第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题课件

第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数真

题

感

悟1.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(

)A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1解析

f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，又f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.答案

B真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－答案1答案13.(2020·新高考山东、海南卷)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.(2020·新高考山东、海南卷)已知函数f(x)＝aex(2)当0＜a＜1时，f(1)＝a＋lna＜1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1.当a＞1时，f(x)＝aex－1－lnx＋lna＞ex－1－lnx≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞).(2)当0＜a＜1时，f(1)＝a＋lna＜1.当x∈(04.(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.解(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R，f′(x)＝ex＋2x－1.故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.4.(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件考

点

整

合1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).易错提醒

求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.考点整合1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数2.四个易误导数公式2.四个易误导数公式3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(热点一导数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(

)A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1热点一导数的几何意义A.a＝e，b＝－1 B.第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件解析

(1)因为y′＝aex＋lnx＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.(2)直线y＝2x的斜率为k＝2，A中，若f(x)＝2ex－2，则由f′(x)＝2ex＝2，得x＝0，f(0)＝0，因为点(0，0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2ex－2相切.B中，若f(x)＝2sinx，则由f′(x)＝2cosx＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，因为点(0，0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2sinx相切.解析(1)因为y′＝aex＋lnx＋1，所以k＝y′|xD中，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，f(1)＝－2，f(－1)＝－2，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝x3－x－2相切.故选ABD.答案

(1)D

(2)ABDD中，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝探究提高利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.探究提高利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、【训练1】(1)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.(2)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.【训练1】(1)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy答案(1)(e，1)

(2)2x－y＝0答案(1)(e，1)(2)2x－y＝0热点二利用导数研究函数的单调性角度1讨论函数的单调性(区间)【例2】

(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝2lnx＋1.热点二利用导数研究函数的单调性(1)当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减.从而当x＝1时，h(x)取到最大值，最大值为h(1)＝－1－c.故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c.所以c的取值范围为[－1，＋∞).(1)当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)取c＝－1得h(x)＝2lnx－2x＋2，h(1)＝0，则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0，即1－x＋lnx<0.所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)单调递减.取c＝－1得h(x)＝2lnx－2x＋2，h(1)＝0，所第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件答案(1)C

(2)(0，1)∪(2，3)答案(1)C(2)(0，1)∪(2，3)探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)【训练2】

(2020·百师联盟考试)已知函数f(x)＝axex－x2－2x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x＞0时，f(x)＞0，求正实数a的取值范围.解

(1)f′(x)＝a(x＋1)ex－2x－2＝(x＋1)(aex－2).①当a≤0时，由f′(x)＞0，得x＜－1；由f′(x)＜0，得x＞－1.∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减.②当a＝2e时，f′(x)≥0，即f(x)在R上单调递增，【训练2】(2020·百师联盟考试)已知函数f(x)＝ax第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件(2)当a≥2e时，由第(1)问知f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)＞f(0)＝0，满足题意.当0＜a＜2e时，由(1)知：综上可知，实数a的取值范围是[2，＋∞).(2)当a≥2e时，由第(1)问知f(x)在(0，＋∞)上是热点三利用导数研究函数的极值和最值【例4】

设函数f(x)＝e2x－alnx.热点三利用导数研究函数的极值和最值第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件(2)证明由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).(2)证明由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零探究提高(1)运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题.(2)利用导数解决不等式恒成立问题：一般先转化为我们熟悉的函数，利用导数研究单调性，求出最值，解答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论.探究提高(1)运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题【训练3】

(2020·江南十校联考)已知f(x)＝mx2－x＋lnx.(1)当m＝0时，求函数f(x)在区间[t，t＋1](t＞0)上的最大值M(t)；(2)当m＝1时，若存在正数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＝1－ln2，求证：x1＋x2≥2.当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，函数单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，函数单调递减.当t≥1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递减，f(x)的最大值为f(t)＝lnt－t；当0＜t＜1时，f(x)在区间(t，1)上单调递增，在区间(1，t＋1)上单调递减，f(x)的最大值为f(1)＝－1.【训练3】(2020·江南十校联考)已知f(x)＝mx2－因此(x1＋x2)2－(x1＋x2)≥2，即(x1＋x2－2)(x1＋x2＋1)≥0.又x1＞0，x2＞0，所以x1＋x2≥2.因此(x1＋x2)2－(x1＋x2)≥2，即(x1＋x2－2第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数真

题

感

悟1.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(

)A.y＝－2x－1 B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3 D.y＝2x＋1解析

f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，又f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.答案

B真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－答案1答案13.(2020·新高考山东、海南卷)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3.(2020·新高考山东、海南卷)已知函数f(x)＝aex(2)当0＜a＜1时，f(1)＝a＋lna＜1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1.当a＞1时，f(x)＝aex－1－lnx＋lna＞ex－1－lnx≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞).(2)当0＜a＜1时，f(1)＝a＋lna＜1.当x∈(04.(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.解(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R，f′(x)＝ex＋2x－1.故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.4.(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件考

点

整

合1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).易错提醒

求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.考点整合1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数2.四个易误导数公式2.四个易误导数公式3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(热点一导数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(

)A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1热点一导数的几何意义A.a＝e，b＝－1 B.第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件解析

(1)因为y′＝aex＋lnx＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.(2)直线y＝2x的斜率为k＝2，A中，若f(x)＝2ex－2，则由f′(x)＝2ex＝2，得x＝0，f(0)＝0，因为点(0，0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2ex－2相切.B中，若f(x)＝2sinx，则由f′(x)＝2cosx＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，因为点(0，0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2sinx相切.解析(1)因为y′＝aex＋lnx＋1，所以k＝y′|xD中，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，f(1)＝－2，f(－1)＝－2，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝x3－x－2相切.故选ABD.答案

(1)D

(2)ABDD中，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝探究提高利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.探究提高利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、【训练1】(1)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.(2)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.【训练1】(1)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy答案(1)(e，1)

(2)2x－y＝0答案(1)(e，1)(2)2x－y＝0热点二利用导数研究函数的单调性角度1讨论函数的单调性(区间)【例2】

(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝2lnx＋1.热点二利用导数研究函数的单调性(1)当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减.从而当x＝1时，h(x)取到最大值，最大值为h(1)＝－1－c.故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c.所以c的取值范围为[－1，＋∞).(1)当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)取c＝－1得h(x)＝2lnx－2x＋2，h(1)＝0，则由(1)知，当x≠1时，h(x)<0，即1－x＋lnx<0.所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)单调递减.取c＝－1得h(x)＝2lnx－2x＋2，h(1)＝0，所第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件答案(1)C

(2)(0，1)∪(2，3)答案(1)C(2)(0，1)∪(2，3)探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)【训练2】

(2020·百师联盟考试)已知函数f(x)＝axex－x2－2x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x＞0时，f(x)＞0，求正实数a的取值范围.解

(1)f′(x)＝a(x＋1)ex－2x－2＝(x＋1)(aex－2).①当a≤0时，由f′(x)＞0，得x＜－1；由f′(x)＜0，得x＞－1.∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减.②当a＝2e时，f′(x)≥0，即f(x)在R上单调递增，【训练2】(2020·百师联盟考试)已知函数f(x)＝ax第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题课件(2)当a