江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数24幂函数与二次函数课件0

复习课件1江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数2.4幂函数与二次函数课件0江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数24幂函数与二次函数课件02021/4/17复习课件1江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数2.4幂函§2.4幂函数与二次函数§2.4幂函数与二次函数基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点回扣基础知识训练基础题目基础落实回扣基础知识训练基础题目基础落实函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象

1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如

的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较知识梳理y＝xα函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象

1.幂函数性质定义域RRR________________值域R________R________________奇偶性

函数

函数

函数__________函数

函数单调性在R上单调递增在

上单调递减；在_________上单调递增在R上单调递增在_________上单调递增在_________和_________上单调递减公共点_______{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0](0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)(1,1)性质定义域RRR________________值域R___解析式f

(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f

(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象

定义域________值域______________________________2.二次函数的图象和性质RR解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax单调性在x∈上单调递减；在x∈____________上单调递增在x∈____________上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝

对称单调性在x∈上单调递减；对称性函数的1.二次函数的解析式有哪些常用形式？概念方法微思考提示

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).2.已知f

(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f

(x)≥0恒成立的条件.提示

a>0且Δ≤0.3.函数y＝2x2是幂函数吗？提示不是.1.二次函数的解析式有哪些常用形式？概念方法微思考提示(1(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(

)(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(

)(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(

)1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测题组一思考辨析×√√√(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口题组二教材改编√题组二教材改编√3.已知函数f

(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是A.[3，＋∞) B.(－∞，3]C.(－∞，－3) D.(－∞，－3]√解析函数f

(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.3.已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调4.函数f

(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为______.最小值为______.6

2解析f

(x)＝(x－1)2＋2,0≤x≤3，∴x＝1时，f

(x)min＝2，x＝3时，f

(x)max＝6.4.函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大解析因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f

(x)＝

(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.题组三易错自纠5.幂函数f

(x)＝

(a∈Z)为偶函数，且f

(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于A.3B.4C.5D.6√解析因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，题组三易错6.设二次函数f

(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f

(m)<0，则f

(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)>且f

(1)>0，f

(0)>0，而f

(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f

(m－1)>0.6.设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_____0，ac_____0，a－b＋c____0.>

<

<设y＝f

(x)＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f

(－1)<0.7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确休息时间到啦同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~休息时间到啦同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息典题深度剖析重点多维探究题型突破典题深度剖析重点多维探究题型突破A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)幂函数的图象和性质题型一自主演练解析设f

(x)＝xα，√即f

(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)幂函数的图象和性质2.幂函数

(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为A.3 B.0C.1 D.2解析∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f

(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f

(x)＝x－4为偶函数.∴m＝1.√2.幂函数(m∈Z)的3.已知幂函数f

(x)＝(n2＋2n－2)

(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为A.－3B.1C.2

D.1或2解析由于f

(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.√3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)4.若

，则实数a的取值范围是___________________.解析不等式

等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，4.若，则(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.思维升华SIWEISHENGHUA(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，求二次函数的解析式题型二师生共研例1

(1)已知二次函数f

(x)＝x2－bx＋c满足f

(0)＝3，对∀x∈R，都有f

(1＋x)＝f

(1－x)成立，则f

(x)的解析式为________________.解析由f

(0)＝3，得c＝3，又f

(1＋x)＝f

(1－x)，∴函数f

(x)的图象关于直线x＝1对称，f

(x)＝x2－2x＋3求二次函数的解析式题型二师生共研例1(1)已知二次函数f解析设函数f

(x)的解析式为f

(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f

(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f

(x)＝x2＋2x＋1.(2)已知二次函数f

(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f

(x)的最小值为f

(－1)＝0，则f

(x)＝____________.x2＋2x＋1解析设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝求二次函数解析式的方法思维升华SIWEISHENGHUA求二次函数解析式的方法思维升华SIWEISHENGHU解析设函数的解析式为f

(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f

(x)＝ax2＋2ax，跟踪训练1

(1)(2020·青岛模拟)已知二次函数f

(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f

(x)＝________.x2＋2x得a＝1，所以f

(x)＝x2＋2x.解析设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，(2)二次函数f

(x)满足f

(2)＝f

(－1)＝－1，且f

(x)的最大值是8，则f

(x)＝____________.－4x2＋4x＋7(2)二次函数f(x)满足f(2)＝f(－1)＝－1，解析方法一(利用一般式)设f

(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f

(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用顶点式)因为f

(2)＝f

(－1)，解析方法一(利用一般式)所以所求二次函数的解析式为f(又根据题意函数有最大值8，又根据题意函数有最大值8，例2

(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是二次函数的图象和性质题型三多维探究命题点1二次函数的图象√例2(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是________.(填序号)解析图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，①正确；①④f

(－1)>0，∴a－b＋c>0，③错误；开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，④正确，故正确的结论是①④.(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图例3

(1)函数f

(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是A.[－3,0) B.(－∞，－3]C.[－2,0]

D.[－3,0]命题点2二次函数的单调性√解析当a＝0时，f

(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0].例3(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[若函数f

(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝_____.引申探究－3解析由题意知f

(x)必为二次函数且a<0，若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－√解析由已知可得二次函数f

(x)图象开口向上，对称轴为x＝1，√解析由已知可得二次函数f(x)图象开口向上，对称轴为x例4

(2019·福州模拟)已知函数f

(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.命题点3二次函数的值域、最值解

f

(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f

(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(3)当a<0时，函数f

(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f

(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.例4(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2a解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论.(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.思维升华SIWEISHENGHUA解决二次函数图象与性质问题时要注意：思维升华SIWEIS跟踪训练2

(1)已知函数f

(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f

(x)的图象可能是√解析由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f

(0)＝c<0，所以排除B，故选D.跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是A.[2，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，0) D.(－∞，2)√当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞).(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调(3)设函数f

(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f

(x)的最小值.(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，解

f

(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f

(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f

(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f

(1)＝1；解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f

(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f

(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f

(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f

(x)min＝1，当t≥1时，f

(x)min＝t2－2t＋2.当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t例

(1)已知a是实数，函数f

(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是____________.解析由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立.当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；二次函数的恒成立问题核心素养之逻辑推理例(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在(2)函数f

(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f

(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为______.所以f

(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值为2.2(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R上的奇函数f

(x)满足：当x≥0时，f

(x)＝x3，若不等式f

(－4t)>f

(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是_____________.解析由题意知f

(x)在R上是增函数，结合f

(－4t)>f

(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R上的奇函数f(逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段.二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯.素养提升SUYANGTISHENG逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的课时精练课时精练基础保分练√12345678910111213141516基础保分练√123456789101112131415162.函数

的图象是√12345678910111213141516解析由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A，D；2.函数的图象是√12345678913.若幂函数f

(x)＝(m2－4m＋4)·

在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为A.1或3 B.1C.3 D.2√12345678910111213141516解析由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·4.已知a，b，c∈R，函数f

(x)＝ax2＋bx＋c.若f

(0)＝f

(4)>f

(1)，则A.a>0,4a＋b＝0 B.a<0,4a＋b＝0C.a>0,2a＋b＝0 D.a<0,2a＋b＝0√∴4a＋b＝0，又f

(0)>f

(1)，f

(4)>f

(1)，∴f

(x)先减后增，于是a>0，故选A.123456789101112131415164.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若5.已知函数f

(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是√123456789101112131415165.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a√12345678910111213141516√12345678910111213141516所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.123456789101112131415167.(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称.根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是A.在x轴上截得的线段的长度是2 B.与y轴交于点(0,3)C.顶点是(－2，－2) D.过点(3,0)√√√所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，A.对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0B.对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0C.对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝nD.存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n12345678910111213141516√√A.对于不相等的实数x1，x2，都有m＞012345678912345678910111213141516＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝n，则x1＋x2－a＝2，只需x1＋x2＝a＋2即可，D正确.12345678910111213141516＝x1＋x2－9.若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，＋∞)，则m＝________.123456789101112131415169或25∴m＝9或25.9.若二次函数y＝8x2－(m－1)x＋m－7的值域为[0，10.已知函数f

(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f

(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________.12345678910111213141516解析因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足10.已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m11.(2019·广州质检)已知函数f

(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R).(1)若函数f

(x)的图象过点(－2,1)，且方程f

(x)＝0有且只有一个根，求f

(x)的表达式；12345678910111213141516解

因为f

(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.因为方程f

(x)＝0有且只有一个根，所以Δ＝b2－4a＝0.所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.所以f

(x)＝x2＋2x＋1.11.(2019·广州质检)已知函数f(x)＝ax2＋bx(2)在(1)的条件下，当x∈[3,5]时，g(x)＝f

(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围.12345678910111213141516由g(x)的图象知，要满足题意，所以所求实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞).(2)在(1)的条件下，当x∈[3,5]时，g(x)＝f(1234567891011121314151612.已知函数f

(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f

(x)的值域；解

当a＝2时，f

(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，f

(x)max＝f

(3)＝15，1234567891011121314151612.已知函数(2)若函数f

(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值.f

(x)max＝f

(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意.12345678910111213141516(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a技能提升练1234567891011121314151613.(多选)已知函数f

(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f

(x)＝x－x2，则下列说法正确的是A.f

(x)的最大值为

B.f

(x)在(－1,0)上是增函数C.f

(x)＞0的解集为(－1,1) D.f

(x)＋2x≥0的解集为[0,3]√√技能提升练123456789101112131415161312345678910111213141516f

(x)＞0的解集为(－1,0)∪(0,1)，C错误；x≥0时，f

(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0,3]，x＜0时，f

(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确.12345678910111213141516f(x)＞012345678910111213141516解析因为函数f

(x)＝x2－ax－a的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f

(0)＝－a，f

(2)＝4－3a，114.如果函数f

(x)＝x2－ax－a在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a＝_____.12345678910111213141516解析因为函数15.(2020·石家庄模拟)若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是__________.拓展冲刺练12345678910111213141516解析当0≤x<1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，[－2,0]当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，综上，实数m的取值范围是[－2,0].15.(2020·石家庄模拟)若函数φ(x)＝x2＋m|x－16.是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f

(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.12345678910111213141516解

f

(x)＝(x－a)2＋a－a2，当－2≤a<－1时，f

(x)在[－1,1]上为增函数，综上可得，存在实数a满足条件，且a＝－1.16.是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x2－复习课件69江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数2.4幂函数与二次函数课件0江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数24幂函数与二次函数课件02021/4/17复习课件1江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数2.4幂函§2.4幂函数与二次函数§2.4幂函数与二次函数基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点回扣基础知识训练基础题目基础落实回扣基础知识训练基础题目基础落实函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象

1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如

的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较知识梳理y＝xα函数y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1图象

1.幂函数性质定义域RRR________________值域R________R________________奇偶性

函数

函数

函数__________函数

函数单调性在R上单调递增在

上单调递减；在_________上单调递增在R上单调递增在_________上单调递增在_________和_________上单调递减公共点_______{x|x≥0}{x|x≠0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶奇非奇非偶奇(－∞，0](0，＋∞)[0，＋∞)(－∞，0)(0，＋∞)(1,1)性质定义域RRR________________值域R___解析式f

(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f

(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象

定义域________值域______________________________2.二次函数的图象和性质RR解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax单调性在x∈上单调递减；在x∈____________上单调递增在x∈____________上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于直线x＝

对称单调性在x∈上单调递减；对称性函数的1.二次函数的解析式有哪些常用形式？概念方法微思考提示

(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).2.已知f

(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f

(x)≥0恒成立的条件.提示

a>0且Δ≤0.3.函数y＝2x2是幂函数吗？提示不是.1.二次函数的解析式有哪些常用形式？概念方法微思考提示(1(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(

)(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(

)(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(

)1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测题组一思考辨析×√√√(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口题组二教材改编√题组二教材改编√3.已知函数f

(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是A.[3，＋∞) B.(－∞，3]C.(－∞，－3) D.(－∞，－3]√解析函数f

(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.3.已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调4.函数f

(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大值为______.最小值为______.6

2解析f

(x)＝(x－1)2＋2,0≤x≤3，∴x＝1时，f

(x)min＝2，x＝3时，f

(x)max＝6.4.函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0,3]上的最大解析因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f

(x)＝

(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.题组三易错自纠5.幂函数f

(x)＝

(a∈Z)为偶函数，且f

(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于A.3B.4C.5D.6√解析因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，题组三易错6.设二次函数f

(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f

(m)<0，则f

(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)>且f

(1)>0，f

(0)>0，而f

(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f

(m－1)>0.6.设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_____0，ac_____0，a－b＋c____0.>

<

<设y＝f

(x)＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f

(－1)<0.7.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，确休息时间到啦同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~休息时间到啦同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息典题深度剖析重点多维探究题型突破典题深度剖析重点多维探究题型突破A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)幂函数的图象和性质题型一自主演练解析设f

(x)＝xα，√即f

(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)幂函数的图象和性质2.幂函数

(m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为A.3 B.0C.1 D.2解析∵函数在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈Z，∴m＝0,1,2.而当m＝0或2时，f

(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f

(x)＝x－4为偶函数.∴m＝1.√2.幂函数(m∈Z)的3.已知幂函数f

(x)＝(n2＋2n－2)

(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为A.－3B.1C.2

D.1或2解析由于f

(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.√3.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)4.若

，则实数a的取值范围是___________________.解析不等式

等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，4.若，则(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.思维升华SIWEISHENGHUA(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，求二次函数的解析式题型二师生共研例1

(1)已知二次函数f

(x)＝x2－bx＋c满足f

(0)＝3，对∀x∈R，都有f

(1＋x)＝f

(1－x)成立，则f

(x)的解析式为________________.解析由f

(0)＝3，得c＝3，又f

(1＋x)＝f

(1－x)，∴函数f

(x)的图象关于直线x＝1对称，f

(x)＝x2－2x＋3求二次函数的解析式题型二师生共研例1(1)已知二次函数f解析设函数f

(x)的解析式为f

(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f

(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f

(x)＝x2＋2x＋1.(2)已知二次函数f

(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f

(x)的最小值为f

(－1)＝0，则f

(x)＝____________.x2＋2x＋1解析设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝求二次函数解析式的方法思维升华SIWEISHENGHUA求二次函数解析式的方法思维升华SIWEISHENGHU解析设函数的解析式为f

(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f

(x)＝ax2＋2ax，跟踪训练1

(1)(2020·青岛模拟)已知二次函数f

(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f

(x)＝________.x2＋2x得a＝1，所以f

(x)＝x2＋2x.解析设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，(2)二次函数f

(x)满足f

(2)＝f

(－1)＝－1，且f

(x)的最大值是8，则f

(x)＝____________.－4x2＋4x＋7(2)二次函数f(x)满足f(2)＝f(－1)＝－1，解析方法一(利用一般式)设f

(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f

(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二(利用顶点式)因为f

(2)＝f

(－1)，解析方法一(利用一般式)所以所求二次函数的解析式为f(又根据题意函数有最大值8，又根据题意函数有最大值8，例2

(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是二次函数的图象和性质题型三多维探究命题点1二次函数的图象√例2(1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1，给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是________.(填序号)解析图象与x轴交于两点，∴b2>4ac，①正确；①④f

(－1)>0，∴a－b＋c>0，③错误；开口向下，a<0，b＝2a，∴5a<2a＝b，④正确，故正确的结论是①④.(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，已知图例3

(1)函数f

(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是A.[－3,0) B.(－∞，－3]C.[－2,0]

D.[－3,0]命题点2二次函数的单调性√解析当a＝0时，f

(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意.解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0].例3(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[若函数f

(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝_____.引申探究－3解析由题意知f

(x)必为二次函数且a<0，若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－√解析由已知可得二次函数f

(x)图象开口向上，对称轴为x＝1，√解析由已知可得二次函数f(x)图象开口向上，对称轴为x例4

(2019·福州模拟)已知函数f

(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值.命题点3二次函数的值域、最值解

f

(x)＝a(x＋1)2＋1－a.(1)当a＝0时，函数f

(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(3)当a<0时，函数f

(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f

(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.例4(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋2a解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论.(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解).(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.思维升华SIWEISHENGHUA解决二次函数图象与性质问题时要注意：思维升华SIWEIS跟踪训练2

(1)已知函数f

(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f

(x)的图象可能是√解析由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f

(0)＝c<0，所以排除B，故选D.跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是A.[2，＋∞) B.(2，＋∞)C.(－∞，0) D.(－∞，2)√当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求.综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞).(2)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调(3)设函数f

(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f

(x)的最小值.(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，解

f

(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f

(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，所以最小值为f

(t＋1)＝t2＋1；当t<1<t＋1，即0<t<1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f

(1)＝1；解f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f

(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，所以最小值为f

(t)＝t2－2t＋2.综上可知，当t≤0时，f

(x)min＝t2＋1，当0<t<1时，f

(x)min＝1，当t≥1时，f

(x)min＝t2－2t＋2.当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t例

(1)已知a是实数，函数f

(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是____________.解析由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立.当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；二次函数的恒成立问题核心素养之逻辑推理例(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在(2)函数f

(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f

(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为______.所以f

(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以1<a≤2，所以a的最大值为2.2(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R上的奇函数f

(x)满足：当x≥0时，f

(x)＝x3，若不等式f

(－4t)>f

(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是_____________.解析由题意知f

(x)在R上是增函数，结合f

(－4t)>f

(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R上的奇函数f(逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段.二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯.素养提升SUYANGTISHENG逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的课时精练课时精练基础保分练√12345678910111213141516基础保分练√123456789101112131415162.函数

的图象是√12345678910111213141516解析由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A，D；2.函数的图象是√12345678913.若幂函数f

(x)＝(m2－4m＋4)·

在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为A.1或3 B.1C.3 D.2√12345678910111213141516解析由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3.若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·4.已知a，b，c∈R，函数f

(x)＝ax2＋bx＋c.若f

(0)＝f

(4)>f

(1)，则A.a>0,4a＋b＝0 B.a<0,4a＋b＝0C.a>0,2a＋b＝0 D.a<0,2a＋b＝0√∴4a＋b＝0，又f

(0)>f

(1)，f

(4)>f

(1)，∴f

(x)先减后增，于是a>0，故选A.123456789101112131415164.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若5.已知函数f

(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是√123456789101112131415165.已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a√12345678910111213141516√12345678910111213141516所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.123456789101112131415167.(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称.根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是A.在x轴上截得的线段的长度是2 B.与y轴交于点(0,3)C.顶点是(－2，－2) D.过点(3,0)√√√所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，A.对于不相等的实数x1，x2，都有m＞0B.对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有n＞0C.对于任意实数a及不相等的实数x1，x2，都有m＝nD.存在实数a，对任意不相等的实数x1，x2，都有m＝n12345678910111213141516√√A.对于不相等的实数x1，x2，都有m＞012345678912345678910111213141516＝x1＋x2－a，则m＝n不恒成立，C错误；m＝2，n＝x1＋x2－a，若m＝