2414 圆周角 公开课获奖课件

第二十四章圆24.1.4圆周角24.1

圆的有关性质九年级数学·上新课标[人]第二十四章圆24.1.4圆周角24.1圆1〔解析〕

欲证AF=CF，只需证明∠ACF=∠CAF，其中∠CAF是

所对的圆周角.而由条件可知

，因此只需找出

所对的圆周角是否与∠ACF相等即可.而构造

所对的圆周角需要连接BC，此时恰好构造了直径所对的圆周角∠ACB,也可以延长CD交圆于点H,由垂径定理可得

，则问题得解;还可以连接OC，根据CD⊥AO，CO⊥AE得到∠DCO=∠DAE，进而得到∠FCA=∠CAF，则可得AF=CF.圆周角定理的综合应用考查角度1

利用圆周角定理证明两线段(或两弧)相等如图24-47所示，AB是☉O的直径,C是

的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC.求证AF=CF.〔解析〕欲证AF=CF，只需证明∠ACF=∠CAF，其中∠2证法1:连接BC,如图24-48所示.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°,即∠ACF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF.又∵点C是

的中点,∴

∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAE，∴AF=CF.证法1:连接BC,如图24-48所示.∵AB是☉O的直径3证法2:如图24-49所示，延长CD交☉O于点H.∵AB是直径,CD⊥AB,∴

又∵点C是

的中点,∴，∴

，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF.证法2:如图24-49所示，延长CD交☉O于点H.∵AB4证法3:连接OC，如图24-50所示.∵

，OC过圆心，∴CO⊥AE，∴∠COD+∠OAE=90°.∵CD⊥OA，∴∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠DAE.∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠FCA=∠CAF，∴AF=CF.【解题归纳】

(1)在圆中通过“连接”构造同弧或等弧所对的圆周角是常用的辅助线作法.(2)在已知条件中,若有与半径或直径垂直的线段,常延长此线段与圆相交,这样可利用垂径定理得线段相等或弧相等.证法3:连接OC，如图24-50所示.∵5证明:(1)

∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得

，∴BD=CD.1.如图所示，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.(1)求证BD=CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上，并说明理由.证明:(1)∵AD为直径，AD⊥BC，1.如图所示，AD为6解:(2)

B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由如下:如图67所示，由(1)知

，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∵∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE.由(1)知BD=CD，∴DB=DE=DC.∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.解:(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.7考查角度2

圆周角与平面直角

坐标系的综合应用例2如图24-51所示,已知CO,CB是☉O'的弦，☉O‘与平面直角坐标系的x轴、y轴分别相交于点B,O和A，O，若∠COB=45°，∠OBC=75°,点A的坐标为(0，2)，求☉O'的直径.〔解析〕

连接AB,由平面直角坐标系的性质可知∠AOB=90°,所以AB是圆的直径,利用三角形的内角和定理易求得∠C=60°,再根据圆周角定理可得∠OAB=∠OCB=60°,从而可以在Rt△AOB中求出AB的长.解:连接AB，如图24-51所示.∵∠AOB=90°，∴AB是圆的直径，∵∠BOC=45°，∠OBC=75°,∴∠OCB=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°,∵A点坐标为(0，2)，∴AO=2.在Rt△AOB中，AB=2OA=4，∴☉O'的直径AB的长度为4.【解题归纳】

本题考查了三角形的内角和定理和圆周角定理的运用,解题的关键是添加辅助线构造直角三角形,并且利用圆周角定理确定AB是圆的直径.考查角度2圆周角与平面直角例2如图24-51所示,已知8[提示:如图68所示,连接BC，∵B(8，0),C(0,6)，∴OB=8，OC=6.∵∠BOC=90°，∴=10，且BC为直径，则☉A的半径为5.]2.(自贡中考)如图所示，在平面直角坐标系中，☉A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C两点，已知B(8，0)，C(0，6)，则☉A

的半径为 (

)A.3

B.4

C.5

D.8C[提示:如图68所示,连接BC，2.(自贡中考)如图所示，在9圆内接四边形与垂径定理的综合应用例3如图24-52所示，四边形ABCD的四个顶点都在☉O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求证2OF=CD.〔解析〕作直径AG,再连接BG,利用三角形中位线定理可得2OF=BG,只需证明BG=CD.证明:如图24-52所示，过A点作直径AG，连接BG，CG.∵AG为☉O的直径，∴∠ACG=90°，∴CG⊥AC.∵BD⊥AC，∴BD∥CG，∴∠DBC=∠BCG，∴

，∴DC=BG.∵OF⊥AB，∴AF=BF.又∵AO=OG，∴OF是△ABG的一条中位线，∴2OF=BG.∴2OF=CD.【解题归纳】

在圆中遇到中点,且要证一条线段的长度是另一条线段长度的2倍时,常作的辅助线是三角形的中位线.圆内接四边形与垂径定理的综合应用例3如图24-52所示，10证明:(1)

∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴

，∴BD=DC.∵BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠CBI.∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC，∴∠BAD=∠DBC.又∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=ID.∴BD=DC=DI.

3.如图所示，点A，B，C都在☉O上，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC.(1)求证BD=DC=DI；(2)若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积.证明:(1)∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，11又由圆的对称性可知∠OBD=∠CBD=30°.延长CO交BD于E，则CE⊥BD.由题意知OB=10cm，又∠OBE=30°，∴在Rt△OBE中，OE=OB=×10=5(cm)，∴BE=(cm)，∴BD=2BE=10cm.又CE=CO+OE=10+5=15(cm)，∴S△BDC=×BD×CE=×10×15=75(cm2).解:(2)

当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，∴圆心O在△ABC外，连接OB,OD,OC，则∠DOC=∠BOD=∠BOC=120°，∴∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°，∴△BDC为正三角形.又由圆的对称性可知∠OBD=∠CBD=30°.延长C12如图24-53所示，在☉O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.(1)P是

上一点(不与C,D重合),求证∠CPD=∠COB；(2)点P‘在劣弧CD上(不与C,D重合)时，∠CP'D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.运用圆心角、圆周角的性质探究角的关系例4〔解析〕本题两个需证明的结论都是圆心角与圆周角的关系,故可考虑应用同弧(等弧)所对的圆心角、圆周角关系进行证明.如图24-53所示，在☉O中，AB是直径，CD是弦，AB13证明:(1)连接OD，如图(1)所示.∵AB是直径，AB⊥CD，∴

.∴∠COB=∠DOB=∠COD.又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB.证明:(1)连接OD，如图(1)所示.∵AB是直径，AB⊥C14解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如图(2)所示，连接OD.∵∠CPD+∠CP‘D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP'D+∠COB=180°.解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如图(154.圆上两条弦AB,CD所在直线交于点P,则AB,CD之间夹的弧为,.若

所对的圆周角为m°,所对的圆周角为n°,如图所示三种情况,AB,CD的夹角∠APC与m°,n°之间的关系式是什么?解:①如图69所示，当AB，CD的交点P在圆内时,连接BC，则有∠APC=∠ABC+∠DCB=m°+n°.4.圆上两条弦AB,CD所在直线解:①如图69所示，当AB，16②当AB,CD的交点P在圆上时，点B与点D重合，所对的圆周角的度数变成0°，即n=0，则∠APC=m°.③如图70所示，当AB,CD的交点P在圆外时，连接BC(不妨认为m>n)，则有∠ABC=∠APC+∠DCB，∴∠APC=∠ABC-∠BCD=m°-n°.

②当AB,CD的交点P在圆上时，点B与点D重合，所对17圆周角定理及其推论的综合运用例5如图24-55所示,已知AB是☉O的一条弦,点C为

的中点,CD是☉O的直径,过点C的直线l交AB所在直线于点E,交☉O于点F.(1)判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系,并写出结论;(2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合),在旋转过程中,点E、点F的位置也随之变化,请你在图24-55的两个备用图中分别画出在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形,标上相应字母,选其中一个图形给予证明.圆周角定理及其推论的综合运用例5如图24-55所示,已知18〔解析〕直线l与直线AB的交点E的位置可以分为三类:(1)点E在线段AB上.(2)点E在线段BA的延长线上；(3)点E在线段AB的延长线上.解:(1)∠CEB=∠FDC.理由如下:∵CD是☉O的直径，点C为

的中点，∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，∵CD是☉O的直径，∴∠CFD=90°.∴∠FDC+∠ECD=90°.∴∠CEB=∠FDC.〔解析〕直线l与直线AB的交点E的位置可以分为三类:(1)点19(2)如图24-56所示.答案不唯一.选择图(2)证明如下:∵CD是☉O的直径，点C为

的中点，∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，∵CD是☉O的直径,∴∠CFD=90°.∴∠FDC+

∠

ECD=90°.∴∠CEB=∠FDC.(2)如图24-56所示.答案不唯一.选择图(2)证明如205.如图所示，△ABC的三个顶点在☉O上，AD⊥BC，D为垂足，E是

的中点，求证∠OAE=∠EAD.(写出两种以上的证明方法)证法1:如图71所示,连接OB，则∠AOB=2∠ACB，∠OAB=∠OBA，∵AD⊥BC,∴∠OAB=(180°-∠AOB)=90°-∠AOB=90°-∠ACB=∠DAC.∵E是

的中点，∴∠EAB=∠EAC，∴∠EAO=∠EAB-∠OAB=∠EAC-∠DAC=∠EAD.5.如图所示，△ABC的三个顶点在☉O上，证法1:如图71所21证法2:如图72所示，连接OE，∵E是

的中点，∴

，∴OE⊥BC.∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD.∵OE=OA，∴∠OAE=∠OEA，∴∠OAE=∠EAD.证法2:如图72所示，连接OE，∵E是的中点，22蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》

郭璞的《游仙诗》

鲍照的《拟行路难》

庾信的《拟咏怀》

都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。

最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：

【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】

南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。

人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。

松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。

夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》

郭璞的《游仙诗》

鲍照23蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》

郭璞的《游仙诗》

鲍照的《拟行路难》

庾信的《拟咏怀》

都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。

最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：

【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】

南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。

人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。

松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。

夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》

郭璞的《游仙诗》

鲍照24蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》

郭璞的《游仙诗》

鲍照的《拟行路难》

庾信的《拟咏怀》

都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。

最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：

【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】

南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。

人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。

松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。

夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》

郭璞的《游仙诗》

鲍照25第二十四章圆24.1.4圆周角24.1

圆的有关性质九年级数学·上新课标[人]第二十四章圆24.1.4圆周角24.1圆26〔解析〕

欲证AF=CF，只需证明∠ACF=∠CAF，其中∠CAF是

所对的圆周角.而由条件可知

，因此只需找出

所对的圆周角是否与∠ACF相等即可.而构造

所对的圆周角需要连接BC，此时恰好构造了直径所对的圆周角∠ACB,也可以延长CD交圆于点H,由垂径定理可得

，则问题得解;还可以连接OC，根据CD⊥AO，CO⊥AE得到∠DCO=∠DAE，进而得到∠FCA=∠CAF，则可得AF=CF.圆周角定理的综合应用考查角度1

利用圆周角定理证明两线段(或两弧)相等如图24-47所示，AB是☉O的直径,C是

的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点F，连接AC.求证AF=CF.〔解析〕欲证AF=CF，只需证明∠ACF=∠CAF，其中∠27证法1:连接BC,如图24-48所示.∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°,即∠ACF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACF.又∵点C是

的中点,∴

∴∠B=∠CAE，∴∠ACF=∠CAE，∴AF=CF.证法1:连接BC,如图24-48所示.∵AB是☉O的直径28证法2:如图24-49所示，延长CD交☉O于点H.∵AB是直径,CD⊥AB,∴

又∵点C是

的中点,∴，∴

，∴∠ACF=∠CAF，∴AF=CF.证法2:如图24-49所示，延长CD交☉O于点H.∵AB29证法3:连接OC，如图24-50所示.∵

，OC过圆心，∴CO⊥AE，∴∠COD+∠OAE=90°.∵CD⊥OA，∴∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠DAE.∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠FCA=∠CAF，∴AF=CF.【解题归纳】

(1)在圆中通过“连接”构造同弧或等弧所对的圆周角是常用的辅助线作法.(2)在已知条件中,若有与半径或直径垂直的线段,常延长此线段与圆相交,这样可利用垂径定理得线段相等或弧相等.证法3:连接OC，如图24-50所示.∵30证明:(1)

∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得

，∴BD=CD.1.如图所示，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD.(1)求证BD=CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上，并说明理由.证明:(1)∵AD为直径，AD⊥BC，1.如图所示，AD为31解:(2)

B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由如下:如图67所示，由(1)知

，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∵∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE.由(1)知BD=CD，∴DB=DE=DC.∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.解:(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.32考查角度2

圆周角与平面直角

坐标系的综合应用例2如图24-51所示,已知CO,CB是☉O'的弦，☉O‘与平面直角坐标系的x轴、y轴分别相交于点B,O和A，O，若∠COB=45°，∠OBC=75°,点A的坐标为(0，2)，求☉O'的直径.〔解析〕

连接AB,由平面直角坐标系的性质可知∠AOB=90°,所以AB是圆的直径,利用三角形的内角和定理易求得∠C=60°,再根据圆周角定理可得∠OAB=∠OCB=60°,从而可以在Rt△AOB中求出AB的长.解:连接AB，如图24-51所示.∵∠AOB=90°，∴AB是圆的直径，∵∠BOC=45°，∠OBC=75°,∴∠OCB=60°，∴∠OAB=∠OCB=60°,∵A点坐标为(0，2)，∴AO=2.在Rt△AOB中，AB=2OA=4，∴☉O'的直径AB的长度为4.【解题归纳】

本题考查了三角形的内角和定理和圆周角定理的运用,解题的关键是添加辅助线构造直角三角形,并且利用圆周角定理确定AB是圆的直径.考查角度2圆周角与平面直角例2如图24-51所示,已知33[提示:如图68所示,连接BC，∵B(8，0),C(0,6)，∴OB=8，OC=6.∵∠BOC=90°，∴=10，且BC为直径，则☉A的半径为5.]2.(自贡中考)如图所示，在平面直角坐标系中，☉A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B，C两点，已知B(8，0)，C(0，6)，则☉A

的半径为 (

)A.3

B.4

C.5

D.8C[提示:如图68所示,连接BC，2.(自贡中考)如图所示，在34圆内接四边形与垂径定理的综合应用例3如图24-52所示，四边形ABCD的四个顶点都在☉O上，AC⊥BD于E，OF⊥AB于F，求证2OF=CD.〔解析〕作直径AG,再连接BG,利用三角形中位线定理可得2OF=BG,只需证明BG=CD.证明:如图24-52所示，过A点作直径AG，连接BG，CG.∵AG为☉O的直径，∴∠ACG=90°，∴CG⊥AC.∵BD⊥AC，∴BD∥CG，∴∠DBC=∠BCG，∴

，∴DC=BG.∵OF⊥AB，∴AF=BF.又∵AO=OG，∴OF是△ABG的一条中位线，∴2OF=BG.∴2OF=CD.【解题归纳】

在圆中遇到中点,且要证一条线段的长度是另一条线段长度的2倍时,常作的辅助线是三角形的中位线.圆内接四边形与垂径定理的综合应用例3如图24-52所示，35证明:(1)

∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴

，∴BD=DC.∵BI平分∠ABC，∴∠ABI=∠CBI.∵∠BAD=∠DAC,∠DBC=∠DAC，∴∠BAD=∠DBC.又∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=ID.∴BD=DC=DI.

3.如图所示，点A，B，C都在☉O上，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC.(1)求证BD=DC=DI；(2)若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积.证明:(1)∵AI平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，36又由圆的对称性可知∠OBD=∠CBD=30°.延长CO交BD于E，则CE⊥BD.由题意知OB=10cm，又∠OBE=30°，∴在Rt△OBE中，OE=OB=×10=5(cm)，∴BE=(cm)，∴BD=2BE=10cm.又CE=CO+OE=10+5=15(cm)，∴S△BDC=×BD×CE=×10×15=75(cm2).解:(2)

当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，∴圆心O在△ABC外，连接OB,OD,OC，则∠DOC=∠BOD=∠BOC=120°，∴∠DBC=∠DCB=∠BDC=60°，∴△BDC为正三角形.又由圆的对称性可知∠OBD=∠CBD=30°.延长C37如图24-53所示，在☉O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD.(1)P是

上一点(不与C,D重合),求证∠CPD=∠COB；(2)点P‘在劣弧CD上(不与C,D重合)时，∠CP'D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.运用圆心角、圆周角的性质探究角的关系例4〔解析〕本题两个需证明的结论都是圆心角与圆周角的关系,故可考虑应用同弧(等弧)所对的圆心角、圆周角关系进行证明.如图24-53所示，在☉O中，AB是直径，CD是弦，AB38证明:(1)连接OD，如图(1)所示.∵AB是直径，AB⊥CD，∴

.∴∠COB=∠DOB=∠COD.又∵∠CPD=∠COD，∴∠CPD=∠COB.证明:(1)连接OD，如图(1)所示.∵AB是直径，AB⊥C39解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如图(2)所示，连接OD.∵∠CPD+∠CP‘D=180°，∠COB=∠DOB=∠COD，又∵∠CPD=∠COD，∴∠COB=∠CPD，∴∠CP'D+∠COB=180°.解:(2)∠CP'D+∠COB=180°.理由如下:如图(404.圆上两条弦AB,CD所在直线交于点P,则AB,CD之间夹的弧为,.若

所对的圆周角为m°,所对的圆周角为n°,如图所示三种情况,AB,CD的夹角∠APC与m°,n°之间的关系式是什么?解:①如图69所示，当AB，CD的交点P在圆内时,连接BC，则有∠APC=∠ABC+∠DCB=m°+n°.4.圆上两条弦AB,CD所在直线解:①如图69所示，当AB，41②当AB,CD的交点P在圆上时，点B与点D重合，所对的圆周角的度数变成0°，即n=0，则∠APC=m°.③如图70所示，当AB,CD的交点P在圆外时，连接BC(不妨认为m>n)，则有∠ABC=∠APC+∠DCB，∴∠APC=∠ABC-∠BCD=m°-n°.

②当AB,CD的交点P在圆上时，点B与点D重合，所对42圆周角定理及其推论的综合运用例5如图24-55所示,已知AB是☉O的一条弦,点C为

的中点,CD是☉O的直径,过点C的直线l交AB所在直线于点E,交☉O于点F.(1)判断图中∠CEB与∠FDC的数量关系,并写出结论;(2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合),在旋转过程中,点E、点F的位置也随之变化,请你在图24-55的两个备用图中分别画出在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形,标上相应字母,选其中一个图形给予证明.圆周角定理及其推论的综合运用例5如图24-55所示,已知43〔解析〕直线l与直线AB的交点E的位置可以分为三类:(1)点E在线段AB上.(2)点E在线段BA的延长线上；(3)点E在线段AB的延长线上.解:(1)∠CEB=∠FDC.理由如下:∵CD是☉O的直径，点C为

的中点，∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，∵CD是☉O的直径，∴∠CFD=90°.∴∠FDC+∠ECD=90°.∴∠CEB=∠FDC.〔解析〕直线l与直线AB的交点E的位置可以分为三类:(1)点44(2)如图24-56所示.答案不唯一.选择图(2)证明如下:∵CD是☉O的直径，点C为

的中点，∴CD⊥AB，∴∠CEB+∠ECD=90°，∵CD是☉O的直径,∴∠CFD=90°.∴∠FDC+

∠

ECD=9