荆门)当1＜a＜2时，代数式的值是(

)A．－1B．1C．2a－3D．3－2a知2－练

B1(中考·荆门)当1＜a＜2时，代数式下列结果正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练

2C下列结果正确的有()知2－练2C3知识点最简二次根式知3－讲1.定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式必须满足：

(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数

(式)；

(2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因数(式)的指数都是1.3知识点最简二次根式知3－讲1.定义：一般地，被开方数不含分知识点知3－讲2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：

(1)“一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；

(2)“二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；

(3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母．注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式；

(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；

(3)去根号后漏掉括号．知识点知3－讲2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤知识点知3－讲例5