《数理方程》积分变换法解析课件

§3.3积分变换法

定义：假设I是数集(实数或者复数)，K(s,x)为上的函数,这里[a,b]为任意区间。如果

f(x)在区间[a,b]有定义,且K(s,x)f(x)为[a,b]上可积函数,则含参变量积分定义了一个从f(x)到F(s)的变换,称为积分变换。K(s,x)称为变换的核。常见的积分变换有傅立叶(Fourier)变换和拉普拉斯(Laplace)变换。§3.3积分变换法定义：假设I是数集(实数1傅立叶变换

记作：其中，f(x)

在任一有限区间满足狄利克雷条件(只有有限个第一类间断点和有限个极值)，在上绝对可积。傅立叶变换记作：其中，f(x)在任一有限区间满足狄利克雷2傅立叶逆变换记作：当f(x)连续时，有傅立叶逆变换记作：当f(x)连续时，有3傅立叶变换具有如下性质:1)线性性质对于任意常数，

2)微分运算性质

傅立叶变换具有如下性质:1)线性性质对于任意常数43)对傅立叶变换求导数4)卷积性质令3)对傅立叶变换求导数4)卷积性质令5反之，5)乘积运算

傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。6)平移性质反之，5)乘积运算傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立6思考设

u=u(x,y),假如我们以y为参数,对x作傅立叶变换：两个自变量的偏微分方程带参量的常微分方程。那么利用傅立叶变换的微分性质，经过傅立叶变换将得到

经过傅立叶变换得到

二阶导数类似。思考设u=u(x,y),假如我们以y为参数,对7例用积分变换法解齐次方程：解：考虑到自变量的取值范围，对x进行傅立叶变换。设例用积分变换法解齐次方程：解：考虑到自变量的取值范围，对8方程转化为于是为了求出原方程的解,下面对关于进行傅立叶逆变换.根据傅里叶变换的微分性质，方程转化为于是为了求出原方程的解,下面对关于9《数理方程》积分变换法解析课件10例用积分变换法解非齐次方程：方程变为解：作关于的傅立叶变换：例用积分变换法解非齐次方程：方程变为解：作关于的11可解得

而则可解得而则12《数理方程》积分变换法解析课件13《数理方程》积分变换法解析课件14拉普拉斯变换傅立叶变换要求函数f在有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常数函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间t为自变量的函数在区间也无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入拉普拉斯(Laplace)变换。拉普拉斯变换的积分核为拉普拉斯变换傅立叶变换要求函数f在15在复参数p的某个区域内收敛。记作：在复参数p的某个区域内收敛。记作：16若f(t)在内的任一有限区间是分段连续的，且存在常数

使得

则在半平面Re(p)>c内，f(t)的拉普拉斯变换F(p)一定存在，且F(p)还是p的解析函数。拉普拉斯变换的存在条件：若f(t)在内的任一有限区间17基本性质(注意p的范围是复平面的一部分)：

1)基本变换:2)线性性质基本性质(注意p的范围是复平面的一部分)：1)基本变换183)微分性质若则4)积分性质3)微分性质若196)位移性质7)延迟性质5)对拉普拉斯变换求导8)卷积性质6)位移性质7)延迟性质5)对拉普拉斯变换求导8)20练习：应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程(如P38),也适用于偏微分方程。例解常微分方程的初值问题:解：对t进行拉普拉斯变换,设答案：练习：应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程(如P38)21则原方程变为进行拉普拉斯逆变换,考虑到

则原方程变为进行拉普拉斯逆变换,考虑到22有有23例：设x>0,y>0,求解定解问题解：对y进行拉普拉斯变换。则方程变为：设例：设x>0,y>0,求解定解问题解：对y24而变为

解常微分方程得取拉普拉斯逆变换，得而变为解常微分方程得取拉普拉25例：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0。求杆上温度分布规律。解：需要求解定解问题思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？例：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0。求26对t进行拉普拉斯变换，设于是方程变为这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为对t进行拉普拉斯变换，设于是方程变为这是二阶常微分方27二阶方程，但是仅有一个边界条件！考虑到具体问题的物理意义：u(x,t)表示温度，故

D=0.

再由边值条件可知，C=F(p).

二阶方程，但是仅有考虑到具体问题的物理意义：u(x,t)28为求出u(x,t),需要对U(x,p)进行拉普拉斯逆变换。由拉普拉斯变换表知，为求出u(x,t),需要对由拉普拉斯变换表知，29《数理方程》积分变换法解析课件30积分变换法求解定解问题的基本步骤：

1)选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是，拉普拉斯变换要求取值范围是2)注意定解条件的形式。假如对x进行拉普拉斯变换，而原方程是关于x的k阶方程，则定解条件中必须出现积分变换法求解定解问题的基本步骤：1)选取恰当的积分变换313)定解条件中部分条件需要进行相应的积分变换，部分条件不需要进行积分变换。对方程进行积分变换时用到的条件都不再进行相应的积分变换。4)通过积分变换，得到含参数的常微分方程定解问题,解常微分方程。5)对上面常微分方程的解取相应的积分逆变换。3)定解条件中部分条件需要进行相应的积分变换，4)通过积32拉普拉斯变换的反演公式：拉普拉斯变换的反演公式：33利用留数基本定理，可得利用留数基本定理，可得34《数理方程》积分变换法解析课件35《数理方程》积分变换法解析课件36课后作业P83习题三5.6.课后作业P83习题三37§3.3积分变换法

定义：假设I是数集(实数或者复数)，K(s,x)为上的函数,这里[a,b]为任意区间。如果

f(x)在区间[a,b]有定义,且K(s,x)f(x)为[a,b]上可积函数,则含参变量积分定义了一个从f(x)到F(s)的变换,称为积分变换。K(s,x)称为变换的核。常见的积分变换有傅立叶(Fourier)变换和拉普拉斯(Laplace)变换。§3.3积分变换法定义：假设I是数集(实数38傅立叶变换

记作：其中，f(x)

在任一有限区间满足狄利克雷条件(只有有限个第一类间断点和有限个极值)，在上绝对可积。傅立叶变换记作：其中，f(x)在任一有限区间满足狄利克雷39傅立叶逆变换记作：当f(x)连续时，有傅立叶逆变换记作：当f(x)连续时，有40傅立叶变换具有如下性质:1)线性性质对于任意常数，

2)微分运算性质

傅立叶变换具有如下性质:1)线性性质对于任意常数413)对傅立叶变换求导数4)卷积性质令3)对傅立叶变换求导数4)卷积性质令42反之，5)乘积运算

傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。6)平移性质反之，5)乘积运算傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立43思考设

u=u(x,y),假如我们以y为参数,对x作傅立叶变换：两个自变量的偏微分方程带参量的常微分方程。那么利用傅立叶变换的微分性质，经过傅立叶变换将得到

经过傅立叶变换得到

二阶导数类似。思考设u=u(x,y),假如我们以y为参数,对44例用积分变换法解齐次方程：解：考虑到自变量的取值范围，对x进行傅立叶变换。设例用积分变换法解齐次方程：解：考虑到自变量的取值范围，对45方程转化为于是为了求出原方程的解,下面对关于进行傅立叶逆变换.根据傅里叶变换的微分性质，方程转化为于是为了求出原方程的解,下面对关于46《数理方程》积分变换法解析课件47例用积分变换法解非齐次方程：方程变为解：作关于的傅立叶变换：例用积分变换法解非齐次方程：方程变为解：作关于的48可解得

而则可解得而则49《数理方程》积分变换法解析课件50《数理方程》积分变换法解析课件51拉普拉斯变换傅立叶变换要求函数f在有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常数函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间t为自变量的函数在区间也无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入拉普拉斯(Laplace)变换。拉普拉斯变换的积分核为拉普拉斯变换傅立叶变换要求函数f在52在复参数p的某个区域内收敛。记作：在复参数p的某个区域内收敛。记作：53若f(t)在内的任一有限区间是分段连续的，且存在常数

使得

则在半平面Re(p)>c内，f(t)的拉普拉斯变换F(p)一定存在，且F(p)还是p的解析函数。拉普拉斯变换的存在条件：若f(t)在内的任一有限区间54基本性质(注意p的范围是复平面的一部分)：

1)基本变换:2)线性性质基本性质(注意p的范围是复平面的一部分)：1)基本变换553)微分性质若则4)积分性质3)微分性质若566)位移性质7)延迟性质5)对拉普拉斯变换求导8)卷积性质6)位移性质7)延迟性质5)对拉普拉斯变换求导8)57练习：应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程(如P38),也适用于偏微分方程。例解常微分方程的初值问题:解：对t进行拉普拉斯变换,设答案：练习：应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程(如P38)58则原方程变为进行拉普拉斯逆变换,考虑到

则原方程变为进行拉普拉斯逆变换,考虑到59有有60例：设x>0,y>0,求解定解问题解：对y进行拉普拉斯变换。则方程变为：设例：设x>0,y>0,求解定解问题解：对y61而变为

解常微分方程得取拉普拉斯逆变换，得而变为解常微分方程得取拉普拉62例：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0。求杆上温度分布规律。解：需要求解定解问题思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？例：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0。求63对t进行拉普拉斯变换，设于是方程变为这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为对t进行拉普拉斯变换，设于是方程变为这是二阶常微分方64二阶方程，但是仅有一个边界条件！考虑到具体问题的物理意义：u(x,t)表示温度，故

D=0.

再由边值条件