2021年河南省中考数学总复习：第六章《圆》第1节圆的基本性质课件

2021年河南省中考数学总复习第六章《圆》第1节圆的基本性质2021年河南省中考数学总复习第六章《圆》第1节圆的基本性质1玩转陕西10年中考真题玩转河南10年中招真题、备用卷圆内接四边形(仅2016年考查)(2016河南18题9分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MD＝ME；命题点玩转陕西10年中考真题玩转河南10年中招真题、备用卷圆内接四(1)证明：如解图①，连接ED，在Rt△ABC中，点M是AC的中点，∴MA＝MB，∠A＝∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE＋∠ABE＝180°.又∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA，同理可证：∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME；解图①(1)证明：如解图①，连接ED，在Rt△ABC中，点M是AC(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝

；②连接OD，OE，当∠A的度数为

时，四边形ODME是菱形.260°①【解法提示】由(1)可得DE∥AB，∴△DME∽△AMB，∴，当AD＝2DM时，＝，∴＝，∴DE＝2.(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝；2②【解法提示】如解图②，连接OD，OE，当四边形ODME是菱形时，OD＝ME，OD∥EM，OE∥AM，∵AO＝OB，∴OD＝ME＝BE，∴OB＝OE＝BE，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，∵OE∥AM，∴∠A＝∠BOE＝60°.解图②②【解法提示】如解图②，连接OD，OE，当四边形ODME是【对接教材】人教：九上P78－P91；北师：九下P64－P88；华师：九下P35－P46.

考点特训营【对接教材】人教：九上P78－P91；北师：九下P64－圆的基本性质与圆有关的概念及性质概念性质弧、弦、圆心角的关系定理推论圆周角定理及其推论定理推论圆周角定理的常见图形垂径定理及其推论定理推论三角形的外接圆定义圆心O性质圆内接四边形及其性质定义性质圆的基本性质与圆有关的概念及性质概念性质弧、弦、圆心角的关系与圆有关的概念及性质考点精讲

概念(如图①)圆心角：顶点在圆心的角,如∠BOC,∠AOC圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,如∠BAC弦：连接圆上任意两点的线段,如AC,经过圆心的弦叫做_____,如AB圆弧：圆上任意两点间的部分,大于半圆的弧叫做_____，如,小于半圆的弧叫做_____，如直径优弧劣弧返回思维导图与圆有关的考点精讲概念圆心角：顶点在圆心的角,如∠BOC与圆有关的概念及性质性质中心对称圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是________图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，______是它的对称中心圆具有旋转不变性：即围绕着它的圆心任意旋转一个角度都能与原来的圆重合圆心一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半圆周角定理及其推论（如图②）定理：___________________________________，即∠BAC=∠BOC推论1.____________________________，即∠BAC=∠BDC2.半圆(或直径)所对的圆周角是_____________，90°的圆周角所对的弦是直径同弧或等弧所对的圆周角相等直角(或90°)返回思维导图与圆有关的性质中心对称圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是__圆周角定理及其推论（如图②）圆周角定理的常见图形【满分技法】①一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；②一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角图形结论∠APB=∠AOB返回思维导图圆周角定理圆周角定理的常见图形【满分技法】①一条弦对着两条弧、弦、圆心角的关系定理：__________________________________________，所对的弦也相等在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_______，所对的弦相等2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等3.弧的度数等于它所对圆心角的度数【满分技法】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等,简记为知一推二推论相等返回思维导图弧、弦、圆心定理：_____________________垂径定理及其推论(如图③)定理：垂直于弦的直径_____弦，并且平分弦所对的两条弧1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧3.平分弦所对的一条弧的直径____于弦，并且平分弦所对的另一条弧4.圆的两条平行弦所夹的弧相等推论平分【满分技法】根据圆的对称性，如图③，在以下五个结论中：1.＝；2.=____；3.AE=BE；4.AB⊥____；5.CD是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三垂直CD返回思维导图垂径定理定理：垂直于弦的直径_____弦，并且平分弦所对的两

三角形的外接圆（如图④）定义：经过三角形的三个顶点形成的圆圆心O：外心（三角形三条边的__________的交点）性质：三角形的外心到三角形的_________的距离相等垂直平分线三个顶点圆内接四边形及其性质(如图⑤)定义：四边形的四个______都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形性质1.圆内接四边形的对角____,即∠B+∠D=180°，∠A+∠BCD＝180°2.圆内接四边形的任意一个_____等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)，即∠DCE=∠A顶点互补外角返回思维导图三角形的定义：经过三角形的三个顶点形成的圆垂直平分线三个顶重难点突破例如图，△ABC

内接于⊙O，且

AB

＝

AC，延长

BC

至点

D，使

CD

＝

CA，连接

AD交⊙O

于点

E.连接BE、CE.(1)若∠D＝40°，求∠EBC的度数；【思维教练】要求∠EBC的大小，结合已知条件CD＝CA，得到∠EAC＝∠D，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠EBC＝∠EAC即可求解.【自主作答】例题图(1)解：∵AC＝CD，∴∠EAC＝∠D＝40°，∴∠EBC＝∠EAC＝40°.重难点突破例如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC(2)若∠BAC＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长；【思维教练】根据题意连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，根据圆周角定理得△AFC为直角三角形，再根据锐角三角函数即可求得AC的长.【自主作答】(2)解：如解图①，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴∠ABC＝60°，∵∠AFC和∠ABC是弦AC所对的圆周角，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∵CF是⊙O的直径，∴∠FAC＝90°，CF＝4，∴AC＝CF·sin∠AFC＝2.例题解图①(2)若∠BAC＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长；(2)(3)求证：△ABE≌△CDE；【思维教练】要证明△ABE≌△CDE，结合已知条件AB＝AC，CD＝CA，得到AB＝CD，再根据圆内接四边形性质，以及圆周角定理可得出∠CED＝∠AEB，∠ECD＝∠BAE，即可求证.【自主作答】(3)求证：△ABE≌△CDE；∴∠CED＝∠ACB，∵∠ACB＝∠AEB，∴∠CED＝∠AEB，∴△ABE≌△CDE(AAS)；证明：∵AB＝AC，CD＝CA，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD.∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，∴∠CED＝∠ABC，∠ECD＝∠EAB，∴∠CED＝∠ACB，证明：∵AB＝AC，CD＝CA，(4)填空：①当∠ABC＝

时，四边形AOCE是菱形；②若AE＝，AB＝2，则DE的长为

.【思维教练】①四边形AOCE为菱形时，根据菱形的性质得出△AOE和△OCE是等边三角形，再根据圆周角定理得到∠ABC的度数；②由(3)的结论可得出△ABE≌△CDE，得到AE＝CE，AB＝CD，再由∠DCE＝∠DAB，∠D为公共角可得△DCE∽△DAB，根据相似三角形对应边成比例即可求得DE的长.【自主作答】60°(4)填空：60°【解法提示】①如解图②，连接AO、OC、OE，假设四边形AOCE是菱形，可得：OA＝AE＝EC＝OC，∵OA＝OE＝OC，∴△AOE和△COE是等边三角形，∴∠AOE＝∠COE＝60°，∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝120°，由圆周角定理可得，∠ABC＝∠AOC＝60°；②∵△ABE≌△CDE，∴AE＝CE＝，AB＝CD＝2，∵∠DCE＝∠DAB，∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAB，∴，即

＝，解得DE＝.例题解图②【解法提示】①如解图②，连接AO、OC、OE，假设四边形AO谢谢！谢谢！202021年河南省中考数学总复习第六章《圆》第1节圆的基本性质2021年河南省中考数学总复习第六章《圆》第1节圆的基本性质21玩转陕西10年中考真题玩转河南10年中招真题、备用卷圆内接四边形(仅2016年考查)(2016河南18题9分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E.(1)求证：MD＝ME；命题点玩转陕西10年中考真题玩转河南10年中招真题、备用卷圆内接四(1)证明：如解图①，连接ED，在Rt△ABC中，点M是AC的中点，∴MA＝MB，∠A＝∠MBA.∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE＋∠ABE＝180°.又∵∠ADE＋∠MDE＝180°，∴∠MDE＝∠MBA，同理可证：∠MED＝∠A，∴∠MDE＝∠MED，∴MD＝ME；解图①(1)证明：如解图①，连接ED，在Rt△ABC中，点M是AC(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝

；②连接OD，OE，当∠A的度数为

时，四边形ODME是菱形.260°①【解法提示】由(1)可得DE∥AB，∴△DME∽△AMB，∴，当AD＝2DM时，＝，∴＝，∴DE＝2.(2)填空：①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝；2②【解法提示】如解图②，连接OD，OE，当四边形ODME是菱形时，OD＝ME，OD∥EM，OE∥AM，∵AO＝OB，∴OD＝ME＝BE，∴OB＝OE＝BE，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，∵OE∥AM，∴∠A＝∠BOE＝60°.解图②②【解法提示】如解图②，连接OD，OE，当四边形ODME是【对接教材】人教：九上P78－P91；北师：九下P64－P88；华师：九下P35－P46.

考点特训营【对接教材】人教：九上P78－P91；北师：九下P64－圆的基本性质与圆有关的概念及性质概念性质弧、弦、圆心角的关系定理推论圆周角定理及其推论定理推论圆周角定理的常见图形垂径定理及其推论定理推论三角形的外接圆定义圆心O性质圆内接四边形及其性质定义性质圆的基本性质与圆有关的概念及性质概念性质弧、弦、圆心角的关系与圆有关的概念及性质考点精讲

概念(如图①)圆心角：顶点在圆心的角,如∠BOC,∠AOC圆周角：顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,如∠BAC弦：连接圆上任意两点的线段,如AC,经过圆心的弦叫做_____,如AB圆弧：圆上任意两点间的部分,大于半圆的弧叫做_____，如,小于半圆的弧叫做_____，如直径优弧劣弧返回思维导图与圆有关的考点精讲概念圆心角：顶点在圆心的角,如∠BOC与圆有关的概念及性质性质中心对称圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是________图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，______是它的对称中心圆具有旋转不变性：即围绕着它的圆心任意旋转一个角度都能与原来的圆重合圆心一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半圆周角定理及其推论（如图②）定理：___________________________________，即∠BAC=∠BOC推论1.____________________________，即∠BAC=∠BDC2.半圆(或直径)所对的圆周角是_____________，90°的圆周角所对的弦是直径同弧或等弧所对的圆周角相等直角(或90°)返回思维导图与圆有关的性质中心对称圆的对称性：圆既是轴对称图形，又是__圆周角定理及其推论（如图②）圆周角定理的常见图形【满分技法】①一条弦对着两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；②一条弧只对着一个圆心角，但却对着无数个圆周角图形结论∠APB=∠AOB返回思维导图圆周角定理圆周角定理的常见图形【满分技法】①一条弦对着两条弧、弦、圆心角的关系定理：__________________________________________，所对的弦也相等在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_______，所对的弦相等2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等3.弧的度数等于它所对圆心角的度数【满分技法】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等,简记为知一推二推论相等返回思维导图弧、弦、圆心定理：_____________________垂径定理及其推论(如图③)定理：垂直于弦的直径_____弦，并且平分弦所对的两条弧1.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧2.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧3.平分弦所对的一条弧的直径____于弦，并且平分弦所对的另一条弧4.圆的两条平行弦所夹的弧相等推论平分【满分技法】根据圆的对称性，如图③，在以下五个结论中：1.＝；2.=____；3.AE=BE；4.AB⊥____；5.CD是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三垂直CD返回思维导图垂径定理定理：垂直于弦的直径_____弦，并且平分弦所对的两

三角形的外接圆（如图④）定义：经过三角形的三个顶点形成的圆圆心O：外心（三角形三条边的__________的交点）性质：三角形的外心到三角形的_________的距离相等垂直平分线三个顶点圆内接四边形及其性质(如图⑤)定义：四边形的四个______都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形性质1.圆内接四边形的对角____,即∠B+∠D=180°，∠A+∠BCD＝180°2.圆内接四边形的任意一个_____等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)，即∠DCE=∠A顶点互补外角返回思维导图三角形的定义：经过三角形的三个顶点形成的圆垂直平分线三个顶重难点突破例如图，△ABC

内接于⊙O，且

AB

＝

AC，延长

BC

至点

D，使

CD

＝

CA，连接

AD交⊙O

于点

E.连接BE、CE.(1)若∠D＝40°，求∠EBC的度数；【思维教练】要求∠EBC的大小，结合已知条件CD＝CA，得到∠EAC＝∠D，再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠EBC＝∠EAC即可求解.【自主作答】例题图(1)解：∵AC＝CD，∴∠EAC＝∠D＝40°，∴∠EBC＝∠EAC＝40°.重难点突破例如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC(2)若∠BAC＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长；【思维教练】根据题意连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，根据圆周角定理得△AFC为直角三角形，再根据锐角三角函数即可求得AC的长.【自主作答】(2)解：如解图①，连接CO并延长交⊙O于点F，连接AF，∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴∠ABC＝60°，∵∠AFC和∠ABC是弦AC所对的圆周角，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∵CF是⊙O的直径，∴∠FAC＝90°，CF＝4，∴AC＝CF·sin∠AFC＝2.例题解图①(2)若∠BAC＝60°，⊙O的半径为2，求AC的长；(2)(3)求证：△ABE≌△CDE；【思维教练】要证明△ABE≌△CDE，结合已知条件AB＝AC，CD＝CA，得到AB＝CD，再根据圆内接四边形性质，以及圆周角定理可得出∠CED＝∠AEB