中考数学复习-圆专题复习-教案

-.z.中考数学专题复习六几何〔圆〕【教学笔记】与圆有关的计算问题〔重点〕扇形面积的计算扇形：扇形面积公式：圆心角：扇形对应的圆的半径：扇形弧长：扇形面积圆锥侧面展开图：〔1〕=〔2〕圆锥的体积：弧长的计算：弧长公式；角度的计算圆的根本性质〔重点〕切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半；推论：〔1〕在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；〔2〕相等的圆周角所对的弧也相等。〔3〕半圆〔直径〕所对的圆周角是直角。〔4〕90°的圆周角所对的弦是直径。注意：在圆中，同一条弦所对的圆周角有无数个。垂径定理定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论：〔1〕平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧〔2〕弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧

〔3〕平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧

〔4〕在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等圆与函数图象的综合

与圆有关的计算问题【例1】〔2016•资阳〕在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，假设点D为AB的中点，则阴影局部的面积是〔〕A．2﹣πB．4﹣πC．2﹣πD．π【解答】解：∵D为AB的中点，∴BC=BD=AB，∴∠A=30°，∠B=60°．∵AC=2，∴BC=AC•tan30°=2•=2，∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD=×2×2﹣=2﹣π．应选A．【例2】〔2014•资阳〕如图，扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影局部面积是〔〕A．﹣2B． ﹣2C．﹣D．﹣解答：连接OC，∵∠AOB=120°，C为弧AB中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC=BC=OA=2，∴△AOC的边AC上的高是=，△BOC边BC上的高为，∴阴影局部的面积是﹣×2×+﹣×2×=π﹣2，应选A．【例3】〔2013•资阳〕钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是〔〕A．πB．πC．πD．π解答：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是：=π．应选：A．【例4】〔2015成都〕如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和BC弧线的长分别为〔〕A．2，B．，C．，D．，【课后练习】〔2015南充〕如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B的切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠ACB的大小是〔B〕A．40°B．60°C．70°D．80°〔2015达州〕如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影局部的面积是〔B〕A．12πB．24πC．6πD．36π〔2015内江〕如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为〔〕A．40°B．35°C．30°D．45°解析：连接BD，∵∠DAB=180°-∠C=50°，AB是直径，∴∠ADB=90°，∠ABD=90°-∠DAB=40°，∵PD是切线，∴∠ADP=∠B=40°．应选A．〔2015自贡〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝，则阴影局部的面积为A．2πB．πC．D．解析：∠BOD＝60°〔2015凉山州〕如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为〔〕A．80°B．100°C．110°D．130°〔2015凉山州〕将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径〔〕A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm〔2015泸州〕如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，假设∠C=65°，则∠P的度数为〔〕A．65°B．130°C．50°D．100°〔2015眉山〕如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACO=450，则∠B的度数为〔〕A．300B．350C．400D450〔2015巴中〕如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为〔〕A．25°B．50°C．60°D．30°〔2015攀枝花〕如图，⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1，则图中阴影局部的面积为〔〕A．B．C．D．〔2015甘孜州〕如图，扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影局部的面积是〔〕A．π﹣2B．π﹣4C．4π﹣2D．4π﹣4〔2015达州〕正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为cm．〔2015自贡〕如图，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．假设CD＝，则劣弧AD的长为．〔2015遂宁〕在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为cm．〔2015宜宾〕如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．假设⊙O的半径为2，则CF=．〔2015泸州〕用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．〔2015眉山〕⊙O的内接正六边形周长为12cm，则这个圆的半经是_________cm．〔2015广安〕如图，A．B．C三点在⊙O上，且∠AOB=70°，则∠C=度．24．〔2015巴中〕圆心角为60°，半径为4cm的扇形的弧长为cm．〔2015甘孜州〕如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．圆的根本性质【例1】〔2016•资阳〕如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．〔1〕求证：∠A=∠BDC；〔2〕假设CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．【解答】解：〔1〕如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；〔2〕∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，又∵∠A=∠BDC，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN==．【例2】〔2015•资阳〕如图11，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE.〔1〕求证：DE是⊙O的切线；〔2〕连接AE，假设∠C=45°，求sin∠CAE的值.解答：解：〔1〕连接OD，BD，∴OD=OB∴∠ODB=∠OBD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠CDB=90°．∵E为BC的中点，∴DE=BE，∴∠EDB=∠EBD，∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，即∠EDO=∠EBO．∵BC是以AB为直径的⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO=90°，∴∠ODE=90°，∴DE是⊙O的切线；作EF⊥CD于F，设EF=*∵∠C=45°，∴△CEF、△ABC都是等腰直角三角形，∴CF=EF=*，∴BE=CE=*，∴AB=BC=2*，在RT△ABE中，AE==*，∴sin∠CAE==．【例3】〔2014•资阳〕如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．〔1〕求证：△CDE∽△CAD；〔2〕假设AB=2，AC=2，求AE的长．解答： 〔1〕证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∵AC为⊙O的切线，∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°，∴∠B=∠CAD，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，而∠ODB=∠CDE，∴∠B=∠CDE，∴∠CAD=∠CDE，而∠ECD=∠DCA，∴△CDE∽△CAD；〔2〕解：∵AB=2，∴OA=1，在Rt△AOC中，AC=2，∴OC==3，∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2，∵△CDE∽△CAD，∴=，即=，∴CE=．【例4】〔2013•资阳〕在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．〔1〕如图1，假设点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；〔2〕如图2，假设点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．解答：〔1〕如图，过点O作OE⊥AC于E，则AE=AC=×2=1，∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE=r，在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，即r2=12+〔r〕2，解得r=；〔2〕连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=25°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣25°=65°，根据翻折的性质，所对的圆周角等于所对的圆周角，∴∠DCA=∠B﹣∠A=65°﹣25°=40°．【课后练习】〔2015达州〕如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，以下结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③，④OD：OC=DE：EC，⑤，正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个解析：如图，连接OE，

∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC。

∴CD=DE+EC=AD+BC。结论②正确。

在Rt△ADO和Rt△EDO中，OD=OD，DA=DE，∴Rt△ADO≌Rt△EDO〔HL〕

∴∠AOD=∠EOD。同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC。又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，

∴2〔∠DOE+∠EOC〕=180°，即∠DOC=90°。结论⑤正确。

∴∠DOC=∠DEO=90°。又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC。∴，即OD2=DC•DE。结论①正确。

而，结论④错误。由OD不一定等于OC，结论③错误。∴正确的选项有①②⑤。应选A。〔2015遂宁〕如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=〔〕A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm【解析】连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，应选B．〔2015广元〕如图，⊙O的直径AB⊥CD于点E．则以下结论一定错误的选项是〔〕A．CE=DEB．AE=OEC．D．△OCE≌△ODE〔2015广元〕如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出以下结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是_②③④_〔只需填写序号〕．〔2015成都〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF=BC．⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交于点H，连接BD、FH．〔1〕求证：△ABC≌△EBF；〔2〕试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；〔3〕假设AB=1，求HG•HB的值．〔2015遂宁〕如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．〔1〕求证：∠ADC=∠ABD；〔2〕求证：AD2=AM•AB；〔3〕假设AM=，sin∠ABD=，求线段BN的长．解答：〔1〕证明：连接OD，

∵直线CD切⊙O于点D，∴∠CDO=90°，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，

∵OB=OD，

∴∠3=∠4，∴∠ADC=∠ABD；

〔2〕证明：∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB=90°，∵∠1=∠4，∴△ADM∽△ABD，

∴，

∴AD2=AMAB；〔3〕解：∵sin∠ABD=，

∴sin∠1=，

∵AM=，

∴AD=6，

∴AB=10，

∴BD==8，

∵BN⊥CD，

∴∠BND=90°，

∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°，

∴∠DBN=∠1，

∴sin∠NBD=，

∴DN=，

∴BN==．

〔2015宜宾〕如图，CE是⊙O的直径，BD切⊙O于点D，DE∥BO，CE的延长线交BD于点A．〔1〕求证：直线BC是⊙O的切线；〔2〕假设AE=2，tan∠DEO=，求AO的长．〔2015泸州〕如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．〔1〕求证：四边形ABCE是平行四边形；〔2〕假设AE=6，CD=5，求OF的长．解答：〔1〕证明：∵AE与⊙O相切于点A，

∴∠EAC=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC，∵AB∥CD，

∴四边形ABCE是平行四边形；〔2〕解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M，

∵AE是⊙O的切线，

由切割线定理得，AE2=EC•DE，

∵AE=6，CD=5，∴62=CE〔CE+5〕，解得：CE=4，〔已舍去负数〕，

由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4，

又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC，

设OF=*，OH=Y，FH=z，

∵AB=4，BC=6，CD=5，

∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z，

易得△OFH∽△DMF∽△BFN，

∴，，

即，①

②，

①+②得：，

①÷②得：，

解得，

∵*2=y2+z2，

∴，

∴*=，

∴OF=．〔2015绵阳〕如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接DC，DA，OA，OC，四边形OADC为平行四边形．〔1〕求证：△BOC≌△CDA；〔2〕假设AB=2，求阴影局部的面积．【解析】

〔1〕证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴△BOC≌△CDA〔AAS〕由〔1〕得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC∴△ABC是等边三角形，∴O是△ABC的内心也是外心，∴OA=OB=OC设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC.在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30º，∴OA=OB=OC=.∵∠AOC=120º，∴.〔2015广元〕如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点．过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F．且CE=CB．〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕连接AF、BF，求∠ABF的度数；〔3〕如果CD=15，BE=10，sinA=．求⊙O的半径．解：〔1〕证明：连接OB∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°∴∠OBA+∠ABC=90°∴OB⊥BC∴BC是⊙O的切线．

〔2〕连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形，

∴∠AOF=60°∴∠ABF=∠AOF=30°

〔3〕过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=BE=5

又Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A=，

∴CE==13

∴CG==12，又CD=15，CE=13，

∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得=，∴AD=CG=，∴⊙O的半径为2AD=．〔2015广安〕如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设，且OC=4，求PA的长和tanD的值．解：〔1〕证明：连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，

∴AC=BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

∵PA＝PBPO＝POOA＝OB，∴△PAO≌△PBO〔SSS〕

∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，

∵2+OC2=213，

∴AE=2OA=413，OB=OA=213，在Rt△APO中，

∵AC⊥OP，

∴AC2=OC•PC，

解得：PC=9，

∴OP=PC+OC=13，

在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=OP2-OA2=313，

∴PB=PA=∵PB为⊙O的切线，B为切点，

∴∠PBO=90°，

∴∠PAO=90°，

即PA⊥OA，

∴PA是⊙O的切线；

〔2〕连接BE，∵OCAC=23，且OC=4，∴AC=6，

∴AB=12，

在Rt△ACO中，

由勾股定理得：AO=AC13，∵AC=BC，OA=OE，

∴OC=12BE，OC∥BE，∴BE=2OC=8，BE∥OP，

∴△DBE∽△DPO，

∴BDPD＝BEOP，

即BD313+BD＝813，

解得：BD=24135，在Rt△OBD中，

tanD=OBBD=21324135=512．〔2015巴中〕如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，假设∠AEC=∠ODC．〔1〕求证：直线CD为⊙O的切线；〔2〕假设AB=5，BC=4，求线段CD的长．解：〔1〕证明：连接OC，

∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，∴∠CBA=∠ODC，

又∵∠CFD=∠BFO，∴∠DCB=∠BOF，

∵CO=BO，∴∠OCF=∠B，

∵∠B+∠BOF=90°，∴∠OCF+∠DCB=90°，∴直线CD为⊙O的切线；〔2〕解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCO=∠ACB，

又∵∠D=∠B，∴△OCD∽△ACB，

∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，∴AC=3，∴=，即=，解得；DC=．

圆与函数图象的综合【例1】〔2015•资阳〕如图4，AD、BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设∠APB=y〔单位：度〕，则y与点P运动的时间*〔单位：秒〕的关系图是〔〕解答：〔1〕当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；〔2〕当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；〔3〕当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，∴y由45°逐渐增加到90°．应选：B．【例2】(2013年四川巴中)如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为(4,0)，B点坐标为(－1,0)，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P交y轴的正半轴于点C.(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数解析式；(2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．解：〔1〕∵A〔4，0〕，B〔－1，0〕，

∴AB=5，半径是PC=PB=PA=

。∴OP=

。

在△CPO中，由勾股定理得：

。∴C〔0，2〕。

设经过A、B、C三点抛物线解析式是

，

把C〔0，2〕代入得：

，∴

。∴

。

∴经过A、B、C三点抛物线解析式是

，

〔2〕∵

，∴M

。

设直线MC对应函数表达式是y=k*+b，

把C〔0，2〕，M

代入得：

，解得

。

∴直线MC对应函数表达式是

。

〔3〕MC与⊙P的位置关系是相切。证明如下：设直线MC交*轴于D，

当y=0时，

，∴

，OD=

。∴D〔

，0〕。

在△COD中，由勾股定理得：

，

又

，

，∴CD

2

+PC

2

=PD2

。∴∠PCD=90

0

，即PC⊥DC。

∵PC为半径，∴MC与⊙P的位置关系是相切。【课后作业】一、选择题(每题3分，共24分)1.如图，A，B，C在⊙O上，以下选项中与∠AOB相等的是〔〕A．2∠CB．4∠B C．4∠AD．∠B＋∠C2.如图，AB是△ABC外接圆的直径，∠A＝35°，则∠B的度数是〔〕A．35°B．45°C．55°D．65°3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，以下结论不成立的是〔〕A．CM＝DMB．CB＝DBC．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD4．如图，⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是〔〕A．6B．5 C．4D．3第1题图第2题图第3题图第4题图5.⊙的半径为6，圆心到直线的距离为8，则直线与⊙的位置关系是()A．相交B．相切C．相离 D．无法确定6.圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为〔〕A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm7．如A．2.5B．1.6 C．1.5D．18.如图，直线与*轴、y分别相交与A、B两点，圆心P的坐标为〔1，0〕，圆P与y轴相切与点O.假设将圆P沿*轴向左移动，当圆P与该直线相交时，横坐标为整数的点P′的个数是〔〕A．2B．3C．4D.5第7题图第8题图二、填空题：(每题3分，共24分)9.如图，为的直径，为的弦，，则的度数为.10.如图，在△ABC中∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为．11.如图，的一边是⊙O的直径，请你添加一个条件，使是⊙O的切线,你所添加的条件为.第9题图第10题图第11题图12.如果圆锥的底面周长是20π，侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则圆锥的母线长是．13.如果一个扇形的弧长等于它的半径，则此扇形称为"等边扇形〞.则半径为2的"等边扇形〞的面积为.14.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，假设AB＝10,CD＝8，则圆心O到弦CD的距离为.15.如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的半径都是a，顺次连接三个圆心得到△ABC,则图中阴影局部的面积之和是.16.如图，直