理论力学矢量动力学基础6.4动能定理0806

理论力学CAI版权所有,2000(c)理论力学CAI矢量动力学基础动能定理前言惯量动量定理动量矩定理动能定理2022/11/51动能定理动能力的功势力场与势能动能定理矢量动力学基础/动能定理2022/11/52动能定理动能力的功势力场与势能动能定理矢量动力学基础/动能定理2022/11/53动能质点系的动能刚体的动能矢量动力学基础/动能定理/动能2022/11/54质点系的动能质点的动能矢量动力学基础/动能定理/动能质点Pk动能质点系的动能质点系2022/11/55刚体的动能平动刚体定轴转动刚体平面运动刚体的动能-柯尼希定理矢量动力学基础/动能定理/动能2022/11/56矢量动力学基础/动能定理/动能平动刚体刚体的平动动能相当于将刚体质量集中在质心的一质点的动能

质点Pk2022/11/57矢量动力学基础/动能定理/动能定轴转动刚体刚体对固定轴Oz的动能等于刚体对该轴转动惯量与角速度平方的积

质点Pk的速度2022/11/58矢量动力学基础/动能定理/动能平面运动刚体-柯尼希定理平面运动刚体刚体的动能等于将质量集中于质心的质点动能与绕过质心瞬时轴的转动动能之简单叠加

质点Pk的速度2022/11/59矢量动力学基础/动能定理/动能平面运动刚体动能另一表达式平面运动刚体平面运动刚体动能等于刚体绕过瞬心瞬时轴转动的动能瞬心S2022/11/510矢量动力学基础/动能定理/动能/例[例]一质量为m，半径为R的圆环上固结一质量为m的质点试求系统动能圆环在水平面上作无滑动的滚动2022/11/511矢量动力学基础/动能定理/动能/解1[解1]系统动能

惯性基质点m

动能圆环

动能(平面一般运动)速度与位形有关动能除与位形速度有关通常还与位形有关2022/11/512矢量动力学基础/动能定理/动能/解2[解2]系统对S’的转动惯量惯性基质点m对S’的转动惯量圆环对S’的转动惯量系统动能

转动惯量与位形有关2022/11/513动能定理动能力的功势力场与势能动能定理矢量动力学基础/动能定理2022/11/514力的功元功与功几种常见力的功刚体所受力的功矢量动力学基础/动能定理/力的功2022/11/515矢量动力学基础/动能定理/力的功元功运动轨迹lk无限小位移矢量力的作用点Pk定义该力的元功力的功定义该力在路径lk作的功2022/11/516矢量动力学基础/动能定理/力的功力系的功运动轨迹该力系的总功为所有力的之和作用点力系2022/11/517几种常见力的功重力的功线弹性力的功阻尼力的功矢量动力学基础/动能定理/力的功2022/11/518矢量动力学基础/动能定理/力的功重力的功刚体内任意质点Pk功刚体重力的功与质心的高度差成正比，与质心所经过的路径无关刚体重力的功2022/11/519矢量动力学基础/动能定理/力的功线弹性力的功线弹性力的功与弹簧的变形平方之差成正比，与通过的路径无关线弹性力的一种常见的物理对象是线性弹簧l0:弹簧原长k：线弹簧的刚度系数2022/11/520矢量动力学基础/动能定理/力的功阻尼力的功粘性阻尼库仑阻尼库仑阻尼库仑阻尼力的功与滑动的距离l成正比粘性阻尼2022/11/521刚体上力的功刚体内力的功理想约束力的功作用于平面刚体主动力的功矢量动力学基础/动能定理/力的功2022/11/522矢量动力学基础/动能定理/力的功刚体内力的功刚体内任意两质点Pi

，Pj作用于Pi

，Pj的内力两内力元功之和刚体在运动过程中所有质点间内力的功等于零连体矢量2022/11/523矢量动力学基础/动能定理/力的功理想约束力的功理想约束力的方向与点的运动方向垂直柔束理想约束力方向作用点A的运动（速度）方向2022/11/524矢量动力学基础/动能定理/力的功支承面约束理想约束力方向接触点的运动（速度）方向理想约束力的方向与接触点的运动方向垂直2022/11/525矢量动力学基础/动能定理/力的功理想约束力的方向与接触点的运动方向垂直平面圆柱铰约束理想约束力方向接触点的运动（速度）方向径向

切向

球铰约束2022/11/526矢量动力学基础/动能定理/力的功理想约束力的方向与接触点的运动方向垂直滑移铰约束理想约束力方向接触点的运动（速度）方向主矢

主矩2022/11/527矢量动力学基础/动能定理/力的功理想约束力的方向与接触点点的运动方向垂直齿轮副约束理想约束力方向接触点的运动（速度）方向沿齿面沿齿面公法线2022/11/528矢量动力学基础/动能定理/力的功刚体在运动过程中作用在刚体上的理想约束力所作的功为零理想约束力的方向与接触点的运动方向垂直理想约束力的元功理想约束力的功2022/11/529矢量动力学基础/动能定理/力的功作用于平面刚体主动力的功刚体平面运动作用点Pk运动轨迹作用点主动力系2022/11/530矢量动力学基础/动能定理/力的功主动力总元功2022/11/531矢量动力学基础/动能定理/力的功主动力所作的总元功等于主动力的主矢与质心无限小位移矢量的点积以及主动力对质心的主矩与无限小方位角积之和同向主动力的功2022/11/532矢量动力学基础/动能定理/力的功重力的功刚体内任意质点Pk刚体重力的元功重力的主矢重力对质心的主矩刚体重力的功2022/11/533动能定理动能力的功势力场与势能动能定理矢量动力学基础/动能定理2022/11/534势力场与势能定义几种常见的势力场矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能2022/11/535定义力场势力场势力的功势力场的势能势力场的描述矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能2022/11/536矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能力场在空间某个区域内存在大小和方向仅与空间位置有关的力，则称该区域为力场

为空间点坐标的单值可微函数2022/11/537矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能势力场(保守力场)对于某力场如果存在一标量函数U(r)其梯度恰好等于力的坐标阵F

标量函数U称为该势力场的势函数，简称为势标量函数V称为该势力场的势能函数，简称为势能2022/11/538矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能势力的功一质点在势力场中沿路径l

运动，力场对其所作的功质点在势力场中运动，势力的功为路径终点与起始点的势函数(或势能)值有关，而与路径无关2022/11/539矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能势力场的势能令质点在势力场某位置的势能为质点由零势能位置移动到该位置势力所作的功的负值2022/11/540矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能势力场的几何描述空间曲面等势面零势面势力的方向沿等势面的法向质点在等势面上移动，势力不作功2022/11/541几种常见的势力场重力场线弹性力场矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能2022/11/542矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能重力场势能函数势函数重力的功垂直于重力加速度矢量的平面零势面为xy平面等势面等势面令势2022/11/543矢量动力学基础/动能定理/势力场与势能线弹性力场线弹性力的功l0:弹簧原长以基点为圆心的球以原长r0为半径的球面为零势面等势面势2022/11/544动能定理动能

力的功势力场与势能动能定理矢量动力学基础/动能定理2022/11/545动能定理质点系动能定理刚体的动能定理机械能守恒矢量动力学基础/动能定理2022/11/546矢量动力学基础/动能定理质点系动能定理质点系外力内力牛顿定律质点Pi所对Pk的作用力力质点Pk所受的力2022/11/547矢量动力学基础/动能定理外力的元功内力的元功2022/11/548矢量动力学基础/动能定理质点系动能的改变等于作用于质点系所有外力的功与所有内力的功之和所有外力的功所有内力的功2022/11/549矢量动力学基础/动能定理刚体的动能定理刚体的内力不作功2022/11/550矢量动力学基础/动能定理机械能守恒刚体处在势力场T+V=T0+V0=常数机械能：刚体的动能与势能代数和势力场中刚体的机械能为常量刚体势力的功势力的功2022/11/551矢量动力学基础/动能定理/例[例]均质杆AB长为l，质量为m。当该杆处于j0由静止开始在地面与墙面上无摩擦地滑动试求杆在不同位置的角速度2022/11/552矢量动力学基础/动能定理/解[解]杆的运动为平面一般运动

惯性基连体基杆动能

杆对瞬心S的转动惯量

杆运动的一般位置

jS2022/11/553矢量动力学基础/动能定理/解杆动能

杆受的外力

理想约束力不作功

主动力：重力初始位形

当前位形

重力作功

初始角速度

当前角速度

2022/11/554矢量动力学基础/动能定理/解任意时刻的角速度与姿态角的关系

姿态角的微分方程

条件：

积分

2022/11/555矢量动力学基础/动能定理/例[例]图示一质量为m半径为r的均质圆盘在一铅垂平面内的曲线轨道上作无滑动滚动。圆盘中心C与固定点O连接一原长为l0线弹簧。初始时OC为水平，弹簧长为l1<l0，圆盘处于静止状态。终了时OC为铅垂，弹簧长为l2<l0试求圆盘在终了位置质心的速度2022/11/556矢量动力学基础/