工科数学分析-数分第13章

y

2

x,

z显函数隐函数F

:X

Y

R,F

(

x,

y)

0如对于x

I

X

,恒有唯一确定的y

J

Y

,它与x一起满足F

(x,y)

0,就称F

(x,y)

0确定了一个定义在I上,值域含于J的隐函数.y

f

(x)x2

y2

c

0注1：并不是任意方程都能确定一个隐函数c

0

方程不能确定隐函数c

0

方程能确定两个隐函数y

c

x2y

c

x2x

[

x

[c,

c

],

y

0c,

c

],

y

0对于隐函数，:确定隐函数的方程x,y的取值范围注2：若方程能确定隐函数，也未必能化为显函数xx2ln

y2

arctan

y隐函数存在的条件,隐函数的连续性,可微性.一、隐函数定理定理13.7.1：（隐函数存在惟一性定理）若函数F

(x,y)满足下列条件:(i)

函数F在以P0

(x0

,y0

)为内点的某一区域D

R2上连续;(ii)

F(

x0

,

y0

)

0;(iii

)

在D内存在连续的偏导数Fy

(x,y);(iv)

Fy

(

x0

,

y0

)

0,则在点P0的某邻域U

P0

D内

方程F

x y

0唯一确定了一个定义在某区间(x0

,x0

)内的函数y

f

(

x),

使得10f

(

x0

)

y0

,0时(x,f

(x))U(P0

)且F(x,f

(x))

0;20

f

(0

)内连续.形式上:方程唯一确定隐函数证明:由条件(iv),不妨设Fy

x0

,y0

0,1.

先证隐函数y

f

(

x)的存在性和唯一性由条件(iii

),Fy

在D内连续,由连续函数的局部保号性,存在P0的某一闭的方邻域x0

,

x0

y0

,

y0

D使得在其上每一点处都有Fy

(

x,

y)

0.0

,因此,对每个固定的yF

x,

y作为的一元函数,必定在y0

,y0

上严格增且连续.由F(x0

,y0

)

0可知,（ 初始条件(ii)）F

x0

,

y0

0,F

x0

,

y0

0又由F

的连续性条件（i）,函数F

x,y0

与F

x,y0

在x0

,x0

上也连续,由保号性,存在

0

,0当

时,,恒有

0.F

x,

y0

0,

F

x,

y0F

x,y

作为x的一元函数,0

,因此,对F

(

x,

y0

)

0,F

(

x,

y0

)

0,F(x,y)在y00上严格增且连续,由介值定理,存在唯一的

y

(y0

,y0

),使得F

(x,y)

0.0在由

,

中的任意性,确定

一个定义域为x0

,

x0

,值域含于(

y0

,

y0

)的隐函数

y

f

(

x).若记:U(P0

)

(x0

,x0

)(y0

,y0

),y

f

(x)0对

,

y

f

(x),且易知y0

y

y0

.

0,且

miny0

y,y

y0

,使得

y0

y

y

y0

.从而

F

(

x,

y

)

0,

F

(

x,

y

)

0.2.

再证y

f

(

x)的连续性F

(

x,

y)

0F(x,y)在y00上严格增且连续,F

(

x,

y

)

0,

F(

x,

y

)

0.因此存在唯一的y(y

,y

),使得F(x,y)

0,|

y

y

|

,由

y

的唯一性,

y

f

(

x).即证得

0,

0，当|

x

x

|

时,

.f

(

x)

f

(

x)0

)上连续.y

f

(由保号性，存在)

x0

,

x0

,使得x属于该邻域时,0

,对

注:1.定理中的条件仅仅是充分的.例如:

y3

x3

0,

在点(0,0)不满足(iv),但一样能确定惟一的连续函数y

x.但条件不完全满足时,定理结果可能失效.双纽线F

(x,y)

(x2

y2

)2

x2

y2

=0在点(0,0)不满足(iv),点(0,0)的无论多小的邻域内,隐函数都不惟一.例如:2.证明中,条件(iii

)和(iv)只是用来保证存在U(P0

),使得F在U(P0

)内关于变量y是严格单调的.故条件(iii

)和(iv)可“F在U(P0

)内关于变量y是严格单调的便于实际中检验.采用条件()ii(i),和iv3.定理中,如条Fx

(x,y)连续,Fx

(

x0

,

y0

)

0,结论变成存在惟一的连续函数x

g(y).定理13.7.2：（一元隐函数可微性）若函数F

(x,y)满足再加上Fx

(x,y)在D内存在且连续,则由方程F

(x,y)

0

)内所确定的隐函数y

f

(

x)在(

x0

,

x0有连续的导函数，且f

'(

x)

Fx

(

x,

y)Fy

(

x,

y)若方程F

(x,y)

0

存在连续可微隐函数,则对F(x,y)

0

复合函数求导,可得：Fx

(x,y)yy如

F

(

x,

y)

0,

也可得F

(

x,

y)F

(

x,

y)f

'(

x)

yxdF

(

x,

y(

x))

0dx定理13.7.3

(二元隐函数的惟一存在与连续可微性)若函数F

(x,y,z函数F在以P0

(x0

,y0

,z0

)为内点的某一区域D

R3上连续;F(

x0

,

y0

,

z0

)

0;在D内存在连续的偏导数Fx

,Fy

,Fz

;Fz

(

x0

,

y0

,

z0

)

0,则在点P0的某邻域U(P0

)

D内,方程F(x,y,z)

02唯一确定了一个定义在U

((x0

,y0

))

R

内的连续函数z

f

(

x,

y),

使得f

(x0

,y0

)

z0

,

(x,y)U((x0

,y0

))时(x,y,f

(x,y))U(P0

)且F(x,y,f

(x,y))

0;z

f

(x,y)在U

((x0

,y0

))内有连续的偏导数,1020z

Fx

,

z

Fy

.x

Fz

y

Fz解

令F

(

x,

y)

x2

y2

1F

(0,1)

0,例１

验证方程x

2

y2

1

0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个可导的隐函数

y

f

(

x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x

=0

的值.则Fx

2x,Fy

2

y,Fy

(0,1)

2

0,依定理

2

知方程x

2

y2

1

0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个可导的隐函数

y

f

(

x).内能唯一确定一个可导的隐函数

y

f

(

x).函数的一阶和二阶导数为dy

FxFydxy

x

,dy

0,x0dxd

2

y

y

xydx

2y2y2

x

y

x

y

(

0,1)d

2

ydx2

1.依定理2

知方程x

2

y2

1

0在点(0,1)的某邻域例

2

已知lnxx2dx

y2

arctan

y

，求dy

.则x解1

令F

(x,

y)

lnx2

y2

arctan

y

0x2

y2x

y

,xF

(

x,

y)

x2

y2y

x

,yF

(

x,

y)

dy

Fxdx

Fy

x

y

.y

x解2左右两端关于x求导d

lnx2x2

y2

x

y

(xdx

y

2x2x2

y

2y(x)111

x

1

x

dy

x

yx

dxdxd

arctandxd

y

x

dy

x

y

dx

y2

x

y

dy dy

x

y

dx

dx

x2

y2x2

y22

2

z例

3

设x

2

y2

z

4z

0，求

.x

2解

令

F

(

x,

y,

z)

x2

y2

z2

4z,则Fx

2x,

Fz

2z

4,z

Fxx,xFz2

zx2

2(2

z)2(2

z)

x

zz

x

(2

z)2x2

z(2

z)

x

.(2

z)3

(2

z)2

x2z

x

y例

4

设z

f

(

x

y

z,

xyz)，求x

，

y

，

z

.思路：x把z

看成x,y

的函数，对x求偏导数得z

，y把x看成z,y的函数，对y

求偏导数得x

，z把y

看成x,z的函数，对z

求偏导数得y

.zxux

f

(1

z

)vx

f

(

yz

xy

z

),整理得xz

,fu

yzfv1

fu

xyfv解令

u

x

y

z,

v

xyz,则z

f

(u,v),z

f

(

x

y

z,

xyz)u

f

u

f

vx

v

xx把z

看成x,y

的函数，对x求偏导数得z

，令

u

x

y

z,

v

xyz,则z

f

(u,v),z

f

(

x

y

z,

xyz)整理得x

fu

xzfv

,fu

yzfvy把x

看成z,y

的函数对y

求偏导数得yuvy0

f

(x

1)

f

(

xz

yz

x

),把y

看成x,z

的函数对z

求偏导数得zuvz1

f

(y

1)

f

(

xy

xz

y

),整理得zy

1

fu

xyfv

.fu

xzfv令

u

x

y

z,

v

xyz,则z

f

(u,v),z

f

(

x

y

z,

xyz)G(

x,

y,

u,v)

0F

(

x,

y,

u,v)

0方程组二、隐函数组则方程组确定了两个隐函数，即隐函数组

(,

),

fuxg(,vyxy).x,y)

D,

有唯一的u

J,v

K,与x,y一起满足方程组G(

x,

y,

u,v)

0F

(

x,

y,

u,v)

0u

f

(x,

y),v

g(x,

y).唯一存在,连续,可微的条件?分析:设F

,G,u,v可微,对方程组分别对x,y求偏导Fv

vx

0Gvvx

0Fv

v

y

0Gvvy

0Fx

Fu

uxGx

GuuxFy

FuuyGy

Guuy

0Fv(F

,G)

Fu(u,

v)

Gu

Gv定理13.7.4：（隐函数组定理）若F

(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在以P0

(x0

,y0

,u0

,v0

)为内点的某一区域V

R4内连续;F(

x0

,

y0

,

u0

,v0

)

0,G(

x0

,

y0

,

u0

,v0

)

0.在V内F

,G具有一阶连续偏导数;0

0P(u,

v)(iv)

(F

,G)则在点P0的某邻域U(P0

)

V内,方程组2唯一确定了一个定义在U

((x0

,y0

))

R

内使得的两个隐函数

u

f

(

x,

y),

v

g(

x,

y)u0

f

(

x0

,

y0

),

v0

g(

x0

,

y0

),10且当(xF(

x,

y,

f

(

x,

y),

g(

x,

y))

0;G(

x,

y,

f

(

x,

y),

g(

x,

y))

0;u

f

(x,y),v

g(x,y)在U

((x0

,y0

))内连续,20U((x0

,y0

))时,(

x,

y,

f

(

x,

y),

g(

x,

y))U(P0

),u

f

(x,y),v

g(x,y)在U

((x0

,y0

))内有30一阶的连续偏导数.Fv

vx

0Gvvx

0Fv

v

y

0Gvvy

0Fx

Fu

uxGx

GuuxFy

FuuyGy

Guuy

0(F

,G)

Fu

Fv(u,

v)

Gu

Gvu

1

(F

,

G)x

J

(x,

v)(u,

v)v

1

(F,G)x

J

(u,

x)(F

,G)(F

,G)

(

x,

v)u

1

(F

,G)y

J

(

y,

v)v

1

(F

,G)y

J

(u,

y)222),,,(

yxvu0),,,(

vuvuxyxG

01例5在点P0

(2,1,1,2)的邻域内能确定怎样的隐函数组?解:

F(P0

)

G(P0

)

0

求出F

,G的所有的偏导数,6个雅可比行列式中,只有(F

,G)P0

(

2,1,1,2)

0(

x,

v)只有x,v难以肯定能否作为以y,u为自变量的隐函数.例

6

设xu

yv

0，

yu

xv

1，u

u

v

v求

，

，

和

.x

y

x

y解1直接代入公式(F

xu

yv,解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x求导并移项,

x

v

x

x

yx

xu

v

x

u

y

v

u在J

0的条件下，x

yy

x

u

yu

vxx2

y2x

xu

yv

,xx

uv

y

vx

yy

xx2

y2

yu

xv

,x2

x2y

y2

y

y2将所给方程的两边对y

求导，用同样方法得u

xv

yu

,

v

xu

yv

.y

x

y

x2J

x

y2

,（分以下几种情况）隐函数的求导法则F(

x,

y)

0F

(

x,

y,

z)

0G(

x,

y,

u,v)

0F

(

x,

y,

u,v)

0(3)三、小结思考:

隐函数存在条件的直观意义z

01.z

F

(

x,

y)(

x0

,

y0

),

s.t.

F(

x0

,

y0

)

0.2.

交线(Fx

(

P0

),

Fy

(

P0

))

(0,0)证明:设(x0

,x0

),

则y

f

(

x),

y

y

f

(

x

x)(

y0

,

y0

).F(

x,

y)

0,

F(

x

x,

y

y)

0.由Fx

和Fy的连续性及二元函数的中值定理知:0

F(

x

x,

y

y)

F(

x,

y)

Fx

(

x