《余角和补角》课件1

4.3.3余角和补角葫芦岛第六初级中学4.3.3余角和补角葫芦岛第六初级中学1概念1

如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).

如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2概念1如果两个角的和等于90°(直角)2图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.3又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+下列说法正确的是（）(2)射线OB表示的方向如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.例4如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.下列说法正确的是（）(2)射线OB表示的方向其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．解得x=60.(2)射线OB表示的方向为.南偏东60°在点C的______方向上.例1若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.为.180－x=4(90－x).(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？因为OM，ON分别为∠AOC，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.因为∠AOC与∠AOB互补，解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，所以∠COD和∠COE互为余角，(1)图中有哪几对互余的角？A．一个角的补角一定大于它本身

如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).

如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.43又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC4图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o60o80o1005例1

若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，

余角是(90－x)°.根据题意，得180－x=4(90－x).

解得x=60.答：这个角的度数是60°.例1若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.6

已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为

(3x+30)°.根据题意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度数为15°.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比7例2如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．O

DA

B

C

N

M

解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，所以∠AOM=，∠AOM=.例2如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，8O

DA

B

C

N

M

所以解得x=50°，则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.ODABCNM所以解得x=50°，则1809∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°(90－x)°(180－x)°观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.90°∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′x10∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？余角和补角的性质思考：12同角

(等角)的补角相等.结论：3∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角(等角)的余角相等.类似地，可以得到：=∠1与∠2，∠3都互为补角，余角和补角的性质思考：12同角11例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.O

A

B

C

D

E

又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+

∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线O12为.（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？(4)射线OD表示的方向又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.x+(3x+30)=90.∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.(1)射线OA表示的方向解得x=15.答案：∠A+∠B=90°如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.因为OM，ON分别为∠AOC，为.所以∠AOM=，∠AOM=.南偏西45°(西南)同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)所以∠AOM=，∠AOM=.（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．D．一个角的余角一定小于其补角(同角的余角相等)∠BOC和∠AOD为____.所以∠COD和∠COE互为余角，A．30° B．45° C．60° D．75°O

A

B

C

D

E

所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.为.OAB13如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COD+∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°14

如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.∠BOC和∠AODO

A

B

C

D

如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠15东西北南O正东：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：东北方向：东南方向：

射线OAABCD45°EGFH45°八大方位45°45°射线OB射线OC射线OD射线OE射线OF射线OH射线OG东西北南O正东：西北方向：射线OAABCD45°EGFH41645°

如图，说出下列方位(1)射线OA表示的方向为

.(2)射线OB表示的方向为

___

_.

(3)射线OC表示的方向为

.

(4)射线OD表示的方向为

.北东西南CABD北偏东40°北偏西65°南偏西45°(西南)南偏东20°40°65°70°O20°45°如图，说出下列方位北东西南CABD北偏东40°北偏17例4

如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.东南西北60°●B40°10°45°C●●A●DO●例4如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的18

费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？●●远望一号远望二号费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我19上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.180－x=4(90－x).如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).同角(等角)的补角相等.例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？∠1的余角，或∠1和∠2互余.(1)图中有哪几对互余的角？同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.同角(等角)的补角相等.锐角的补角比它的余角大_____.在点C的______方向上.180－x=4(90－x).图中给出的各角，哪些互为补角？∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，图中给出的各角，哪些互为余角？(1)射线OA表示的方向∠BOC和∠AOD同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏南偏西45°(西南)（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．∠BOC和∠AOD费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.●●远望一号远望二号60°30°●上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.●●远望一号201.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°A2.下列说法正确的是（）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角D1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（）A2.下列说21x+(3x+30)=90.∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向则∠AOC=180°-x．在点C的______方向上.同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.解得x=60.南偏西45°(西南)(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)下列说法正确的是（）如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏则∠1=，∠2=.在点C的______方向上.解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为所以∠COD和∠COE互为余角，∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，图中给出的各角，哪些互为补角？∠BOC和∠AOD南偏东60°同角(等角)的余角相等.解得x=50°，则180°-x=130°.3.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，若∠A=60°，则∠C的度数是_______.150°4.∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，则∠1=

，∠2=

.62°28°x+(3x+30)=90.3.已知∠A与∠B互余225.

如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)图中有哪几对互余的角？(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？答案：∠A+∠B=90°∠A+∠2=90°∠1+∠B=90°∠1+∠2=90°答案：∠B=∠2∠A=∠1(同角的余角相等)(同角的余角相等)ACD12B5.如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.(1)图中有哪2360°30°6.

垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖面，从A船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.(1)试在图中确定白色漂浮物C的位置；AB北北C60°30°6.垃圾打捞船A和B都停驻在湖边观测湖2460°北A.南偏东30°B.南偏西30°C.南偏东60°D.南偏西60°(2)点C在点A的北偏东60°的方向上，那么点A

在点C的______方向上.

60°30°AB北北CD60°北A.南偏东30°(2)点C在点25同角或等角的补角相等同角或等角的余角相等互余互补两角间的数量关系对应图形性质总结同角或等角的同角或等角的互余互补两角间的数量关系对应图形性质26方位角物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向定义书写通常要先写北或南，再写偏东或偏西方位角物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一27《余角和补角》课件1284.3.3余角和补角葫芦岛第六初级中学4.3.3余角和补角葫芦岛第六初级中学29概念1

如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).

如图，可以说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.2概念1如果两个角的和等于90°(直角)30图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.2o43.8o图中给出的各角，哪些互为余角？15o24o66o75o46.31又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+下列说法正确的是（）(2)射线OB表示的方向如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.例4如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.下列说法正确的是（）(2)射线OB表示的方向其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．解得x=60.(2)射线OB表示的方向为.南偏东60°在点C的______方向上.例1若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.为.180－x=4(90－x).(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？因为OM，ON分别为∠AOC，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.因为∠AOC与∠AOB互补，解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，所以∠COD和∠COE互为余角，(1)图中有哪几对互余的角？A．一个角的补角一定大于它本身

如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).

如图，可以说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，或∠3和∠4互补.43又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC32图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o图中给出的各角，哪些互为补角？10o30o60o80o10033例1

若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，

余角是(90－x)°.根据题意，得180－x=4(90－x).

解得x=60.答：这个角的度数是60°.例1若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.34

已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为

(3x+30)°.根据题意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度数为15°.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比35例2如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．O

DA

B

C

N

M

解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°-x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，所以∠AOM=，∠AOM=.例2如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，36O

DA

B

C

N

M

所以解得x=50°，则180°-x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.ODABCNM所以解得x=50°，则18037∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′x°(0＜x＜90)27°37′117°37′85°175°58°148°45°135°103°13°(90－x)°(180－x)°观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.90°∠α∠α的余角∠α的补角5°32°45°77°62°23′x38∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？余角和补角的性质思考：12同角

(等角)的补角相等.结论：3∠2=180°－∠1∠3=180°－∠1同角(等角)的余角相等.类似地，可以得到：=∠1与∠2，∠3都互为补角，余角和补角的性质思考：12同角39例3

如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？解：因为点A，O，B在同一直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.O

A

B

C

D

E

又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+

∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线O40为.（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？(4)射线OD表示的方向又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.x+(3x+30)=90.∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.(1)射线OA表示的方向解得x=15.答案：∠A+∠B=90°如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.因为OM，ON分别为∠AOC，为.所以∠AOM=，∠AOM=.南偏西45°(西南)同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)所以∠AOM=，∠AOM=.（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．D．一个角的余角一定小于其补角(同角的余角相等)∠BOC和∠AOD为____.所以∠COD和∠COE互为余角，A．30° B．45° C．60° D．75°O

A

B

C

D

E

所以∠COD和∠COE互为余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.为.OAB41如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．∠COE、∠BOEO

A

B

C

D

E

∠COE、∠BOE解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COD+∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°42

如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.∠BOC和∠AODO

A

B

C

D

如图,已知∠AOB=90°，∠AOC=∠43东西北南O正东：正南：正西：正北：西北方向：西南方向：东北方向：东南方向：

射线OAABCD45°EGFH45°八大方位45°45°射线OB射线OC射线OD射线OE射线OF射线OH射线OG东西北南O正东：西北方向：射线OAABCD45°EGFH44445°

如图，说出下列方位(1)射线OA表示的方向为

.(2)射线OB表示的方向为

___

_.

(3)射线OC表示的方向为

.

(4)射线OD表示的方向为

.北东西南CABD北偏东40°北偏西65°南偏西45°(西南)南偏东20°40°65°70°O20°45°如图，说出下列方位北东西南CABD北偏东40°北偏45例4

如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.东南西北60°●B40°10°45°C●●A●DO●例4如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的46

费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？●●远望一号远望二号费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我47上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.180－x=4(90－x).如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).同角(等角)的补角相等.例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？∠1的余角，或∠1和∠2互余.(1)图中有哪几对互余的角？同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.同角(等角)的补角相等.锐角的补角比它的余角大_____.在点C的______方向上.180－x=4(90－x).图中给出的各角，哪些互为补角？∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，例3如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些角互为余角？费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.解：设这个角为x°，则它的补角是(180－x)°，图中给出的各角，哪些互为余角？(1)射线OA表示的方向∠BOC和∠AOD同时，从B船也发现该白色漂浮物在它的北偏南偏西45°(西南)（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．∠BOC和∠AOD费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测.●●远望一号远望二号60°30°●上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.●●远望一号481.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°A2.下列说法正确的是（）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角D1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（）A2.下列说49x+(3x+30)=90.∠1与∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向则∠AOC=180°-x．在点