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文档简介
2022年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数,,函数在上单调递增,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为点,延长交椭圆于点,若为等腰三角形,则椭圆的离心率A. B.C. D.3.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.644.已知函数且的图象恒过定点,则函数图象以点为对称中心的充要条件是()A. B.C. D.5.已知当,,时,,则以下判断正确的是A. B.C. D.与的大小关系不确定6.的展开式中,满足的的系数之和为()A. B. C. D.7.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,三角形AOB的面积为,则p=().A.1 B. C.2 D.38.设复数满足,则()A.1 B.-1 C. D.9.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合,且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,那么该双曲线的离心率为()A. B. C. D.10.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革,深入推动优化升级和融合发展,持续提高优质出口产品供给,实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况,则下列说法错误的是()A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一11.函数的图象大致是()A. B.C. D.12.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,aβ,bα,则“ab“是“αβ”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在区间内任意取一个数,则恰好为非负数的概率是________.14.曲线在点处的切线方程为______.15.抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________.16.设满足约束条件且的最小值为7,则=_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(12分)在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且.(1)求角A的大小;(2)若,的平分线与交于点D,与的外接圆交于点E(异于点A),,求的值.19.(12分)联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表:年份20102012201420162018需求量(万吨)236246257276286(1)由所给数据可知,年需求量与年份之间具有线性相关关系,我们以“年份—2014”为横坐标,“需求量”为纵坐标,请完成如下数据处理表格:年份—20140需求量—2570(2)根据回归直线方程分析,2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨,问是否能够满足该地区的粮食需求?参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.20.(12分)已知等差数列满足,.(l)求等差数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.21.(12分)已知函数,且.(1)若,求的最小值,并求此时的值;(2)若,求证:.22.(10分)已知,,动点满足直线与直线的斜率之积为,设点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若过点的直线与曲线交于,两点,过点且与直线垂直的直线与相交于点,求的最小值及此时直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据题意,对于函数分2段分析:当,由指数函数的性质分析可得①,当,由导数与函数单调性的关系可得,在上恒成立,变形可得②,再结合函数的单调性,分析可得③,联立三个式子,分析可得答案.【详解】解:根据题意,函数在上单调递增,
当,若为增函数,则①,
当,若为增函数,必有在上恒成立,
变形可得:,
又由,可得在上单调递减,则,
若在上恒成立,则有②,
若函数在上单调递增,左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值,则需有,③
联立①②③可得:.
故选:D.【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用,注意分段函数单调性的性质.2.B【解析】
设,则,,因为,所以.若,则,所以,所以,不符合题意,所以,则,所以,所以,,设,则,在中,易得,所以,解得(负值舍去),所以椭圆的离心率.故选B.3.B【解析】
根据题意,有两种分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【详解】当按照进行分配时,则有种不同的方案;当按照进行分配,则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案,故选:B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化,还考查数学建模能力以及分类讨论思想,属于中档题.4.A【解析】
由题可得出的坐标为,再利用点对称的性质,即可求出和.【详解】根据题意,,所以点的坐标为,又,所以.故选:A.【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用,属于基础题.5.C【解析】
由函数的增减性及导数的应用得:设,求得可得为增函数,又,,时,根据条件得,即可得结果.【详解】解:设,则,即为增函数,又,,,,即,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用,属中档题.6.B【解析】
,有,,三种情形,用中的系数乘以中的系数,然后相加可得.【详解】当时,的展开式中的系数为.当,时,系数为;当,时,系数为;当,时,系数为;故满足的的系数之和为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理,掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键.7.C【解析】试题分析:抛物线的准线为,双曲线的离心率为2,则,,渐近线方程为,求出交点,,,则;选C考点:1.双曲线的渐近线和离心率;2.抛物线的准线方程;8.B【解析】
利用复数的四则运算即可求解.【详解】由.故选:B【点睛】本题考查了复数的四则运算,需掌握复数的运算法则,属于基础题.9.A【解析】
由抛物线的焦点得双曲线的焦点,求出,由抛物线准线方程被曲线截得的线段长为,由焦半径公式,联立求解.【详解】解:由抛物线,可得,则,故其准线方程为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,.抛物线的准线被双曲线截得的线段长为,,又,,则双曲线的离心率为.故选:.【点睛】本题考查抛物线的性质及利用过双曲线的焦点的弦长求离心率.弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.10.C【解析】
通过图表所给数据,逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确;对于选项B:,正确;对于选项C:,故C不正确;对于选项D:,正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析,题目较为简单.11.B【解析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.【详解】设,,则的定义域为.,当,,单增,当,,单减,则.则在上单增,上单减,.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.12.D【解析】
根据面面平行的判定及性质求解即可.【详解】解:a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α与β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a与b异面,∴a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断,考查面面平行的判定与性质,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先分析非负数对应的区间长度,然后根据几何概型中的长度模型,即可求解出“恰好为非负数”的概率.【详解】当是非负数时,,区间长度是,又因为对应的区间长度是,所以“恰好为非负数”的概率是.故答案为:.【点睛】本题考查几何概型中的长度模型,难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.14.【解析】
对函数求导,得出在处的一阶导数值,即得出所求切线的斜率,再运用直线的点斜式求出切线的方程.【详解】令,,所以,又,所求切线方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程,关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率,属于基础题.15.【解析】
设抛物线上任意一点的坐标为,根据抛物线的定义求得,并求出对应的,即可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为,抛物线的准线方程为,由抛物线的定义得,解得,此时.因此,抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为:.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标,考查计算能力,属于基础题.16.3【解析】
根据约束条件画出可行域,再把目标函数转化为,对参数a分类讨论,当时显然不满足题意;当时,直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当时,的截距没有最小值,即z没有最小值;当时,的截距没有最大值,即z没有最小值,综上可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下:由,可得出交点,由可得,当时显然不满足题意;当即时,由可行域可知当直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);当即时,由可行域可知的截距没有最小值,即z没有最小值;当即时,根据可行域可知的截距没有最大值,即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为:3.【点睛】本题主要考查线性规划问题,约束条件和目标函数中都有参数,要对参数进行讨论.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),(2)【解析】
(1),所,两式相减,即可得到数列递推关系求解通项公式,由,整理得,得到,即可求解通项公式;(2)由(1)可知,,即可求得数列的前项和.【详解】(1)因为,所,两式相减,整理得,当时,,解得,所以数列是首项和公比均为的等比数列,即,因为,整理得,又因为,所以,所以,即,因为,所以数列是以首项和公差均为1的等差数列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【点睛】此题考查求数列的通项公式,以及数列求和,关键在于对题中所给关系合理变形,发现其中的关系,裂项求和作为一类常用的求和方法,需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.18.(1);(2)【解析】
(1)由,利用正弦定理转化整理为,再利用余弦定理求解.(2)根据,利用两角和的余弦得到,利用数形结合,设,在中,由正弦定理求得,在中,求得再求解.【详解】(1)因为,所以,即,即,所以.(2)∵,.所以,从而.所以,.不妨设,O为外接圆圆心则AO=1,,.在中,由正弦定理知,有.即;在中,由,,从而.所以.【点睛】本题主要考查平面向量的模的几何意义,还考查了数形结合的方法,属于中档题.19.(1)见解析;(2)能够满足.【解析】
(1)根据表中数据,结合以“年份—2014”为横坐标,“需求量”为纵坐标的要求即可完成表格;(2)根据表中及所给公式可求得线性回归方程,由线性回归方程预测2020年的粮食需求量,即可作出判断.【详解】(1)由所给数据和已知条件,对数据处理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由题意可知,变量与之间具有线性相关关系,由(1)中表格可得,,,,.由上述计算结果可知,所求回归直线方程为,利用回归直线方程,可预测2020年的粮食需求量为:(万吨),因为,故能够满足该地区的粮食需求.【点睛】本题考查了线性回归直线的求法及预测应用,属于基础题.20.(1);(2).【解析】试题分析:(1)设等差数列满的首项为,公差为,代入两等式可解。(2)由(1),代入得,所以通过裂项求和可求得。试题解析:(1)设等差数列的公差为,则由题意可得,解得.所以.(2)因为,所以.所以.21.(1)最小值为,此时;(2)见解析【解析】
(1)由已知得,法一:,,根据二次函数的最值可求得;法二:运用基本不等式构造,可得最值;法三:运用柯西不等式得:,可得最值;(2)由绝对值不等式得,,又,可得证.【详解】(1),法一:,,的最小值为,此时;法二:,,即的最小值为,此时;法三:由柯西不等式得:,,即的最小值为,此时;(2),,又,.【点睛】本题考查运用基本不等式,柯西不等式,绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值,属于中档题.22.(1)(2)的最小值为1,此时直线:【解析】
(1)用直接法求轨迹方程,即设动点为,把已知用坐标表示并整理即得.注意取值范围;(2)设:,将其与曲线的方程联立,消元并整理得,设,,则可得,,由求出,将直线方程与联立,得,求得,计算,设.显然,构造,由导数的知识求得其最小值,同时可得直
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