点线面之间的位置关系

第点线面之间的位置关系

篇一：空间点线面之间位置关系知识点

高中空间点线面之间位置关系知识点总结

第一章空间几何体

（一）空间几何体的结构特征

（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线

称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征

1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这

些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图

1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系xoy中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图面积=原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积

①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

②圆柱的表面积S=2πrl+2πr2③圆锥的表面积Srlr2

④圆台的表面积S

rlr2RlR2⑤球的表面积S4R2

⑥扇形的面积公式S扇形nR236012

lr（其中l表示弧长，r表示半径）2、空间几何体的体积

①柱体的体积VSh②锥体的体积V1

底3

S底h

③台体的体积

V1

S上

S下)h④球体的体积

V43

3

R3

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

DC

2.1.1

1平面含义：平面是无限延展的

AB2平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为

A∈L

B∈αA∈α

LB∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

AB符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面α，·C·

·使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2

作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

=a∥c

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：

①a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作2，)；

a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

α

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。简记为：线线平行，则线面平行。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；符号表示：

aαb)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。bβ∥

α

2.3.2平面与平面垂直的判定a∥

b

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。A梭β

符号表示：aβbβ2α-l-β或α-AB-βa∩β

∥α

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。a∥α

b∥α2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

2、判断两平面平行的方法有三种：1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。（1）用定义；2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质本章知识结构框图1

、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥αaβ∥b

α∩β作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：

α∥βα∩γ∥b

β∩γ=b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

一、公式：

1.若直线的倾斜角为(90)，则直线的斜率k=tan。2.过点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线的斜率为：

y2y1

x2x1

3.若不平行于y轴的两直线l1//l2，则k1k2；若两直线l1l2，则k1k2；4.直线的点斜式方程：yy0k(xx0)5.直线的斜截式方程：ykxb

6.直线的两点式方程：yy1xx1

yy

21x2x1

7.直线的截距式方程：xay

b

1

8.直线的一般式方程：AxByC0，此时，斜率为AB，截距为C

B

.9.对于两直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20（1）若A1B2A2B10，两直线相交；（2）若A1B2A2B10，两直线平行或重合；（3）若A1A2B1B20，若两直线垂直。

10.点(xx2y1y1,y1)和(x2,y2)的中点坐标是

（x122

2

)11.若P和

P1(x1,y1)2(x2,y2)，则：PP

1212.点(x)到直线

AxByC00,y0二、基本注意点：

1.过点(a,b)，且平行于x轴的直线方程是：yb；2.过点(a,b)，且平行于y轴的直线方程是：xa；三、典型习题：

解：①截距不为0时，设两轴上的截距都为a,则有直线方程为：xy

aa

1，

将(2,3)带入上式可得：a5，所以直线方程为：xy

55

1，

即：xy50；

②两轴上的截距都为0时，则直线过原点(0,0)，由两点式可得：

y0x300

20

，即：3x2y0综上所述：满足条件的直线方程为：xy50或3x2y0.

（注：做本题时要分截距为0和截距不为0两种情况，切不可直接将方程设为

xay

b

1，因为用该方程时，要求截距不为0。）2.已知直线l1:xmy60，l2:(m2)x3y2m0，求满足下列条件的m值：（1）l1和l2相交；（2）l1l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合；解：（1）l1和l2相交，A1B2A2B10，

即：13(m2)m0解得:m1且m3（2）l1l2，A1A2B1B20，即：1(m2)3m0解得：m1

2

（3）（4）A1B2A2B10,

即：13(m2)m0解得:m1或m3

检验：m1时，l1:xy60,l2:3x3y20,此时，两直线平行，所以，m3时，l1:x3y60,l2:x3y60,此时，两直线重合综上所示：m1时两直线平行；m3时两直线重合.

圆与方程

2、1圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.

特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2

y2

r2

.

2、2点与圆的位置关系：

1.设点到圆心的距离为d，圆半径为r：(1)点在圆上

d=r；(2)点在圆外

d＞r；(3)点在圆内

d＜r．

2.给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y20b)r2②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r22、3圆的一般方程：x2y2DxEyF0.

当D2

E2

4F0时，方程表示一个圆，其中圆心CD,E

D2E24F

2

2，半径r

2

.

当D2E24F0时，方程表示一个点

D2

,E

2.当D2E24F0时，方程无图形（称虚圆）.

注：（1）方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0且D2E24AF0.圆的直径或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

2、4直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种

（1）若d

AaBbC，dr相离0；

A2

B

2

（2）dr相切0；（3）dr相交0。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组

AxByC0

x2

y2

DxEyF0

求解，通过解的个数来判断：

（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；

即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的相切d=rΔ＝0（2）相交drΔ0；（3）相离drΔ0。2、5两圆的位置关系

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d。

（1）dr1r2外离4条公切线；（2）dr1r2外切3条公切线；（3）r1r2dr1r2相交2条公切线；（4）dr1r2内切1条公切线；（5）0dr1r2内含无公切线；

外离外切相交内切内含2、6圆的切线方程：圆x2y2r2的斜率为k的切线方程是ykxk2r过圆x2y2DxEyF0上一点P(x0,y0)的切线方程为：x0xy0yD

xx02Eyy0

2

F0.一般方程若点(x0,y0)在圆上，则(x–a)(x0–a)+(y–b)(y0–b)=R2.特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.

y若点(x

1y0k(x1x0)

0,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则by1k(ax1)，联立求出k切线方程.

R

R21

篇二：点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。3三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为

A∈L

B∈αA∈αB∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C三点不共线=有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3符号表示为：P∈α∩β=α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据

DA

B

C

L·C·

·

AB

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥b。

2公理4c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：

①a与b所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上；②两条异面直线所成的角θ∈(0，)；

=a∥c

2

③a⊥b；④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3—2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aα来表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：

aα

bβ

αa∥

b

2.2.2平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

aβbβ

a∩b=Pαa∥αb∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3—2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：

a∥α

aβbα∩β=b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ=aabβ∩γ=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

Lp

α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭

B

2α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。\

异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成的锐角（或直角）.一般通过平移后转化到三角形中求角，注意角的范围.

[例1]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM().

A.是AC和MN的公垂线.B.垂直于AC但不垂直于MN.C.垂直于MN，但不垂直于AC.D.与AC、MN都不垂直.

错解:B.

错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影.正解：A.[例2]如图，已知在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，分别是BC,CD上的点,且GC

BG

G,H交于

DH

HC

2,求证:直线EG,FH,AC相

一点.

错解：证明：E、F分别是AB,AD的中点,

1

EF∥BD,EF=2BD,

BGGC

又

DHHC

2,GH∥BD,GH=3BD,

四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,

HC

2,F分别是AD.AC与FH交于一点.

直线EG,FH,AC相交于一点

正解：证明：E、F分别是AB,AD的中点,

EF∥BD,EF=2BD,

又GC

BG

DHHC

2,

GH∥BD,GH=3BD,

四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,EG平面ABC,FH平面ACD,

T面ABC,且T面ACD,又平面ABC平面ACD=AC,TAC,直线EG,FH,AC相交于一点T.

[例3]在立方体ABCD－A1B1C1D1中，

出平面AC的斜线BD1在平面AC内的射影；线BD1和直线AC的位置关系如何？线BD1和直线AC所成的角是多少度？解：(1)连结BD,交AC于点O

（1）找（2）直（3）直

DD1平面AC,BD就是斜线BD1在平面AC上的射影.

(2)BD1和AC是异面直线.

(3)过O作BD1的平行线交DD1于点M，连结MA、MC，则∠MOA或其补角即为异面直线AC和BD1所成的角.不难得到MA＝MC，而O为AC的中点，因此MO⊥AC，即∠MOA＝90°，∴异面直线BD1与AC所成的角为90°

.

[例4]a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面().A．有且只有一个B．一个面或无数个C．可能不存在D．可能有无数个错解：A.

错因：过a与b垂直的平面条件不清.正解：C.

[例5]在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB、BC的中点，O是底面ABCD的中点．求证：EF垂直平面BB1O．

证明：如图,连接AC、BD，则O为AC和BD的交点．∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC．∵B1B⊥平面ABCD,AC平面ABCD∴AC⊥B1B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，又BO与BB1是平面BB1O上的两条相交直线，∴AC⊥平面BB1O(线面垂直判定定理)∵AC∥EF，∴EF⊥平面BB1O．

[例6]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE平面ACD1．

分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明OE平面ACD1，只要在平面ACD1内找两条相交直线与OE垂直．证明：连结B1D、A!D、BD，在△B1BD中，∵E,O分别是B1B和DB的中点，∴EO∥B1D．∵B1A1面AA1D1D，

∴DA1为DB1在面AA1D1D内的射影．又∵AD1A1D，

篇三：点线面之间的位置关系定理

一、四个公理：1；两点在平面内，直线在平面内；两点决定一条直线

2：两平面有交点，必有交线，所有交点（公共点）在交线上

3：不共线三点决定一个平面：a直线和线外一点b两条相交直线c两条平行直线决定一个平面4：两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

二、异面直线的定义：不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不同在任何一个平面内的两条直线

除定义外，还可以用下列定理：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

三、异面直线所成角的范围：0＜≤90度；过空间任一点o，做a1∥a，b∥b1，把a1