苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》 综合知识点分类训练 【含答案】

苏科版九年级数学上册第1章《一元二次方程》综合知识点分类训练一．一元二次方程的定义1．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5＝0是一元二次方程，求m的值．2．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？二．一元二次方程的一般形式3．一元二次方程（2+x）（3x﹣4）＝5的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．4．一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+c＝0化为一般式后为3x2+2x﹣1＝0，试求a2+b2﹣c2的值的算术平方根．三．一元二次方程的解5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20226．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣4a+的值应在（）A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间7．已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，则的值为（）A．2017 B．2018 C．2019 D．20208．已知x＝为一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，且a，b为有理数，则a＝，b＝．9．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝．10．已知a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，求代数式的值．四．解一元二次方程-直接开平方法11．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，512．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解．五．解一元二次方程-配方法13．用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是（）A．x2﹣2x＝5 B．2x2﹣4x＝5 C．x2+4x＝5 D．x2+2x＝514．当x满足条件时，求出方程x2﹣2x﹣4＝0的根．六．配方法的应用15．下列各式：①x2+2x+6＝（x+1）2+5；②；③；④；⑤变形中，正确的有（）A．①④ B．① C．④ D．②④16．对关于x的二次三项式x2﹣4x+9进行配方得（x+m）2+n．（1）填空：m＝，n＝．（2）当x为何值时，此二次三项式的值为7．七．解一元二次方程-公式法17．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c＝0变形为：x2+x＝﹣，…第一步x2+x+（）2＝﹣+（）2…第二步（x+）2＝…第三步x+＝（b2﹣4ac＞0）…第四步x＝…第五步（1）嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是．（2）用配方法解方程：x2﹣2x﹣24＝0．八．解一元二次方程-因式分解法18．解方程x2﹣x﹣2＝0时，最适当的方法是（）A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法19．对于实数m，n，先定义一种新运算“⊗”如下：m⊗n＝，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x等于（）A．3 B．﹣4 C．8 D．3或820．一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是．21．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是．22．已知三角形的两边长分别是1和2，第三边长是方程2x2﹣5x+3＝0的根，求三角形的周长．23．已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x为何值时，y1＝y2？九．换元法解一元二次方程24．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+4（x2﹣2x+1）﹣5＝0，那么x2﹣2x+1的值为（）A．﹣5或1 B．﹣1或5 C．1 D．525．若（a2+b2）（a2+b2﹣3）＝4，则a2+b2的值为（）A．4 B．﹣4 C．﹣1 D．4或﹣1十．根的判别式26．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③27．关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（）A．n＜且n≠0B．n＞C．﹣≤n＜且n≠0D．﹣＜n≤且n≠028．若等腰三角形的一条边长为5，另外两条边的长为一元二次方程x2﹣7x+k＝0的两个根，则k的值为（）A．10 B． C．10或 D．29．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④30．已知三个实数a，b，c满足ab＜0，a+b+c＝0，a﹣b+c＞0，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b2≥4ac B．a＞0，b2≤4ac C．a＜0，b2≥4ac D．a＜0，b2≤4ac31．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．32．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若D，E是边AB上的两个动点，F是边AC上的一个动点，DE＝，则CD+EF的最小值为（）A．﹣ B．3﹣ C．1+ D．3十一．根与系数的关系33．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设α，β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ＝6成立？如果存在，请求出来；若不存在，请说明理由．34．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？十二．一元二次方程的应用35．某初三毕业班同学之间互赠一寸相片留念，送出的相片总共2256张，如果设这个班有x个学生，则可列方程（）A． B．x（x﹣1）＝2256 C．（x﹣1）2＝2256 D．x（x+1）＝225636．秋冬季节为流感的高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人37．某商店销售一款工艺品，每件的成本是30元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是40元时，每天的销售量是80件，而销售单价每提高1元，每天就少售出2件，但要求销售单价不得超过55元．（1）若销售单价为每件45元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1200元，那么每件工艺品售价应为多少元？38．某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．39．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？40．某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空土，建成一个矩形花园，要求在花园中修建两条纵向和一条横向的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？

答案一．一元二次方程的定义1．解：由题意，得m2﹣5m+8＝2且m﹣2≠0，解得m＝3，m的值是3．2．解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得或或，解得k＝﹣1或k＝0．故当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，解得k＝1．故当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．二．一元二次方程的一般形式3．解：方程（2+x）（3x﹣4）＝5整理为一般式可得3x2+2x﹣13＝0，∴二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是﹣13，故3、2、﹣13．4．解：整理a（x+1）2+b（x+1）+c＝0得ax2+（2a+b）x+（a+b+c）＝0，则，解得，∴a2+b2﹣c2＝9+16＝25，∴a2+b2﹣c2的值的算术平方根是5．三．一元二次方程的解5．解：对于一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0，设t＝x﹣1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，则x﹣1＝2021，解得x＝2022，所以一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为x＝2022．故选：D．6．解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣2a＝1，∴2a2﹣4a+＝2（a2﹣2a）+＝2×1+＝2+．∵4＜5＜9，∴2＜＜3．∴4＜2+＜5．即代数式2a2﹣4a+的值应在4和5之间．故选：A．7．解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，即a2+1＝2020a，a2＝2020a﹣1，则＝2020a﹣1﹣2019a+＝a﹣1+＝﹣1＝﹣1＝2019．故选：C．8．解：因为x＝＝﹣1，代入x2+ax+b＝0得（﹣1）2+（﹣1）a+b＝0，则a+（﹣a+b）＝2﹣6，可得方程组，解得．故2，﹣4．9．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，则原式＝m2+2m+m+n＝m2+2m+（m+n）＝2021﹣2＝2019．故2019．10．解：∵a是一元二次方程x2+3x+1＝0的实数根，∴a2+3a+1＝0，∴a2+3a＝﹣1，∴＝＝＝＝﹣3．四．解一元二次方程-直接开平方法11．解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．12．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故x3＝0，x4＝﹣3．五．解一元二次方程-配方法13．解：A．由x2﹣2x＝5得x2﹣2x+1＝5+1，不符合题意；B．由2x2﹣4x＝5得x2﹣2x＝，所以x2﹣2x+1＝+1，不符合题意；C．由x2+4x＝5得x2+4x+4＝5+4，符合题意；D．由x2+2x＝5得x2+2x+1＝5+1，不符合题意；故选：C．14．解：解不等式x+1＜3x﹣3，得：x＞2，解不等式3（x﹣4）＜2（x﹣4），得：x＜4，则不等式组的解集为2＜x＜4，∵x2﹣2x＝4，∴x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，则x﹣1＝±，∴x＝1或x＝1﹣，∵2＜x＜4，∴x＝1．六．配方法的应用15．解：①x2+2x+6＝x2+2x+1+5＝（x+1）2+5，变形正确；②，变形错误；③原式＝（x+）2+，变形错误；④，变形正确；⑤+，变形错误；故选：A．16．解：（1）x2﹣4x+9＝（x﹣2）2+5，∴m＝﹣2，n＝5，故﹣2，5；（2）由题意可得，x2﹣4x+9＝7，解得，x1＝2+，x2＝2﹣，当x为或2﹣时，此二次三项式的值为7．七．解一元二次方程-公式法17．解：（1）嘉淇的解法从第四步开始出现错误；当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是x＝；故四；x＝；（2）x2﹣2x＝24，配方得：x2﹣2x+1＝24+1，即（x﹣1）2＝25，开方得：x﹣1＝±5，解得：x1＝6，x2＝﹣4．八．解一元二次方程-因式分解法18．解：由于方程中一次项系数时无理数，所以，解方程x2﹣x﹣2＝0时，最适当的方法是公式法，故选：C．19．解：当x≥﹣2时，x2+x﹣2＝10，解得：x1＝3，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；当x＜﹣2时，（﹣2）2+x﹣2＝10，解得：x＝8（不合题意，舍去）；∴x＝3．故选：A．20．解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x＝6或﹣2，∵一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两根分别是一次函数y＝kx+b在x轴上的横坐标和y轴上的纵坐标，∴这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是×6×|﹣2|＝6，故6．21．解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，故14．22．解：解方程2x2﹣5x+3＝0得：x＝1.5或1，当x＝1.5时，三角形的三边为1，2，1.5，此时三角形的三边符合三角形三边关系定理，即三角形的周长为1+2+1.5＝4.5；当x＝1时，三角形的三边为1，2，1，此时三角形的三边不符合三角形三边关系定理，即三角形不存在；所以三角形的周长为4.5．23．解：x2﹣9＝3﹣x，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0，x﹣3＝0，x1＝﹣4，x2＝3，即当x为﹣4或3时，y1＝y2．九．换元法解一元二次方程24．解：设y＝x2﹣2x+1，则y2+4y﹣5＝0．整理，得（y+5）（y﹣1）＝0．解得y＝﹣5（舍去）或y＝1．即x2﹣2x+1的值为1．故选：C．25．解：设y＝a2+b2（y≥0），则由原方程得到y（y﹣3）＝4．整理，得（y﹣4）（y+1）＝0．解得y＝4或y＝﹣1（舍去）．即a2+b2的值为4．故选：A．十．根的判别式26．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4a≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4a＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝±，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：B．27．解：∵关于x的一元二次方程nx2﹣x+2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣）2﹣4n×2＞0且n≠0，4n+3≥0，解得﹣≤n＜且n≠0，故选：C．28．解：当5为腰长时，将x＝5代入原方程得25﹣7×5+k＝0，解得：k＝10，∴原方程为x2﹣7x+10＝0，∴x1＝2，x2＝5，长度为2，5，5的三条边能围成三角形，∴k＝10符合题意；当5为底边长时，△＝（﹣7）2﹣4k＝0，解得：k＝，∴原方程为x2﹣7x+＝0，∴x1＝x2＝，长度为，，5的三条边能围成三角形，∴k＝符合题意；综上，k的值为10或，故选：C．29．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴△＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0则方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0，若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝，∴2ax0+b＝，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：A．30．解：设y＝ax2+bx+c，∵a+b+c＝0，a﹣b+c＞0∴方程ax2+bx+c＝0有实数根，即b2﹣4ac≥0．由题意知，a+c＝﹣b，a+c＞b，∴﹣b＞b，即b＜0，又∵ab＜0，∴a＞0．故选：A．31．解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．32．解：如图，过C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于N；过C1作C1C2∥AB，且C1C2＝，过C2作C2F⊥AC于F，交AB于E，C2F的长度即为所求最小值，∵CC2∥DE，CC2＝DE，∴四边形C1DEC2是平行四边形，∴C1D＝C2E，又∵CC1关于AB对称，∴CD＝C1D，∴CD+EF＝C2F，∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝2，∴CN＝，AN＝3，过C2作C2M⊥AB，则C2M＝C1N＝CN＝，∴C2M∥C1N，C1C2∥MN，∴MN＝C1C2＝，∵∠MEC2＝∠AEF，∠AFE＝∠C2ME＝90°，∴∠MC2E＝∠A＝30°，在Rt△C2ME中，ME＝，C2M＝1，C2E＝2，∴AE＝AN﹣MN﹣ME＝3﹣﹣1＝2﹣，∴EF＝1﹣，∴C2F＝2+1﹣＝3﹣．故选：B．十一．根与系数的关系33．解：（1）根据题意得△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）存在．根据题意得α+β＝﹣（2m﹣1），αβ＝m2，∵α2+β2﹣αβ＝6，∴（α+β）2﹣3αβ＝6，即（2m﹣1）2﹣3m2＝6，整理得m2﹣4m﹣5＝0，解得m1＝5，m2＝﹣1，∵m≤；∴m的值为﹣1．34．解：（1）∵四边形/r/