理论力学课件-理力第12章2新

§12-3刚体绕定轴的转动微分方程或dt(e)z

(Fi

)d

(z

idt

M

(F

(e)

)Jz

dωiz(e))M

(F或

J

zdz

i(e))M

(FJ2z

dt

2刚体定轴转动微分方程几点说明：（1）只有对单个定轴转动的刚体，才能使用刚体定轴转动微分方程；例O2RPJOPaO2RJOFT′FTJO

FT

RFT

PJO

？

PR×i(F(e)

)d

(（2）若体做匀速转动；z

i(e))M

(F，则Jzω

常量；若Jz不变，物（3）若常量，则z；若J

不变，物体做匀变速转动；z

i(e))M

(F常量zJ

若Jz小，大，物体运动状态易改变；若Jz大，小，物体运动状态不易改变。dtiz(e))M

(FJz仪器、仪表锻压设备飞轮通常安装在经常受到冲击的机器上，如往复式活塞发、冲床和剪床等。制造飞轮时，要求尽从定轴微分方程，看飞轮的作用可能将质量分布在轮缘上，以使转动惯量尽可能大，这样，机器受到冲击时，角加速度很小，从而可以保持比较稳定的运转状态。JOdt2d2

mga

sin例1

已知：物理摆（复摆），m,

JO

,

a求：微小摆动的规律。解：由刚体定轴转动微分方程得微小摆动时，

sin

JO

mgadt

2d2

0Od2

mgadt

2

J即：sin(JOO通解为

mgat

)O

称角振幅，称初相位，由初始条件确定.1：

求复摆微小摆动的周期。摆动微分方程为0Od2

mga

dt

2

Jnmga

JO则圆频率为

实验法测转动惯量的依据周期为nJOmga

2

mgaJO

2或求：B处绳子突然剪断瞬时，B点加速度与A处约束反力。例2

已知：均质细长杆，m

,

l

,

JAAB解：（1）

B处绳子剪断瞬时，AB受力与运动量如图示。由刚体定轴转动微分方程得mgFAxFAy2JA

mg

l2JA绳子剪断瞬时，解得：

mglBB于是

a

a

Al

=

2Jmgl2方向如图示aB突然解除约束问题如何求剪断绳子前后铰链A处约束反力的改变量？由质心运动定理得（2）a

CnCA4Ja

l

=

mgl22maFC

AxnCAyma

mgF解得：

F

=0AxFmgAy-A4Jlm

g22ABmgFAxFAyaCCFOx

mgFOy例3

已知：均质细长杆,，在m力,矩l

M,

J作O

用下绕水平轴O在铅垂面内转动,时

求：转动角速度与

的关系A解：取杆为研究对象任一瞬时，受力与运动量如图示。O由刚体定轴转动微分方程得M2

M

-mg

l

cosdω

dtJO（1）dt（1）式变为作变换

dωd

dt

dω

·

dd

dωd2

M

-mg

l

cosJ

dωO解得分离变量得d2

M

-mg

l

cosJ

dωOωddl2-mgMJOcos

两边取定积分得ωωdl2-mg

Mcos

0JO

d

0ω

2M

-mglsinJOFOx

mgFOyAOM得由

ω

2M

-mglsinJO2M

-mglsinJOd

dt分离变量,两边取定积分得dtt02M

-mglsinJOd

n0积分可解得t2：

求任一位置支座反力1：

求转n圈所用的时间mgFOxFOyAOM例4由刚体定轴转动微分方程得O1r1，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求轮O1角加速度。r2O2MMO1O2解：分别以两轮为研究对象受力与运动量如图示1

12

1J

M

F

r运动学补充条件

1r1

2r2注意到

F

F

，联立求解以上三式得

2

1Mr2

J

r2

J

r21

2 2

1F′FO1yFFnm2gFO2xFO1xm1gFO2yF′n12z

i

ii

1J

m

r

2§12-4刚体对轴的转动惯量二、转动惯量的确定计算法一、转动惯量定义n实验法复摆法观察法（P281第12-8）lz1Cnz

i

ii

1J

m

r

21、均质且简单形状刚体的转动惯量2Jzr

dm积分法(1)均质细直杆的轴转动惯量设均质细杆长

l，质量为m,如图选取x轴，并取微段dx,

则md

m

d

xl2112l2lz1mlJ

d

x

x2

ml2（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量设细圆环的质量为m，半径为R由转动惯量定义J

m

r2

R2

m

mR2z

i

i

i（3）均质圆板对中心轴的转动惯量设圆板的质量为m，半径为R2Jz2Rr

dm

0

R2m·r·r2dr=

1

mR2Rm2

·r

dr如图取微元，微元质量为于是圆板转动惯量为2zzJ

m回转半径可查机械设计手册得到2.由回转半径（惯性半径）计算转动惯量在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义为mJ

zz

如果已知回转半径，则物体的转动惯量为zzCJ

J

md

23．由平行轴定理计算转动惯量dzCCz刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。刚体对于通过质心轴的转动惯量最小4．由组合法计算转动惯量当物体由几个几何形状简单的物体组合而成时，可用组合法计算整体的转动惯量。即先计算各部分的转动惯量，然后再叠加起来。当物体可以看成由一个完整的图形挖去一部分得到时，挖去部分按负质量计算，这种方法称为负质量法。思考直接采用积分法1、如何计算均质细杆对杆端轴的转动惯量？zZClzC利用平行移轴定理3zJ

1

ml

2思考2、如何计算均质矩形板、均质圆柱体的转动惯量？在保持质量不变的前提下，将矩形板沿轴方向压缩成一细杆；将圆柱体沿轴线方向压缩成一薄圆盘。abyxCRhzC思考3、如何计算均质刚体对任意两个平行轴的转动惯量的关系？在计算均质刚体对任意两个平行轴的转动惯量的关系时，必须借助平行轴定理，而不能直接应用平行轴定理。dz2z1Ca

bJ2

J1

m(b

a

)2

2lRC2C1O例2已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1、m2

，杆长为l；盘的半径为R。杆与盘固结为一体，求Jo解：

Jo=Jo杆+

Jo

盘J

1

ml23O杆2JJc

m2l

2O盘222212lmRm2222211213lRm

lJom

m

例3

槽钢截面尺寸如图示，单位面积质量为，求Jylll2l2lyABCDEFG解：ABCD部分质量为1m

3l

·

4l12

l2131（y1J

m3l）236

l

4EFGH部分质量为2m

-2l·

2l

-4

l2y2J

2112m（32l）2

m（2

2l）2

52

l

4+

Jyy1

J

Jy2563

l4负质量m1m2c1l1c2l2课堂练习1、图示复合细直杆由两部分组成，第一段质量为m1，长为l1；第二段质量为m2，长为l2；求该杆对于杆端轴z的转动惯量。zJz2