概率论与数理统计教程第二章

§2.1

随

量及其分布(1)掷一颗，出现的点数X1，2，……，6.n个产品中的不合格品个数Y0，1，2，……，n某商场一天内来的顾客数Z0，1，2，……某种型号电视机的

T

:[0,

+)2.1.1

随量的定义定义2.1.1设={}为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随

量.(1)(1)

随

量X()是样本点的函数，其定义域为

，其值域为R=(，)若

X

表示掷一颗 出现的点数，则{X=1.5}

是不可能事件.(2)

若

X

为随

量，则{X=k}、{a

<X

b}、……均为随机事件.即{a

<X

b}={；a

<X()

b

}

(2)(3)

注意以下一些表达式：{X

=

k}=

{X

k}{X

<

k}；{a

<

X

b}

={X

b}{X

a}；{

X

>

b}

=

{X

b}.(4)

同一样本空间可以定义不同的随

量.若随 量

X

可能取值的个数为有限个或可列个，则称

X

为离散随

量.若随 量

X的可能取值充满某个区间[a,

b]，则称

X

为连续随

量.

前例中的

X,

Y,

Z

为离散随 量；而

T

为连续随 量.两类随

量定义2.1.2设X为一个随 量，对任意实数

x，称

F(x)=P(

X

x)

为

X

的分布函数.基本性质：F(x)单调不降；有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；右连续.2.1.2

随量的分布函数2.1.3

离散随

量的分布列设离散随量X

的可能取值为：x1，x2，……，xn，……称

pi=P(X=xi)，

i

=1,

2,……

为

X

的分布列.分布列也可用表格形式表示：Xx1x2

……xn

……Pp1p2

……pn

……分布列的基本性质(1)

pi

0，(2)

pi

1.

(正则性)i(非负性)(1)求离散随(1)

确定随量的分布列应注意：量的所有可能取值;(2)

计算每个取值点的概率.(2)对离散随 量的分布函数应注意：F(x)是递增的阶梯函数;其间断点均为右连续的;其间断点即为X的可能取值点;其间断点的跳跃高度是对应的概率值.例2.1.1已知

X

的分布列如下：X

0

1

2P

1/3

1/6

1/2求

X

的分布函数.0,1/

3,1/

2,F(x)

x00

x1

1

x21, 2

x解：X

0

12P

0.4

0.4

0.2解：0,0.4,F

(x)

0.8,x00

x1

1

x21, 2

x例2.1.2已知

X

的分布函数如下,求

X

的分布列.2.1.4

连续随

量的密度函数连续随 量X的可能取值充满某个区间(a,b).量X，有P(X=x)=0，量用

P(X=x)

来描述连续因为对连续随所以无法仿离散随随 量X的分布.注意离散随

量与连续随

量的差别.定义2.1.4xp(t)dtF(x)

则称

X

为连续随

量，设随 量X

的分布函数为F(x),若存在非负可积函数p(x)，满足：称p(x)为概率密度函数，简称密度函数.密度函数的基本性质(1)

p(x)

0;(2)p(x)dx1.满足(1) (2)的函数都可以看成某个连续随 量的概率密度函数.(非负性)(正则性)aP(a

X

b)

b

p(x)dx.(1)(1)F(x)是(∞,+∞)上的连续函数;P(X=x)

=

F(x)F(x0)

=

0;(2)P{a<X≤b}

=

P{a<X<b}=

P{a≤X<b}=

P{a≤X≤b}=

F(b)F(a).当F(x)在x点可导时,

p(x)

=

F

(x)当F(x)

在x点不可导时,

可令p(x)

=0.连续型离散型分布列:

pn

=

P(X=xn)(唯一)F(x)

=

P(

X

xi

)xi

x密度函数X

~

p(x)(不唯一)xF(x)

p(t)dt3.

F(a+0)

=F(a);

P(a<Xb)

=

F(b)F(a).点点计较F(x)为阶梯函数。F(a0)

F(a).P(X=a)

=

0

F(x)为连续函数。

F(a0)=F(a).例2.1.3ke3x

,设X

~

p(x)

x

0,x

0.

0,求

(1)

常数

k.(2)

F(x).(2)

0,1

e3x

,F(

x)

x

0,x

0.解：(1)

k

=3.例2.1.40,设X

~

p(

1

x,

1

x

0

1其它求F(x).0,1,x

1F

(

x)

1

x解：设X与Y同分布，X的密度为

0,p(

x)

8

3

x2

,

0

x

2其他已知事件A

={X

>a

}和B

={Y

>a}独立，223a

838ax

dx

1

从中解得a

3

4且

P(AB)=3/4,

求常数

a

.解:

因为

P(A)

=

P(B),

且由A、B

独立，得P(AB)

=

P(A)+P(B)P(A)P(B)

=

2P(A)

[P(A)]2

=

3/4从中解得:

P(A)=1/2,

由此得

0<a

<2

,因此

1/2

=

P(A)

=

P(

X>

a)例2.1.5①

F(a)

=1②

F(a)=③

F(a)

=

F(a)④

F(a)=

2F(a)

10ap(

x)dx012a

p(

x)dx课堂练习设X

~

p(x)，且p(x)=p(x)，F(x)是X

的分布函数，则对任意实数a>0，有(②)§2.2随 量的数学期望分赌本问题(17世纪)甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元.无平局，谁先赢3局，则获全部赌注.当甲赢2局、乙赢1局时，中止了

.问如何分赌本?两种分法按已赌局数分：则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3按已赌局数和再赌下去的“期望”分：因为再赌两局必分胜负，共四种情况：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/42.2.1

数学期望的概念若按已赌局数和再赌下去的“期望”分，则甲的所得X

是一个可能取值为0

或100的随

量，其分布列为：X0100P1/43/4甲的“期望”所得是：01/4+100

3/4=75.2.2.2

数学期望的定义定义2.2.1设离散随P(X=xn)

=

pn,量X的分布列为n

=1,

2,

...绝对收敛，则称该级数为X

的i

1若级数

xi

pi数学期望，记为i

ix

pE(

X

)

i

1连续随

量的数学期望设连续随量X的密度函数为p(x),定义2.2.2若积分绝对收敛，则称该积分为X

的xp(

x)dx数学期望，记为E(

X

)

xp(

x)dx例2.2.1X

1

0

12P

0.2

0.1

0.4

0.3则E(X)

=

1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3

=

0.8.数学期望简称为期望.数学期望又称为均值.数学期望是一种

平均.2.2.3

数学期望的性质定理2.2.1量X的函数，设

Y=g(X)

是随若E(g(X))存在，则g(x)

p(x)dxg(xi

)P(

X

xi

)E(g(

X

))

i1例2.2.2P求E(X2+2).解:

E(X2+2)=

(02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=

1+3/4+6/4

=

13/4设随 量

X的概率分布为X

0

1

21/2

1/4

1/4数学期望的性质E(c)

=

cE(aX)

=

aE(X)E(g1(X)+g2(X))

=

E(g1(X))+E(g2(X))例2.2.3其设

X

~

p(x)

0,求下列X

的函数的数学期望.(1)

2X1,

(2) (X

2)2解:

(1)

E(2X

1)

=

1/3,(2)E(X

2)2

=

11/6.§2.3随

量的方差与标准差数学期望反映了X

取值的中心.方差反映了X

取值的离散程度.2.3.1

方差与标准差的定义定义2.3.1

若

E(XE(X))2

存在，则称E(XE(X))2

为X

的方差，记为Var(X)=D(X)=

E(XE(X))2Var(

X

)方差反映了随方差越大,则随称

X

=

(X)=量相对其均值的偏离程度.量的取值越分散.标准差的量纲与随为X

的标准差.量的量纲相同.2.3.2

方差的性质Var(c)=0.

性质2.3.2Var(aX+b)

=

a2

Var(X).(3)

Var(X)=E(X2)[E(X)]2.性质2.3.3性质2.3.1例2.3.1设X

~

p

x00

x

1其它,

求

E(X),

Var(X).101

12=12(2)

E(X

)

=所以,=7/6Var(X)

=

E(X2)[E(X)2] =7/6

1

=

1/6解:

(1)

E(X)=

12dx

013

1

x(2

x)dxdx312201x

x

(2

x)dx课堂练习设X

~

p(

0,1

x

,

1

x

0

1其

他则方差

Var(X)=( )。问题：Var(X)=1/6,为什么？随

量的标准化Var(设

Var(X)>0,

令

Y

则有

E(Y)=0,

Var(Y)=1.称Y

为X

的标准化.2.3.3

切

不等式设随 量X的方差存在(这时均值也存在),则对任意正数ε，有下面不等式成立

2P{|

X

E(

X

)

|

}

Var(

X

)

2P{|

X

E(

X

)

|

}

1

Var(

X

)例2.3.2

xn

e

x0设X~

p(x)

n!x

0x

0

n证明P(0

X

2(n

1))n

1证明:E(X)

=02E(X

)

=0所以,

Var(X)

=

E(X2)(EX)2

=

n+1,P(0

X

2(n

1))

P(

|

X

EX

|

n

1)(n

1)2

1

n

1

nn

1(这里,

=

n+1)n!dx

1

(n

2)

=n+1n!dx

1

(n

3)

=(n+1)(n+2)由此得定理

2.3.2Var(X)=0P(X=a)=1§2.4

常用离散分布2.4.1

二项分布

记为

X

~

b(n,

p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,n

k

,

k

0,1,...,

n.P(X

k)

pk

(1

p)nk当n=1时，称b(1,p)为0-1分布.Y

~

b(4,

0.2)一批产品的 为0.8,

有放回地抽取4次,每次一件,

则取得合格品件数

X

服从二项分布.试验次数为n=4,“成功”即取得合格品的概率为p=0.8,所以,

X

~

b(4,

0.8)思考：若Y

为不合格品件数，Y

？例2.4.1设X

~

b(2,p)，Y

~

b(4,p)，已知P(X1)=8/9，求P(Y1).解:

由

P(X1)

=

8/9

，知

P(X=0)

=

1/9.所以

1/

9

=

P(X=0)

=(1p)2，从而解得:

p

=2/3.由此得：P(Y1)=1

P(Y=0)=1-

(1p)4

=

80/81.若随 量

X

的概率分布为

kP(

X

k)

e

,k

0,

1,

2,k

!则称X

服从参数为

的泊松分布,记为X

~

P().2.4.2

泊松分布泊松定理k

!

kepk

(1

p

)nk

n

n

n

k

定理2.4.1

(二项分布的泊松近似)在n重伯努里试验中，记pn为一次试验中成功的概率.若npn

，则记为X

~

h(n,N,M).

N

n

M

N

M

k

n

k

P(

X

k

)

,超几何分布对应于不返回抽样模型：N

个产品中有M

个不合格品，从中抽取n个，不合格品的个数为X.2.4.3

超几何分布k

1,

2,P(

X

k)

(1

p)k

1

p,记为X

~

Ge(p)X

为独立重复的伯努里试验中，

“首次成功”时的试验次数.几何分布具有无

性，即：P(

X

>

m+n

|

X>

m

)

=

P(

X

>

n

)2.4.4

几何分布负二项分布(分布)k

r,

r

1,P(

X

k)

k

1(1

p)k

r

pr,

r1

记为X

~

Nb(r,p).X

为独立重复的伯努里试验中，“第r

次成功”时的试验次数.(1)

二项随量是独立0-1

随量之和.(2)

负二项随量是独立几何随量之和.常用离散分布的数学期望0-1

分布的数学期望

=

p二项分布

b(n,

p)的数学期望

=

np几何分布Ge(p)

的数学期望

=

1/p泊松分布

P()

的数学期望

=

常用离散分布的方差0-1

分布的方差

=

p(1p)二项分布b(n,p)的方差=np(1p)几何分布Ge(p)的方差=(1p)/p2泊松分布P()的方差=§2.5常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、

分布。记为X

~

N(,2),12

2p(x)

(x)2

exp

,

x

2其中

>0，

是任意实数.

是位置参数.

是尺度参数.2.5.1

正态分布yxOμ正态分布的性质p(x)x0

μσ小σ大

p(x)关于

是对称的.

在

点p(x)取得最大值.若

固定,

改变,p(x)左右移动,形状保持不变.(3)

若

固定,

改变,

越大曲线越平坦;

越小曲线越陡峭.p(x)x02(1)

(0)

1

,xx(x)1

(

x)标准正态分布N(0,

1)密度函数记为(x),分布函数记为(x).(2)

(

x(x)的计算x

0

时,

查标准正态分布函数表.x<

0时,

用(x)

1

(

x).若

X

~

N(0,

1),

则P(X

a)

=

(a);P(X>a)

=1(a);P(a<X<b)

=

(b)(a);若a

0,

则P(|X|<a)

=

P(a<X<a)

=

(a)(a)=

(a)

[1

(a)]

=

2(a)1例2.5.1

设

X

~

N(0,

1),

求P(X>1.96)

,

P(|X|<1.96)解:

P(X>1.96) =

1

(1.96)=1(1

(1.96)) =

(1.96)=0.975

(查表得)P(|X|<1.96)

=

2

(1.96)1=2

0.9751 =0.95设

X

~

N(0,

1),

P(X

b)

=0.9515,P(X

a)

=0.04947,

求

a,

b.解:(b)=0.9515>1/2,所以

b

>0,反查表得:(1.66)

=0.9515,故

b

=1.66而(a)=0.0495<1/2,所以

a

<0,(a)=

0.9505,

反查表得:(1.65)

=

0.9505,故

a

=

1.65例2.5.2一般正态分布的标准化定理2.5.1

设

X

~

N(,

2),

Y

X

,则Y

~

N(0,1).推论:

若

X

~

N(,

2),

则

F(x)

x

若

X

~

N(,

2),

则P(X<a)

=

a

，

P(X>a)=

1

a

设X

~

N(10,4),求

P(10<X<13),P(|X10|<2).解:

P(10<X<13)

=

(1.5)(0)=

0.9332

0.5 =0.4332P(|X

10|<2)

=

P(8<X<12)=2(1)1

=

0.6826例2.5.3设

X

~

N(,

2),

P(X

5)

=0.045,P(X

3)=0.618,

求

及.例2.5.45

1.69

30.3

=

1.76

=4解:已知

X

~

N(3,

22),

且P{X>k}

=

P{X≤k},

则

k

=(

3

).课堂练

)设

X

~

N(,42),

Y

~

N(,

52),

记p1

=

P{X≤

4}，p2

=

P{Y≥

+5},

则(

①)①

对任意的

，都有p1

=p2②

对任意的

，都有p1

<p2③

只个别的

，才有p1

=p2④

对任意的

，都有p1

>p2课堂练习(2)设

X

~

N(

,

2),

则随

的增大，概率P{|

X

|<

}①单调增大③保持不变(

③

)②单调减少④增减不定课堂练习(3)正态分布的

3

原则设

X

~

N(,

2),

则P(

|

X

|

<

)

=

0.6828.P(

|

X

|

<

2

)

=

0.9545.P(

|

X

|

<

3

)

=

0.9973.记为X

~

U(a,b)1a

xbp(x)

ba

,

0,其它0,1,xaa

xbb

xF(x)

xa

,

ba2.5.2

均匀分布X

~

U(2,5).

现在对X

进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于

3

的概率.解：

记

A

={

X

>3

},

则

P(A)

=

P(

X>

3)

=

2/3设Y

表示三次独立观测中A

出现的次数,则Y~

b(3,2/3)，所求概率为P(Y≥2)

=

P(Y=2)+P(Y=3)

2

2

1

2

3

1

0

C2

3

3

3

3

3

3

C3

=20/27例2.5.52.5.3

指数分布0,

e

x

,

x0p(x)

x00,1

e

x

,

x0F

(x)

x0

记为

X

~

Exp(),

其中

>0.特别：指数分布具有无忆性，即：P(

X

>

s+t

|X

>

s)=P(

X

>

t

)2.5.4

伽玛分布记为X

~

Ga(,),

1e

x

,p(x)

xx

0()其中

>0，

>0.为伽玛函数.0x

e

dx

1

x()

称(1)

=

1,

(1/2)

=(n+1)

=

n!Ga(1,

)

=

Exp()Ga(n/2,

1/2)

=

2(n)2.5.5

分布记为X

~

Be(a,b),p(B(a,b)其中a

>0，b

>0.0称

B(a,

b

1

xa

1(1x)b

1dx为

函数.(2)(1)

B(a,

b)=B(b,

a)B(a,

b)

=(a)(b)

/(a+b)(3)Be(1,

1)

=

U(0,

1)常用连续分布的数学期望正态分布N(,2):均匀分布U(a,b):指数分布Exp():伽玛分布Ga(,):分布Be(a,b):E(X) =

E(X)

=(a+b)/2E(X)=

1/E(X)=

/E(X)

=

a/(a+b)常用连续分布的方差正态分布N(,2)的方差=2均匀分布U(a,b)的方差=(b

a)2/12指数分布Exp()的方差=1/2例2.5.6

已知随 量

X

服从二项分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,

则参数n,p

的值为多少？解：从

2.4=

np,

1.44

=

np(1p)

中解得

n=6,

p=0.4.例2.5.7

设

X表示

10

次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,

则

E(X2)的值为多少？解：因为

E(X)

=

np

=

4,

Var(X)=2.4,

所以E(X2)

=

Var(X)+(E(X))2=2.4+16=18.4设E(X)=μ，Var(X)=σ2，则对任意常数C，必有（

④）.(1)E[(

X

E[(

X

C)2

]

EE[(

X

C)2

]

E[(

X

课堂练习§2.6

随 量函数的分布问题：已知

X

的分布，求

Y

=g(X)

的分布。例如：Y1

=4X

+3；Y2

=|X|；Y3

=X2

.当

X

为离散随 量时，

Y

=

g(X)

为离散随 量.将g(xi)一一列出,再将相等的值合并即可.2.6.1

离散随量函数的分布2.6.2

连续随量函数的分布定理2.6.1

设

X

~

pX(x)，y

=

g(x)是

x

的严格单调函数，记x

=h(y)为y

=g(x)的反函数,且h(y)连续可导，则Y

=g(X)的密度函数为:XYp

(h(

y))

|h'(

y)

|,

a

y

bp

(

y)

0,

其它1例2.6.1

设X

~

pX

(x)

(1

x2

),求Y

=eX

的分布.反函数

x

=h(y)

=

lny,所以当y

>0

时,yh(

y)

1

,yY

X

Xp

(

y)

p

[h(

y)]

|

h(

y)

|

p

[ln

y]

1

y(1

ln由此得210,Y,

y

0

y(1

ln

y)p

(

y)

其它解：y

=ex

单调