小学数学讲义暑假六年级优秀第11讲从整体考虑

第十一第十一讲从整体考虑知识站牌级秋季级秋季端考虑六年级暑假数形结合从整体考虑级春季与猜想与递推探讨整体思想在换元法、捆绑法、旋转轮换式方程、几何割补的应用漫画释义第11级上优秀A版教师版1教学目标1. 理解从整体考虑的内涵尝试着用整体考虑思想去思考问题2. 课堂引入现实生活中，我们经常会听到“整体考虑”这个词，而且也会时不时的用“整体考虑”这个词来说明问题．例如你的父母给你买衣服时，先买了一件上衣，发现你的裤子和上衣不搭配，于是又给你买了一件和上衣搭配的裤子．为什么你的父母会发现不搭配呢？原因是你父母整体考虑了你的身材．现在又有一个现实问题摆在你面前，大家可以看看我们的例题，个别题目你看完后就有解题思路，有的题目根本没有思路．不过纵观所有例题，从整体考虑我们的多数题目还得和老师一起思考才会有思路，因此为了解决这个问题我们就来认真听讲看看老师是怎么思考的吧经典精讲思想解题在解数学题时有时候从问题的局部出发将问题分解成若干个简单的子问题再各个击破、分而治之，会导致解题过程繁杂、运算量大．有很多数学问题，如果我们有意识地放大考查问题的“视角”往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．整体思想就是从问题的整体性质出发突出对问题的整体结构的分析和改造的整体结构特征，善于用“集成的眼光，把某些式子或图形看成一个整体把握它们之间的关联，目的、有意识的整体处理．其主要表现形式有整体设元、整体代换、整体补形为易的目的．一般在题目条件中数字较大、式子较复杂，而重复度高的情况下使用．整体代换：根据问题的条件和结论，选择一个或几个式子，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的．一般在某个式子里的各个分量具体值是无法求解的，而题开后是一个正方形，求这个圆柱体的表面积．整体补形：根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法．一般在几何问题，通过割补法解题时使用．例如：

BD

，求四边形ABCD2第11级上优秀A版教师版第十一知识回顾1. 你能通过移动天平上的砝码使下面的天平平衡吗【分析】左边=1020838克，右边=1016430克，左边比右边多8克．只要从左边拿4克右两边重量都是34克，天平平衡．2. 3只小花猫的重量等于1只狗的重量1只小花猫等于3只鸭的重量，1只狗重9千克，猫与1只鸭各重多少千克？【分析

3只猫等于1只狗的重量，1只狗重9千克，3只猫也就重9千克，933（千克），所以113. 多少元？【分析】方法一：甲乙乙丙+甲丙32302284(元)，即2倍的(甲乙丙)等于84元．甲乙丙84242(元)．423210(元)……丙储蓄款，423012(元)……甲储蓄款，422220(元)……乙储蓄款．方法二：(322230)224212(元)……甲储蓄款．321220(元)……乙储蓄款，302010(元)……丙储蓄款．4. 解方程：124x3x2【分析

124x3x21223x4xx2

4x7y144,12x5y240.【分析】第一个方程两边同时乘以3得12x21y432再减去第二个方程得解得第11级上优秀A版教师版3y12的解为

xy

例题思路计数方面的捆绑法：例3几何方面的整体代换：例4应用题方面的整体考虑例5例1 11 1 11 1 52 6 62

（学案对应：学案1）【分析】设1 A，

原式 1 AB A 6

AB1AAB1B1 A

(AB) 【想想练练】计算：

)(2013

1)(111 )(

1)013【分析】本题数据较多，直接计算过于复杂，观察到题中出现的相同算式，考虑整体设元．设：a 13

(1a)b(1b)aba14

例2计算：2013201322013201420132012（学案对应：学案2）【分析】设a20132013

a2(a1)a1)a2(a21)4第11级上优秀A版教师版第十一【想想练练】20122013201320122012201220132013【分析】设20122012a,20132012babbababa10000例34名男生和4名女生排成一队，要求女生必须排在一起，则共有多少种排法？（学案对应：学案3）生去排队有A5120种排法，所以共有A4A55 4 他的行程题位陪同他的数学家在电车里给苏教出了这道题：回头向甲奔去，遇到甲后又回头向乙奔去，直到甲乙两人相遇时狗才停住．这只狗共跑了多本题好像是一个分段行程问题，但如果按照这个思路尝试，却会发现计算量庞大，无法得出结果．但换个角度，狗在甲乙之间来回奔跑，狗从开始到停止跑的时间与甲乙二人相遇时间相同．由此便能求出答案：有时我们会遇到一些看起来无法解决的问题，这个时候我们就需要问问自己：是否应该换个角度思考？尝试着像上面的题从整体思考，一定能让我们的头脑在锻炼中变得越来越聪例4（学案对应：学案4）第11级上优秀A版教师版5【分析】设圆的半径为r，则有

2 1 r23.14r 4

28

，解得r28，所以圆的面积是3.14825.12（平方厘米）【想想练练】图中阴影部分的面积是25cm2，求圆环的面积．【分析】设大圆半径为R，小圆半径为r，依题有

R2 25，即R2r250．则圆环面积为：2 πR2πr2π(R2r2)50π157(cm2)．例5⑴已知

3x6y177x4y13

，求xy

⑵已知

x2y3z8x3y5z6

，求xyz

元．⑷购买1斤香蕉，2斤桔子需3元；购5斤香蕉，8斤桔子需17元，那么购买1斤香蕉、1斤桔子共需______元． 元．问买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需多少元？【分析】⑴两个方程相加得10x10y171330，即xy3

x2y3z8（1）x3y5z6（2）(1)2(1)得，

xyz82610x3x2y6.9 8x9y22.8两式相加得11x11y29.7

，即

xy2.7．所以各买1斤需要2.7元．x6第11级上优秀A版教师版第十一（2）-(1)3得2x2y1733

8，

xy4即购买1斤香蕉、1斤桔子共需4元⑸设甲、乙、丙的单价分别为x，y，z，则

3x7yz20(1)4x10yz27(2)

由(1)3(2)2得xyz3202276，即各买一件需要6元．13x5y9z9.25 2x4y3z3.2 （1）+（2）4，得21x21y21z9.253.24，

xyz

05即买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个共需1.05元．10个一人掏了9元，3927(元)，再加上服务员的2元，是29元．问：那一元去哪了？答案：问题本身就是严重的逻辑混乱，没分清整体和部分的关系．可以分为两个整体：每人1，服务员2．25111230．附加题

31415926314159271

【分析】设a31415926

aa2aa2第11级上优秀A版教师版72. 【分析】设内部的正方形边长为a，由勾股定理，可以求得内部的正方形的面积为a2523234，（或者a2(35)2352

a2 17()

17

3. 2025的百位数字为去掉后是225225=2025这样的位数称为零巧数列出所有的“零巧数”有 小于8的偶数，因此所有的零巧数是2025,4050,60754. 有一个两如果把数码加写在它的前面则可得到一个三位数如果把数码这两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．【分析】设原来的两位数是ab，则得到的两个三位数分别为ab3和3ab，四位数为3ab3，由题知ab33ab3ab33600，即10ab3300ab300310ab3600，21ab294，故5. 小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你来回答这个问题．【分析】观察所有人的工资和发现每人的工资都计算了两次，所以将全部工资和相加后除以2后得所以将会计和出纳的3200元，秘书和主管的4000元减去即得主任的月薪为：6. 商店规定4个空汽水瓶可换一瓶汽水某班28位同学春游保每人有一瓶汽水喝？x

287. 赵伯伯为锻炼身体，每天步行小时，他先走平路，然后上山最后又沿原路返回．赵伯伯在平路上每小时行千米，上山每小时行千米，下山每小时行千米每天锻炼中，他共行走多少千米？【分析】上山下山的平均速度为

48第11级上优秀A版教师版第十一知识点总结1.有很多相同部分的计算题，通过换元，达到简便计算的效果2.计数问题，排列组合里的捆绑法3.无法单独求出每个未知数，但是可以求出某几个未知数的和的方程及相关应用题4.几何面积计算中出现求不出来的半径时，通常用整体考虑家庭作业

( )( )( )( 11 1113 1113

【分析】设

,b 91113则原式=(1a)b(b)a(ba) 2. 【分析】设20132012a原式2014a2012(a2)2014a2012a201222a220122(201320122012)402600003. 4名男生和名女生排成一队要求女生必须则共有多少种排法【分析】先把女生排好共有A336种排法，再把排好的女生队伍当做一个整体，这个整体与4名男4. 长作一个正方形；再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求圆环的面积．(π取3.14)【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，但分别求出两个圆的面积显然不可能．题中已知阴影部分的面积，也就是R2r250平方厘米，那么环形的面积为：πR2πr2π(R2r2)π50157(平方厘米)．第11级上优秀A版教师版95. 有一个两位数如果把数码加写在它的前面那么可以得到一个三位数如果把的后面，那么也可以得到一个三位数而且这两个三位数相差414求原来的两位数【分析】方法一：设两位数为x，则有（10x＋1）－（100＋x）＝414，解得：x＝57．ab11 ab414分析竖式知1减b不够减，肯定要向前借1位，即：101b4，整理得：b＝7，b借1给个位十位，此时6－a＝1，整理得：a＝5，经百位计算验证，结果正确．6. 甲杯中装有浓度为的糖水溶液克，乙杯中装有浓度为的糖水溶液克．这样甲乙容器中水浓度相同则从甲中取出的糖水是多少克

24克．A版学案【学案1】计算：(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)．【分析】设a0.120.23,b0.120.230.34