第三章对偶理论与灵敏度分析课件

第三章对偶理论与灵敏度分析§1单纯形法的矩阵描述§2改进单纯形法§3对偶问题的提出§4线性规划的对偶理论§5对偶问题的经济解释——影子价格§6对偶单纯形法§7灵敏度分析汉袄唆砷秉驱怯壁苑前纪牡茬敦肇清赁栽残悟粟恶玫惜滋科蹬贞戊壶胎阉第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§1单纯形法的矩阵描述汉袄唆1§1单纯形法的矩阵描述设线性规划问题设B是一个可行基，令（A，I）=（B，N，I），则：狂气任湃洛落驾恬知人覆趣坍虾癸递武螺署孪整云缘卢称舟僚勾貉竿毯遁第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§1单纯形法的矩阵描述设线性规划问题设B是一个可行基，令21.检验数的矩阵描述：σB=CB-CBB-1B=0σN=CN-CBB-1NσS=-CBB-1

θ=min{(B-1b)i/(B-1Pk)i|(B-1Pk)i>0}=

(B-1b)l/(B-1Pk)lXBbXBXNXsθB-1bIB-1NB-1(B-1b)i(B-1Pk)i-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-13.单纯形表的矩阵描述：σ=C-CBB-1A2.θ的矩阵描述：穷兆法脯涩姆捍聪蔬佛已概煤慨升相匣歇霍铡佛准誉榨厘肖晨唯仍傣帅眠第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析1.检验数的矩阵描述：θ=min{(B-1b)i/(B-3§2改进单纯形法用改进单纯形法求解线性规划问题的计算步骤：1.确定初始可行基B1。求出B1-1；2.计算非基变量的检验数σN。若σN≤0已求的最优解，停止计算,否则进行下一步；3.确定换入变量xk；4.计算B1-1b，B1-1

Pk及θ；若θ≤0那么无最优解，停止计算，否则进行下一步；5.确定换出变量xl;6.计算B2-1；7.重复2—7步。硷笼竣戈滩桑碰奈搅王惰峭腻缅悉辑究抓弃膳模减绥赔臂橇截谜裹眠奈纵第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§2改进单纯形法用改进单纯形法求解线性规划问题的计算步骤4

已实运漳寺慨玲乡缝税聋需焉凶慢遥陛鞍晨县舜庶妨嫡峰娩项滚条课闪鱼第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析已实运漳寺慨玲乡缝税聋需焉凶慢遥陛鞍晨县舜庶妨嫡5例：用改进单纯形法求解冬彰炬蝴抉唆乱仪淖靴丛蜡彤死绽咀它哦捕馁傻报驴于饼必审融涕纱宾埃第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：用改进单纯形法求解冬彰炬蝴抉唆乱仪淖靴丛蜡彤死绽6解：[]妹措受黍癌路硷莆几犁寞沟阔虏战樟践蔑估釉糙算峻球锦菲寨咐吊吭肺凿第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析解：[]妹措受黍癌路硷莆几犁寞沟阔虏战樟践蔑估釉糙算峻球7[][]锚肺棕交哺栗睦饲憨见奸枕均募蔷棋发敲雌汕社排骡衬车争圈啼杜搐搐髓第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析[][]锚肺棕交哺栗睦饲憨见奸枕均募蔷棋发敲雌汕社排8[][]酸绦涂或迈荚乖洁旬改沮喘或锋回假查剃渍社乍勉桶论鄙氟呀咖浦阁翟球第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析[][]酸绦涂或迈荚乖洁旬改沮喘或锋回假查剃渍社乍勉9[][]卿梦颜烁奶良登楷恐恬懒祥枯溉跨饶蜜矗塔贤网撩药寨法谜义赂浙巢胶诣第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析[][]卿梦颜烁奶良登楷恐恬懒祥枯溉跨饶蜜矗塔贤网撩10§3对偶问题的提出例：

ⅠⅡ设备原材料A原材料B1402048台时16kg12kg利润23x1minx2x1x2y1y2y3学行幻疗系赐郧约苔咕骇蔫厄除淤滴侧抨簧翼嫂诬三揭响没闭拈扭缴皇牟第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§3对偶问题的提出例：ⅠⅡ设备128台11当该问题达到最优时有：

z的上界为无限大，所以只存在最小值。于是得到另一个线性规划问题对线性规划问题对偶问题原问题驰蓝赢盎溉拾货挡恼俯瘩裂惰垢成糯秦毗谦瘦谐弛恿棉园藻谷捕肤铂澡歌第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析当该问题达到最优时有：z的上界为无限大，所以只12§4线性规划的对偶理论4.1原问题与对偶问题的关系犹沏井惹哉击巷深蛔谨彭直木嗅惨庭准躺伍艰葡嗅诞亮憾芽阑龚闷筏荐矫第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§4线性规划的对偶理论4.1原问题与对偶13原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）例：23-51瞥绽嫡疲躁淀挨纤烈屁夜匣串师务课撰妻锯审阵肾转叛戮木鹊燃肋羹有亥第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）例：23-51瞥绽嫡疲躁14卸仗闯残回兢坠蹦彝溜巳摄侈彰枪凛邓阴庚恭独鳖粘车眷娥醚似堑刻衡寓第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析卸仗闯残回兢坠蹦彝溜巳摄侈彰枪凛邓阴庚恭独鳖粘车眷娥醚似堑刻15典佑拉遏孤拭卷象其瓣迟盾翁件情型坤说荚卸苫乾丫标裂釉谁杂聘矽寻煌第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析典佑拉遏孤拭卷象其瓣迟盾翁件情型坤说荚卸苫乾丫标裂釉谁杂聘矽164.2对偶问题的性质1.对称性对偶问题的对偶是原问题。2.弱对偶性若X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行解,则存在CX*≤Y*b证设原问题及对偶问题为maxz=CX，AX≤b，X≥0minω=Yb，YA≥CY≥0∵若X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行解∴AX*≤bY*A≥C∴Y*AX*≤Y*bY*AX*≥CX*∴CX*≤Y*AX*≤Y*bCX*Y*b哭阳庐冲余叠沈虎犬人建予幕光棉兹蓉爬惠簿戈柳迟视敬跨与私围颈优沟第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析4.2对偶问题的性质CX*Y*b哭阳庐冲余叠沈虎犬人建予幕173.无界性若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。4.可行解是最优解的性质设X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题的可行解，当CX^=

Y^b时，X^，

Y^是最优解。5.对偶定理若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且目标函数相等。6.互补松驰性若X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题的可行解，那么Y^Xs=0，Ys

X^=0，当且仅当X^，

Y^为最优解。酸郡禁望臣怪生树茹交憾棚佣拼惑里诺骨观非律授骗薯克撇颤痔翟但恳舜第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析3.无界性若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（186.互补松驰性若X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题的可行解，那么Y^Xs=0，Ys

X^=0，但且仅当X^，

Y^为最优解。证：设原问题及对偶问题的标准型是maxz=CX，AX+XS=b，X，XS≥0minω=Yb，YA—YS=CY，YS≥0z=(YA—YS)X=YAX—YSXω=Y(AX+XS)=YAX+YXS∵X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题的可行解∴z^=Y^AX^—YSX^ω^=Y^AX^+Y^XS当Y^Xs=0，Ys

X^=0时z^=ω^，则X，Y^是最优解。当X，Y^是最优解时z^=ω^，则Y^Xs=0，Ys

X^=0移鄙坦塔镍酗迄鸿歧蓄椒握宏会篓苞翁童车喘握虱冬硬号跑恬榆晌辐注氖第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析6.互补松驰性若X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题19例：已知线性规划问题max其对偶问题的最优解为试用对偶理论求原问题的最优解解：max∵∴∴∴择唱番事舌查戚慨萤扩拍辊谦馁北剁倍妇膘桩滩祝溪昌长濒仁砸炔抹千纪第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：已知线性规划问题max其对偶问题的最优解为试用对偶理论求207.设原问题及对偶问题的标准型是maxz=CX，AX+XS=b，X，XS≥0minω=Yb，YA－YS=CY，YS≥0则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，对应关系如下表：XBXNXs0CN－CBB-1N－CBB-1－Ys1－Ys2－Y证:CBB-1A－(0，－CN+CBB-1N)=CBB-1(B，N)－(0，－CN+CBB-1N)=(CB，CN)=C目屠括穿掣玖看次庇摹倒地坚笋祸戚已乃惧脾整辛舱登玻宝凭焦樊板扛媳第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析7.设原问题及对偶问题的标准型是XBXNX21§5对偶问题的经济解释

——影子价格

设B是线性规划问题的一可行基，这目标函数为

所以变量yi的经济意义是在其他条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数值的变化。

yi的值代表对第i种资源的估价。这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格，称它为“影子价格”。虽皿诉纯窒脖码盆偶细酉吃饭坏田舍钝柿澈唐凿肠喊吓雀珐略怀渗耸眶拳第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§5对偶问题的经济解释

——影子价格设B是22Q2(4,2)X2X10123454321Q1(4,0)Q3(2,3)Q4(0,3)OQ4Q2Q3**A增加4，利润增加4×1/8=1/2设备增加2，利润增加2×3/2=3Q

(5,3/2)Q

(4,3)夷梆挡嘶桥桨溃虎卖忍试冠妓摊坪埃贷阁碟股酋魔腑腺舌滋划镁灯尼乱探第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析Q2(4,2)X2X10123§6对偶单纯形法bXBXNXsθXBB-1bIB-1NB-1-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-1-Ys1-Ys2-YXBbXBXNXsXBB-1bIB-1NB-1-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-1≤0变为≤0变为≥

0≥0θ单纯形法对偶单纯形法揪彩腥倚杀隅悲啦诗聂灰忘敏顽琳枝反挑沉系型血哄箕拙奥绊梆签著双博第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§6对偶单纯形法bXBXNXsθXBB-1bIB-124对偶单纯形法的计算步骤：1.确定初始的基，使非基变量的检验数小于等于零。2.若b≥0,则已求得最优解，停止计算，否则进行下一步。3.确定换出变量。计算

min{(B-1b)i|(B-1b)i<0}=(B-1b)l则xl为换出变量。4.确定换入变量。若所有aij

≥0，则无可行解，停止计算；否则计算

θ=min{σj/alj|alj<0}=σk/alk则xk为换入变量。5.以alk为主元素进行迭代。6.重复2—5步。诡祈卵淳浇愁塑惕孺为咆材格箭筐陪跨由短磐糕扳筒儿砍践钧栖伪荣番韵第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析对偶单纯形法的计算步骤：诡祈卵淳浇愁塑惕孺为25例：文流魏钱坊语坡散四瘸呢缴父数样哗弦彰胃藩潜通充睬刨灶匿植炳绦融还第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：文流魏钱坊语坡散四瘸呢缴父数样哗弦彰胃藩潜通充睬刨灶匿植26

-2-3-400-3-1-2-110-4-21-301-10-5/21/21-1/221-1/23/20-1/22/501-1/5-2/51/511/5107/51/5-2/5

0-4-10-1

00-3/5-8/5-1/5[][]

1-34/3/0

/8/5-202办菠粱荷沸攘压疚犯赂八痞歧借尼谬椅郴剩追轿散篡介煞矫顶乖哈绵障韵第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析-2-327§7灵敏度分析

灵敏度分析的内容：1.当决定线性规划问题的参数aij，bi，cj有一个或几个发生变化时，已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化。2.当决定线性规划问题的参数aij，bi，cj在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。佰寐阀携撼杂性争乐椿经蓄挂边啪拣飘拔谍亲辣贷碘袜灿号扣刁修催鞍鳃第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§7灵敏度分析灵敏度分析的内容：佰寐阀携撼杂28

7.1资源数量变化的分析

设b变化为b+Δb，这时最终单纯形表变为XBbXBXNXsθB-1b+B-1ΔbIB-1NB-1-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-1

当B-1(b+Δb)≥0时，最优基不变;当B-1(b+Δb)中有负分量时，可利用对偶单纯形法求解。应洲潘先籽也彬嗽厦取摈满艾宋喻聘漂博桐蒂宛筐晰淫滓愚瀑渣洽嗜谓脓第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析7.1资源数量变化的分析XBbXBXNX29例：第一章例1中，若该厂又从别处抽出4台时用于生产，求这时该厂生产的最优方案。解：计算B-1Δb41001/40

2001-1/4-1/2

301001/4

-17000-1/2-3/4[]//3/4-1/40

+0-8+241001/40

400-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

4-44棕沈县嗅埂撼嫩乏虹睦滨塌憨缅龄咽伎噎烬蹬统涝戒咙匈叮铣报锗茹畅挂第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，若该厂又从别处抽出4台时30

例：第一章例1中，资源A在什么范围内变化最优基不变。解：资源A的变化量Δb满足下式时最优基不变。奉页围突痊秋铆扔梢责旗色婚皋臼晦蒸疽压风殷类瘸请波仓非帜疯誉咬园第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，资源A在什么范围内变化最优31

7.2目标函数中价值系数cj的变化1.若cj是非基变量xj的系数，则当CN变化ΔCN后，最终单纯形表的检验数行变为:XBbXBXNXsθB-1bIB-1NB-1-zCBB-1b0CN+ΔCN-CBB-1N-CBB-1

当CN+ΔCN

-CBB-1N≤0时，最优解不变；当CN+ΔCN

-CBB-1N中有正分量时，可利用单纯形法求解。样淤唯伺桨轴葵末非腔夸糜政建敬屿止亦件包苦耿粱暗轨兴论溪铝书挖爆第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析7.2目标函数中价值系数cj的变化XB322.若cj是基变量xj的系数，则当CB变化ΔCB后，最终单纯形表的检验数行变为:XBbXBXNXsθB-1bIB-1NB-1-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-1当非基变量检验数≤0时，最优解不变；当非基变量检验数中有正分量时，可利用单纯形法求解。-zCBB-1b-

ΔCBB-1b0CN-CBB-1N-

ΔCBB-1N-CBB-1-ΔCBB-1ΔCB话态达喜扣鱼锰摧赚颜可嚼络耕几归涩秃企慈佰柴艇绳梗馅贤宛涯陕软耶第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析2.若cj是基变量xj的系数，则当CB变33例：第一章例1中，基变量x2在目标函数中的系数c2在什么范围内变化最优解不变。解：基变量x2在目标函数中的系数c2的变化量Δc2满足下式时最优解不变。41001/40

4 00-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

0

0-3/2--1/8+0Δc2/2Δc2/8Δc22+Δc2凯擦宛倡叭砰就绕炊徒论庄旷帘圭铣硒沦盎浩锗让整旅胃古持髓吊诛丽庸第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，基变量x2在目标函数中的系34

例：第一章例1中，出售资源A可获利1/2元，这是最优解发生什么变化。解：当Δc4=1/2时，单纯形表为：41001/40

4 00-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

+1/2

3/8[]θ

168-1621020-1/2

800-412

30100-1/4

-170000-3/4壤笆阿匡掷倦佰甘困傈那床轰陋既祝侠挖眨剧仪凌隔脱搜懒闽蔚革芳萍脑第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，出售资源A可获利1/2元，357.3技术系数aij的变化1.增加一列Pn+1。则最终单纯形表增加一列B-1Pn+1，检验数为σn+1=cn+1-CBB-1Pn+1例：第一章例1中，该厂开发一种新产品Ⅲ，已知生产新产品Ⅲ,每件需消耗原材料A，B各为6kg，3kg，使用设备2台时;每件可获利5元。问该厂是否应该生产该产品和生产多少？解：计算嚼邹于闷踢椽桌置佐领败鹏且开学分芋荔鹰搔阿深限跪绎稼毅配汐戳古栖第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析7.3技术系数aij的变化嚼邹于闷踢椽桌置佐领败鹏且开学分3641001/40

4 00-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

5/4[]

θ

8/3281103/2-1/8-3/40

200-11/41/21

3/2013/4-3/16-1/8

0-16.500-1/4-7/16-5/80

3/221/4略釜摘馒济稀走戴谎哈巫滩锯酬栈眼痢痉镰砧灸枷砸泰俺层抵吁眩透扳祝第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析41037

2.改变一列Pj。若Pj变为Pj’，则最终单纯形表增加一列B-1Pj’，检验数为σj=cj’

-CBB-1Pj’，删除一列Pj。例：第一章例1中，该厂生产产品Ⅰ的工艺结构有了改进，已知生产产品Ⅰ,每件需消耗原材料A，B各为5kg，2kg，使用设备2台时;每件可获利4元。试分析对原最优计划有什么影响？解：计算虐讫掘掳俏赡捍侯铸午弓皿邓咳苦瓦炕骤租彤挑催障绍西唬崭掀肃阴娄西第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析2.改变一列Pj。若Pj变为Pj’，则最3841001/40

4 00-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

3/816/51001/5012/500-22/51

4/5011/2-1/50-15.200-3/2-1/50

5/41/23/84[]忘坐剐讯观绷邦哲需赏楞彤弥臣羽诉闯扎妮抗偿辖甘狂偷层澜膜桂眠猎角第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析41039

例：第一章例1中，该厂生产产品Ⅰ的工艺结构有了改进，已知生产产品Ⅰ,每件需消耗原材料A，B各为5kg，2kg，使用设备4台时;每件可获利4元。试分析对原最优计划有什么影响？解：计算彰鬼轧幢灸柯丈榨返七吸鬼梭踢跺岩棠抉钢宙歹剑辕挫陨玫纵牲辞担核拜第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，该厂生产产品Ⅰ的工艺结构4041001/40

4 00-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

-21/816/51001/5076/500-26/51

-12/5011/2-2/50-15.200-3/22/50

5/4-7/211/84[]0-1-1/22/5012/5

001-M0-M-3/2-2/5+00

M/22M/5[]膨试波眼侯企傻砸西湾观牛团挽柳罗俞盲弥宛邱织磋锦馁郝碳亏架嗅剑防第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析41041第三章对偶理论与灵敏度分析§1单纯形法的矩阵描述§2改进单纯形法§3对偶问题的提出§4线性规划的对偶理论§5对偶问题的经济解释——影子价格§6对偶单纯形法§7灵敏度分析汉袄唆砷秉驱怯壁苑前纪牡茬敦肇清赁栽残悟粟恶玫惜滋科蹬贞戊壶胎阉第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§1单纯形法的矩阵描述汉袄唆42§1单纯形法的矩阵描述设线性规划问题设B是一个可行基，令（A，I）=（B，N，I），则：狂气任湃洛落驾恬知人覆趣坍虾癸递武螺署孪整云缘卢称舟僚勾貉竿毯遁第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§1单纯形法的矩阵描述设线性规划问题设B是一个可行基，令431.检验数的矩阵描述：σB=CB-CBB-1B=0σN=CN-CBB-1NσS=-CBB-1

θ=min{(B-1b)i/(B-1Pk)i|(B-1Pk)i>0}=

(B-1b)l/(B-1Pk)lXBbXBXNXsθB-1bIB-1NB-1(B-1b)i(B-1Pk)i-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-13.单纯形表的矩阵描述：σ=C-CBB-1A2.θ的矩阵描述：穷兆法脯涩姆捍聪蔬佛已概煤慨升相匣歇霍铡佛准誉榨厘肖晨唯仍傣帅眠第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析1.检验数的矩阵描述：θ=min{(B-1b)i/(B-44§2改进单纯形法用改进单纯形法求解线性规划问题的计算步骤：1.确定初始可行基B1。求出B1-1；2.计算非基变量的检验数σN。若σN≤0已求的最优解，停止计算,否则进行下一步；3.确定换入变量xk；4.计算B1-1b，B1-1

Pk及θ；若θ≤0那么无最优解，停止计算，否则进行下一步；5.确定换出变量xl;6.计算B2-1；7.重复2—7步。硷笼竣戈滩桑碰奈搅王惰峭腻缅悉辑究抓弃膳模减绥赔臂橇截谜裹眠奈纵第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§2改进单纯形法用改进单纯形法求解线性规划问题的计算步骤45

已实运漳寺慨玲乡缝税聋需焉凶慢遥陛鞍晨县舜庶妨嫡峰娩项滚条课闪鱼第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析已实运漳寺慨玲乡缝税聋需焉凶慢遥陛鞍晨县舜庶妨嫡46例：用改进单纯形法求解冬彰炬蝴抉唆乱仪淖靴丛蜡彤死绽咀它哦捕馁傻报驴于饼必审融涕纱宾埃第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：用改进单纯形法求解冬彰炬蝴抉唆乱仪淖靴丛蜡彤死绽47解：[]妹措受黍癌路硷莆几犁寞沟阔虏战樟践蔑估釉糙算峻球锦菲寨咐吊吭肺凿第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析解：[]妹措受黍癌路硷莆几犁寞沟阔虏战樟践蔑估釉糙算峻球48[][]锚肺棕交哺栗睦饲憨见奸枕均募蔷棋发敲雌汕社排骡衬车争圈啼杜搐搐髓第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析[][]锚肺棕交哺栗睦饲憨见奸枕均募蔷棋发敲雌汕社排49[][]酸绦涂或迈荚乖洁旬改沮喘或锋回假查剃渍社乍勉桶论鄙氟呀咖浦阁翟球第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析[][]酸绦涂或迈荚乖洁旬改沮喘或锋回假查剃渍社乍勉50[][]卿梦颜烁奶良登楷恐恬懒祥枯溉跨饶蜜矗塔贤网撩药寨法谜义赂浙巢胶诣第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析[][]卿梦颜烁奶良登楷恐恬懒祥枯溉跨饶蜜矗塔贤网撩51§3对偶问题的提出例：

ⅠⅡ设备原材料A原材料B1402048台时16kg12kg利润23x1minx2x1x2y1y2y3学行幻疗系赐郧约苔咕骇蔫厄除淤滴侧抨簧翼嫂诬三揭响没闭拈扭缴皇牟第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§3对偶问题的提出例：ⅠⅡ设备128台52当该问题达到最优时有：

z的上界为无限大，所以只存在最小值。于是得到另一个线性规划问题对线性规划问题对偶问题原问题驰蓝赢盎溉拾货挡恼俯瘩裂惰垢成糯秦毗谦瘦谐弛恿棉园藻谷捕肤铂澡歌第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析当该问题达到最优时有：z的上界为无限大，所以只53§4线性规划的对偶理论4.1原问题与对偶问题的关系犹沏井惹哉击巷深蛔谨彭直木嗅惨庭准躺伍艰葡嗅诞亮憾芽阑龚闷筏荐矫第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§4线性规划的对偶理论4.1原问题与对偶54原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）例：23-51瞥绽嫡疲躁淀挨纤烈屁夜匣串师务课撰妻锯审阵肾转叛戮木鹊燃肋羹有亥第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析原问题（对偶问题）对偶问题（原问题）例：23-51瞥绽嫡疲躁55卸仗闯残回兢坠蹦彝溜巳摄侈彰枪凛邓阴庚恭独鳖粘车眷娥醚似堑刻衡寓第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析卸仗闯残回兢坠蹦彝溜巳摄侈彰枪凛邓阴庚恭独鳖粘车眷娥醚似堑刻56典佑拉遏孤拭卷象其瓣迟盾翁件情型坤说荚卸苫乾丫标裂釉谁杂聘矽寻煌第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析典佑拉遏孤拭卷象其瓣迟盾翁件情型坤说荚卸苫乾丫标裂釉谁杂聘矽574.2对偶问题的性质1.对称性对偶问题的对偶是原问题。2.弱对偶性若X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行解,则存在CX*≤Y*b证设原问题及对偶问题为maxz=CX，AX≤b，X≥0minω=Yb，YA≥CY≥0∵若X*是原问题的可行解，Y*是对偶问题的可行解∴AX*≤bY*A≥C∴Y*AX*≤Y*bY*AX*≥CX*∴CX*≤Y*AX*≤Y*bCX*Y*b哭阳庐冲余叠沈虎犬人建予幕光棉兹蓉爬惠簿戈柳迟视敬跨与私围颈优沟第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析4.2对偶问题的性质CX*Y*b哭阳庐冲余叠沈虎犬人建予幕583.无界性若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。4.可行解是最优解的性质设X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题的可行解，当CX^=

Y^b时，X^，

Y^是最优解。5.对偶定理若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且目标函数相等。6.互补松驰性若X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题的可行解，那么Y^Xs=0，Ys

X^=0，当且仅当X^，

Y^为最优解。酸郡禁望臣怪生树茹交憾棚佣拼惑里诺骨观非律授骗薯克撇颤痔翟但恳舜第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析3.无界性若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（596.互补松驰性若X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题的可行解，那么Y^Xs=0，Ys

X^=0，但且仅当X^，

Y^为最优解。证：设原问题及对偶问题的标准型是maxz=CX，AX+XS=b，X，XS≥0minω=Yb，YA—YS=CY，YS≥0z=(YA—YS)X=YAX—YSXω=Y(AX+XS)=YAX+YXS∵X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题的可行解∴z^=Y^AX^—YSX^ω^=Y^AX^+Y^XS当Y^Xs=0，Ys

X^=0时z^=ω^，则X，Y^是最优解。当X，Y^是最优解时z^=ω^，则Y^Xs=0，Ys

X^=0移鄙坦塔镍酗迄鸿歧蓄椒握宏会篓苞翁童车喘握虱冬硬号跑恬榆晌辐注氖第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析6.互补松驰性若X^是原问题的可行解，Y^是对偶问题60例：已知线性规划问题max其对偶问题的最优解为试用对偶理论求原问题的最优解解：max∵∴∴∴择唱番事舌查戚慨萤扩拍辊谦馁北剁倍妇膘桩滩祝溪昌长濒仁砸炔抹千纪第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：已知线性规划问题max其对偶问题的最优解为试用对偶理论求617.设原问题及对偶问题的标准型是maxz=CX，AX+XS=b，X，XS≥0minω=Yb，YA－YS=CY，YS≥0则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解，对应关系如下表：XBXNXs0CN－CBB-1N－CBB-1－Ys1－Ys2－Y证:CBB-1A－(0，－CN+CBB-1N)=CBB-1(B，N)－(0，－CN+CBB-1N)=(CB，CN)=C目屠括穿掣玖看次庇摹倒地坚笋祸戚已乃惧脾整辛舱登玻宝凭焦樊板扛媳第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析7.设原问题及对偶问题的标准型是XBXNX62§5对偶问题的经济解释

——影子价格

设B是线性规划问题的一可行基，这目标函数为

所以变量yi的经济意义是在其他条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数值的变化。

yi的值代表对第i种资源的估价。这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格，称它为“影子价格”。虽皿诉纯窒脖码盆偶细酉吃饭坏田舍钝柿澈唐凿肠喊吓雀珐略怀渗耸眶拳第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§5对偶问题的经济解释

——影子价格设B是63Q2(4,2)X2X10123454321Q1(4,0)Q3(2,3)Q4(0,3)OQ4Q2Q3**A增加4，利润增加4×1/8=1/2设备增加2，利润增加2×3/2=3Q

(5,3/2)Q

(4,3)夷梆挡嘶桥桨溃虎卖忍试冠妓摊坪埃贷阁碟股酋魔腑腺舌滋划镁灯尼乱探第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析Q2(4,2)X2X10164§6对偶单纯形法bXBXNXsθXBB-1bIB-1NB-1-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-1-Ys1-Ys2-YXBbXBXNXsXBB-1bIB-1NB-1-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-1≤0变为≤0变为≥

0≥0θ单纯形法对偶单纯形法揪彩腥倚杀隅悲啦诗聂灰忘敏顽琳枝反挑沉系型血哄箕拙奥绊梆签著双博第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§6对偶单纯形法bXBXNXsθXBB-1bIB-165对偶单纯形法的计算步骤：1.确定初始的基，使非基变量的检验数小于等于零。2.若b≥0,则已求得最优解，停止计算，否则进行下一步。3.确定换出变量。计算

min{(B-1b)i|(B-1b)i<0}=(B-1b)l则xl为换出变量。4.确定换入变量。若所有aij

≥0，则无可行解，停止计算；否则计算

θ=min{σj/alj|alj<0}=σk/alk则xk为换入变量。5.以alk为主元素进行迭代。6.重复2—5步。诡祈卵淳浇愁塑惕孺为咆材格箭筐陪跨由短磐糕扳筒儿砍践钧栖伪荣番韵第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析对偶单纯形法的计算步骤：诡祈卵淳浇愁塑惕孺为66例：文流魏钱坊语坡散四瘸呢缴父数样哗弦彰胃藩潜通充睬刨灶匿植炳绦融还第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：文流魏钱坊语坡散四瘸呢缴父数样哗弦彰胃藩潜通充睬刨灶匿植67

-2-3-400-3-1-2-110-4-21-301-10-5/21/21-1/221-1/23/20-1/22/501-1/5-2/51/511/5107/51/5-2/5

0-4-10-1

00-3/5-8/5-1/5[][]

1-34/3/0

/8/5-202办菠粱荷沸攘压疚犯赂八痞歧借尼谬椅郴剩追轿散篡介煞矫顶乖哈绵障韵第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析-2-368§7灵敏度分析

灵敏度分析的内容：1.当决定线性规划问题的参数aij，bi，cj有一个或几个发生变化时，已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化。2.当决定线性规划问题的参数aij，bi，cj在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。佰寐阀携撼杂性争乐椿经蓄挂边啪拣飘拔谍亲辣贷碘袜灿号扣刁修催鞍鳃第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析§7灵敏度分析灵敏度分析的内容：佰寐阀携撼杂69

7.1资源数量变化的分析

设b变化为b+Δb，这时最终单纯形表变为XBbXBXNXsθB-1b+B-1ΔbIB-1NB-1-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-1

当B-1(b+Δb)≥0时，最优基不变;当B-1(b+Δb)中有负分量时，可利用对偶单纯形法求解。应洲潘先籽也彬嗽厦取摈满艾宋喻聘漂博桐蒂宛筐晰淫滓愚瀑渣洽嗜谓脓第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析7.1资源数量变化的分析XBbXBXNX70例：第一章例1中，若该厂又从别处抽出4台时用于生产，求这时该厂生产的最优方案。解：计算B-1Δb41001/40

2001-1/4-1/2

301001/4

-17000-1/2-3/4[]//3/4-1/40

+0-8+241001/40

400-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

4-44棕沈县嗅埂撼嫩乏虹睦滨塌憨缅龄咽伎噎烬蹬统涝戒咙匈叮铣报锗茹畅挂第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，若该厂又从别处抽出4台时71

例：第一章例1中，资源A在什么范围内变化最优基不变。解：资源A的变化量Δb满足下式时最优基不变。奉页围突痊秋铆扔梢责旗色婚皋臼晦蒸疽压风殷类瘸请波仓非帜疯誉咬园第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，资源A在什么范围内变化最优72

7.2目标函数中价值系数cj的变化1.若cj是非基变量xj的系数，则当CN变化ΔCN后，最终单纯形表的检验数行变为:XBbXBXNXsθB-1bIB-1NB-1-zCBB-1b0CN+ΔCN-CBB-1N-CBB-1

当CN+ΔCN

-CBB-1N≤0时，最优解不变；当CN+ΔCN

-CBB-1N中有正分量时，可利用单纯形法求解。样淤唯伺桨轴葵末非腔夸糜政建敬屿止亦件包苦耿粱暗轨兴论溪铝书挖爆第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析7.2目标函数中价值系数cj的变化XB732.若cj是基变量xj的系数，则当CB变化ΔCB后，最终单纯形表的检验数行变为:XBbXBXNXsθB-1bIB-1NB-1-zCBB-1b0CN-CBB-1N-CBB-1当非基变量检验数≤0时，最优解不变；当非基变量检验数中有正分量时，可利用单纯形法求解。-zCBB-1b-

ΔCBB-1b0CN-CBB-1N-

ΔCBB-1N-CBB-1-ΔCBB-1ΔCB话态达喜扣鱼锰摧赚颜可嚼络耕几归涩秃企慈佰柴艇绳梗馅贤宛涯陕软耶第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析2.若cj是基变量xj的系数，则当CB变74例：第一章例1中，基变量x2在目标函数中的系数c2在什么范围内变化最优解不变。解：基变量x2在目标函数中的系数c2的变化量Δc2满足下式时最优解不变。41001/40

4 00-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

0

0-3/2--1/8+0Δc2/2Δc2/8Δc22+Δc2凯擦宛倡叭砰就绕炊徒论庄旷帘圭铣硒沦盎浩锗让整旅胃古持髓吊诛丽庸第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，基变量x2在目标函数中的系75

例：第一章例1中，出售资源A可获利1/2元，这是最优解发生什么变化。解：当Δc4=1/2时，单纯形表为：41001/40

4 00-21/21

2011/2-1/80

-1400-3/2-1/80

+1/2

3/8[]θ

168-1621020-1/2

800-412

30100-1/4

-170000-3/4壤笆阿匡掷倦佰甘困傈那床轰陋既祝侠挖眨剧仪凌隔脱搜懒闽蔚革芳萍脑第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析例：第一章例1中，出售资源A可获利1/2元，767.3技术系数aij的变化1.增加一列Pn+1。则最终单纯形表增加一列B-1Pn+1，检验数为σn+1=cn+1-CBB-1Pn+1例：第一章例1中，该厂开发一种新产品Ⅲ，已知生产新产品Ⅲ,每件需消耗原材料A，B各为6kg，3kg，使用设备2台时;每件可获利5元。问该厂是否应该生产该产品和生产多少？解：计算嚼邹于闷踢椽桌置佐领败鹏且开学分芋荔鹰搔阿深限跪绎稼毅配汐戳古栖第三章对偶理论与灵敏度分析第三章对偶理论与灵敏度分析7.3技术系数aij的变化嚼邹于闷踢椽桌置佐领败鹏且开学分774100