第二节 行列式的基本性质与计算课件

§1.2行列式的基本性质与计算1.行列式的基本性质2.行列式按任一行(列)展开§1.2行列式的基本性质与计算1.行列式的基本性质1一、行列式的基本性质定义设称为D的转置行列式对D行列互换而不改变各行、各列的顺序,得一、行列式的基本性质定义设称为D的转置行列式对D行列互换2性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DD==a11a22...ann例如,性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DD==a3性质2互换两行(列),行列式改变符号.注:由性质1可知,行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立,反之亦然.即性质2互换两行(列),行列式改变符号.注:由性质1可知4又如:推论1.

若行列式中某一行(列)的所有元素均为零,则

证明:当第一行元素全为0时,即由行列式定义知D=0;又如:推论1.若行列式中某一行(列)的所有元5若第i行(i＞1)的元素全为0,即(第i行)=0.证毕.若第i行(i＞1)的元素全为0,即(第i行)=06推论2.

若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证明:将相同的两行互换,有

性质3.

若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即

推论2.若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证7第二节行列式的基本性质与计算课件8证明:当i=1时，由行列式的定义知证明:当i=1时，由行列式的定义知9当i>1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可．当i>1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成10性质3如果行列式D中某行(列)的所有元素是两个数的和,那么D可表示成两个新行列式之和,即性质3可推广到某一行(列)为多个数的和的情形性质3如果行列式D中某行(列)的所有元素是两个数的和,那11性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即证:当i=1时，由行列式的定义知性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式12当i>1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第i行，即得该命题．当i>1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行13(第j行)推论20.(第i行)也就是推论3.若行列式D中有某两行(列)对应元素成比例,则D=0.(第j行)推论20.(第i行)也就是14性质5把行列式的某一行(列)各元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变,即性质5把行列式的某一行(列)各元素的k倍加到另一行(列)15注意:例如,注意:例如,16例1计算行列式解:原式r43r1例1计算行列式解:原式r43r117r4+2r1r43r1r4+2r1r43r118=312r4+2r1=312r4+2r119例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得20第二节行列式的基本性质与计算课件21例证明：例证明：22例3计算行列式解:分析:对于爪型行列式,方法:将3爪的一个边爪变成0,将其转化为上(下)三角行列式D例3计算行列式解:分析:对于爪型行列式,方法:将3爪23=2=224型:(ai0)型:(ai0)25例3计算n阶行列式解:例3计算n阶行列式解:26=[a+(n1)b](ab)n1解法2:D=[a+(n1)b](ab)n1解法2:D27第二节行列式的基本性质与计算课件28回例3.

计算n阶行列式解法三(镶边法)当a,b相等时，行列式为0,当a,b不等时回例3.计算n阶行列式解法三(镶边法)当a,b29（爪型）（爪型）30第二节行列式的基本性质与计算课件31证

左边=例4

证明【注】例4题目虽为证明题，但其实质仍为行列式的计算。证左边=例4证明【注】例4题目虽为证明题，但其32二、行列式按任一行(列)展开引理一个n阶行列式,如果其中第i行(或第j列)所有元素除aij外都为零,那么此行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即D=aijAij根据行列式的定义和性质1,我们知道行列式等于它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.事实上可以证明更一般的结论.为此先证明以下引理.二、行列式按任一行(列)展开引理一个n阶行列式,如果其33也就是:若即D=aijAij也就是:若即D=aijAij34由定义,按第一行展开得(1)先证当aij位于第一行第一列的情形,即(2)再证一般情形(第i行除aij外,其它元素全为零),此时[证]D=a11(1)1+1M11=a11A11由定义,按第一行展开得(1)先证当aij位于第一行第一列的情35将D的第i行依次与第i1,i2,,1行交换,得将D的第i行依次与第i1,i2,,1行交换,得36再将D的第j列依次与第j1,j2,,1列交换,得=(1)i+j2D1=(1)i+jD1

其中再将D的第j列依次与第j1,j2,,1列交换,得37D1中第一行第一列的元素aij的余子式就是中第i行第j列的元素aij的余子式Mij由(1)的证明得D1=aijMij

D=(1)i+jD1

=(1)i+jaijMij

=aij(1)i+jMij

=aijAij

证毕D1中第一行第一列的元素aij的余子式就是中第i行第j列的元38定理一行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和,即

D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)或D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)行列式按行(列)展开法:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和:[证]定理一行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数39第二节行列式的基本性质与计算课件40=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)证毕.同理,若按列证明,可得D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0

(ij)a1iA1j+a2iA2j++aniAnj=0

(ij)=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=41设i<j,把行列式D中第j行的元素换成第i行的元素,得第i行第j行[证]=0设i<j,把行列式D中第j行的元素换成第i行的元素,得第i42将D1按第j行展开,得D1=ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn

ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0

(ij)上述证法按列进行,同理可得证毕.a1iA1j+a2iA2j++aniAnj=0

(ij)将D1按第j行展开,得D1=ai1Aj1+ai2Aj2+43小结:关于代数余子式的性质有:或简写成:小结:关于代数余子式的性质有:或简写成:44例1计算行列式

解:原式例1计算行列式解:原式45=31=3146例2计算n阶行列式按第一列展开,有解:例2计算n阶行列式按第一列展开,有解:47=xxn1+(1)n+1yyn1=xn+(1)n+1yn=xxn1+(1)n+1yyn1=xn+(1)n48例3计算0000解:按第一行展开,有例3计算0000解:按第一行展开,有49第二节行列式的基本性质与计算课件50递推公式递推公式51例4.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:例4.证明范德蒙(Vandermonde)行列式说明:52下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:用数学归纳法.因为下面我们来证明范德蒙(Vandermonde)行列式.证明:53第二节行列式的基本性质与计算课件54按归纳法假设,有故按归纳法假设,有故55１．计算n阶行列式其中１．计算n阶行列式其中56２．计算２．计算57下面用数学归纳法证明上式成立假设n=k-1等式成立，即则当n=k时，将行列式按第k列展开,得综上,等式成立.下面用数学归纳法证明上式成立则当n=k时，将行列式按第k列展58第二节行列式的基本性质与计算课件59常见的行列式计算法1.用定义2.化为三角行列式3.每行(列)元素之和为同一常数4.奇数阶的反对称行列式为零(n为奇数）Ｄ＝常见的行列式计算法1.用定义(n为奇数）Ｄ＝60＝所以Ｄ＝０＝所以Ｄ＝０61６．镶边法７．归纳法８．递推法９．利用范德蒙行列式６．镶边法62思考题１求：２设求思考题１求：２设求63３．求解：３．求解：644.设行列式则第四行各元素余子式之和的值=().解:4.设行列式则第四行各元素余子式之和的值=().解65§1.2行列式的基本性质与计算1.行列式的基本性质2.行列式按任一行(列)展开§1.2行列式的基本性质与计算1.行列式的基本性质66一、行列式的基本性质定义设称为D的转置行列式对D行列互换而不改变各行、各列的顺序,得一、行列式的基本性质定义设称为D的转置行列式对D行列互换67性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DD==a11a22...ann例如,性质1行列式与它的转置行列式相等,即D=DD==a68性质2互换两行(列),行列式改变符号.注:由性质1可知,行列式中行与列具有同等地位,行列式的性质凡是对行成立的,对列也成立,反之亦然.即性质2互换两行(列),行列式改变符号.注:由性质1可知69又如:推论1.

若行列式中某一行(列)的所有元素均为零,则

证明:当第一行元素全为0时,即由行列式定义知D=0;又如:推论1.若行列式中某一行(列)的所有元70若第i行(i＞1)的元素全为0,即(第i行)=0.证毕.若第i行(i＞1)的元素全为0,即(第i行)=071推论2.

若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证明:将相同的两行互换,有

性质3.

若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即

推论2.若行列式D中有两行(列)完全相同,则D=0.证72第二节行列式的基本性质与计算课件73证明:当i=1时，由行列式的定义知证明:当i=1时，由行列式的定义知74当i>1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可．当i>1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成75性质3如果行列式D中某行(列)的所有元素是两个数的和,那么D可表示成两个新行列式之和,即性质3可推广到某一行(列)为多个数的和的情形性质3如果行列式D中某行(列)的所有元素是两个数的和,那76性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.即证:当i=1时，由行列式的定义知性质4.行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式77当i>1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第i行，即得该命题．当i>1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行78(第j行)推论20.(第i行)也就是推论3.若行列式D中有某两行(列)对应元素成比例,则D=0.(第j行)推论20.(第i行)也就是79性质5把行列式的某一行(列)各元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去,行列式的值不变,即性质5把行列式的某一行(列)各元素的k倍加到另一行(列)80注意:例如,注意:例如,81例1计算行列式解:原式r43r1例1计算行列式解:原式r43r182r4+2r1r43r1r4+2r1r43r183=312r4+2r1=312r4+2r184例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得例2.计算解:从第四行开始,后行减去前行,得85第二节行列式的基本性质与计算课件86例证明：例证明：87例3计算行列式解:分析:对于爪型行列式,方法:将3爪的一个边爪变成0,将其转化为上(下)三角行列式D例3计算行列式解:分析:对于爪型行列式,方法:将3爪88=2=289型:(ai0)型:(ai0)90例3计算n阶行列式解:例3计算n阶行列式解:91=[a+(n1)b](ab)n1解法2:D=[a+(n1)b](ab)n1解法2:D92第二节行列式的基本性质与计算课件93回例3.

计算n阶行列式解法三(镶边法)当a,b相等时，行列式为0,当a,b不等时回例3.计算n阶行列式解法三(镶边法)当a,b94（爪型）（爪型）95第二节行列式的基本性质与计算课件96证

左边=例4

证明【注】例4题目虽为证明题，但其实质仍为行列式的计算。证左边=例4证明【注】例4题目虽为证明题，但其97二、行列式按任一行(列)展开引理一个n阶行列式,如果其中第i行(或第j列)所有元素除aij外都为零,那么此行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即D=aijAij根据行列式的定义和性质1,我们知道行列式等于它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和.事实上可以证明更一般的结论.为此先证明以下引理.二、行列式按任一行(列)展开引理一个n阶行列式,如果其98也就是:若即D=aijAij也就是:若即D=aijAij99由定义,按第一行展开得(1)先证当aij位于第一行第一列的情形,即(2)再证一般情形(第i行除aij外,其它元素全为零),此时[证]D=a11(1)1+1M11=a11A11由定义,按第一行展开得(1)先证当aij位于第一行第一列的情100将D的第i行依次与第i1,i2,,1行交换,得将D的第i行依次与第i1,i2,,1行交换,得101再将D的第j列依次与第j1,j2,,1列交换,得=(1)i+j2D1=(1)i+jD1

其中再将D的第j列依次与第j1,j2,,1列交换,得102D1中第一行第一列的元素aij的余子式就是中第i行第j列的元素aij的余子式Mij由(1)的证明得D1=aijMij

D=(1)i+jD1

=(1)i+jaijMij

=aij(1)i+jMij

=aijAij

证毕D1中第一行第一列的元素aij的余子式就是中第i行第j列的元103定理一行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和,即

D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)或D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)行列式按行(列)展开法:把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和:[证]定理一行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数104第二节行列式的基本性质与计算课件105=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)证毕.同理,若按列证明,可得D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n)推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0

(ij)a1iA1j+a2iA2j++aniAnj=0

(ij)=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=106设i<j,把行列式D中第j行的元素换成第i行的元素,得第i行第j行[证]=0设i<j,把行列式D中第j行的元素换成第i行的元素,得第i107将D1按第j行展开,得D1=ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn

ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0

(ij)上述证法按列进行,同理可得证毕.a1iA1j+a2iA2j++aniAnj=0

(ij)将D1按第j行展开,得D1=ai1A