上海海事大学 概率论 第二章()市公开课一等奖省赛课获奖课件

第二章

随机变量及其分布上海海事大学概率论第二章()第1页§2.1随机变量例

电话总机某段时间内接到电话次数,可用一个变量X来描述：X=0,1,2,…例考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以

X记灯泡寿命（以小时计）则：X=t,(t≥0)上海海事大学概率论第二章()第2页例检测一件产品可能出现两个结果,也能够用一个变量来描述:上海海事大学概率论第二章()第3页设是随机试验E样本空间,若定义则称上单值实值函数X()为随机变量随机变量普通用大写英文字母X,Y,Z,或小写希腊字母,,,表示上海海事大学概率论第二章()第4页随机变量是上映射,

此映射含有以下特点:

定义域

事件域

；

随机性

随机变量X可能取值不止一个,试验前只能预知它可能取值但不能预知取哪个值；

概率特征

X以一定概率取某个值或一些值。上海海事大学概率论第二章()第5页

引入随机变量意义

有了随机变量,随机试验中各种事件，就能够经过随机变量关系式表示出来.如：单位时间内某电话交换台收到呼叫次数用X

表示，它是一个随机变量。{

收到不少于1次呼叫}{没有收到呼叫}上海海事大学概率论第二章()第6页

可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广概念内.也能够说，随机事件是从静态观点来研究随机现象，而随机变量则是一个动态观点，就象数学分析中常量与变量区分那样。上海海事大学概率论第二章()第7页随机变量分类全部取值能够逐一一一列举全部可能取值不但无穷多，而且还不能一一列举。上海海事大学概率论第二章()第8页§2.2离散型随机变量

及其分布律定义

若随机变量X可能取值是有限个或可列无限多个,则称X为离散型随机变量。一、概念上海海事大学概率论第二章()第9页例有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖4万名，奖金4元。考查得奖金额X。X可能取值为：Ｘ04404004000p解：4000，400，40，4，0。.0001.0006.7933.2.006上海海事大学概率论第二章()第10页描述X概率特征惯用概率分布或分布律X

p

即或上海海事大学概率论第二章()第11页

分布律性质

非负性

规范性上海海事大学概率论第二章()第12页例1一批产品次品率为8%,从中抽取1件进行检验,令写出X分布律.X分布律为:

X

p

概率分布图:

0.0801

xy0.92

解：上海海事大学概率论第二章()第13页1.两点分布(0–1分布)只取两个值概率分布分布律为：X10pkp1-p0<p<1或二、几个主要离散型随机变量上海海事大学概率论第二章()第14页应用场所凡试验只有两个可能结果,惯用0–1分布描述,如产品是否合格,人口性别统计,系统是否正常,电力消耗是否超标等。上海海事大学概率论第二章()第15页10件产品中，有3件次品，任取两件，X是“抽得次品数”，求分布律。X

可能取值为0，1，2。例2解：上海海事大学概率论第二章()第16页所以，X分布律为：X012p7/157/151/15注求分布律，首先弄清X确切含义及其所有可能取值。上海海事大学概率论第二章()第17页2.二项分布伯努利试验和二项分布设试验E只有两个结果：Ａ和，记:则称试验为伯努利试验。考虑

能够用何种分布来描述伯努利试验结果？答（0-1）分布

上海海事大学概率论第二章()第18页例3设生男孩概率为p,生女孩概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生4个婴儿中“男孩”个数，求X概率分布。

将

E独立地重复

n次，则称这一串重复独立试验为

n重伯努利(Bernoulli)试验，简称为伯努利(Bernoulli)试验上海海事大学概率论第二章()第19页X表示随机抽查4个婴儿中男孩个数,生男孩概率为p.X=0X=1X=2X=3X=4上海海事大学概率论第二章()第20页在n重伯努利试验中,事件A可能发生0,

1,2,…n

次称

X服从参数为p二项分布。记作：当n=1时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1即0-1分布上海海事大学概率论第二章()第21页（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或，伯努利试验结果没有等可能要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；且P(A)=p，；（3）各次试验相互独立。二项分布描述是n重伯努利试验中出现“成功”次数X概率分布。上海海事大学概率论第二章()第22页二项分布图形特点：X~B(n,p)

当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p

和k=(n+1)p-1

处到达最大值；当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p]到达最大值。上海海事大学概率论第二章()第23页例4

已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取3个中恰有2个次品概率。解:依题意，p=0.05设X为所取3个中次品数。则X~B(3,0.05)，于是，所求概率为：上海海事大学概率论第二章()第24页例5

设有80台同类型设备，各台工作是相互独立，发生故障概率都是0.01，且一台设备故障能由一个人处理。考虑两种配置维修工人方法，其一是由4人维护，每人负责20台；其二是由3人共同维护80台。试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修概率大小。上海海事大学概率论第二章()第25页X=第1人维护20台中同一时刻故障台数；Ai

：第i人维护20台故障不能及时维修”（i＝1,2,3,4）；解：按第一个方法。而X～b（20,0.01），故有80台中发生故障而不能及时维修概率为：上海海事大学概率论第二章()第26页设：Y=80台中同一时刻发生故障台数；按第二种方法。<0.0169第二种方法优于第一个方法此时Y～b（80,0.01）

，故80台中发生故障而不能及时维修概率为：上海海事大学概率论第二章()第27页3.Poission分布设随机变量X全部可能取值为0,1,2….，取各个值概率为（λ）为常数称X服从参数为λ

Poisson分布，记为：

如单位时间内某电话总机收到呼叫次数X量服从泊松分布。上海海事大学概率论第二章()第28页二项分布Poisson近似泊松定理

设λ是一个正整数，，则有：上海海事大学概率论第二章()第29页n≥100,np≤10时近似效果就很好.泊松定理表明，当n很大，p很小时有以下近似式：其中

上海海事大学概率论第二章()第30页例6

为确保设备正常工作，需要配置适量维修人员.设共有300台设备，每台工作相互独立，发生故障概率都是0.01.若在通常情况下，一台设备故障可由一人来处理.问最少应配置多少维修人员，才能确保当设备发生故障时不能及时维修概率小于0.01?我们先对题目进行分析：上海海事大学概率论第二章()第31页

设X为300台设备同时发生故障台数，300台设备，独立工作，每台出故障概率p=0.01.可看作n=300伯努利概型.可见，X~B(n,p)，n=300,p=0.01设需配置N个维修人员，所求是满足最小N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99上海海事大学概率论第二章()第32页

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3泊松近似我们求满足最小N.上海海事大学概率论第二章()第33页查泊松分布表得N+19,即N8即最少需配置8个维修人员.上海海事大学概率论第二章()第34页例3

某地“天天彩”中奖率为p,某人天天买1张,若不中奖第二天继续买1张,直至中奖为止。求该人购置次数X分布律。X=k表示购置了k张,前k-1张都未中奖,第k张中了奖。补充.几何分布适合用于试验首次成功场所解：123…k-1

k×××…×√上海海事大学概率论第二章()第35页例4一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示时间相等.以X

表示该汽车首次碰到红灯前已经过路口个数，求X概率分布。Ai={第i个路口遇红灯},i=1,2,3解:设依题意,X可取值0,1,2,3。上海海事大学概率论第二章()第36页

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