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文档简介

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一物体作变速直线运动,其曲线如图所示,则该物体在间的运动路程为()m.A.1 B. C. D.22.已知数列的首项,且,其中,,,下列叙述正确的是()A.若是等差数列,则一定有 B.若是等比数列,则一定有C.若不是等差数列,则一定有 D.若不是等比数列,则一定有3.已知正方体的棱长为2,点在线段上,且,平面经过点,则正方体被平面截得的截面面积为()A. B. C. D.4.已知复数,则()A. B. C. D.5.在一个数列中,如果,都有(为常数),那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列,且,,公积为,则()A. B. C. D.6.已知是虚数单位,若,则()A. B.2 C. D.107.已知,,由程序框图输出的为()A.1 B.0 C. D.8.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()A.9 B.7 C. D.9.已知函数的图像与一条平行于轴的直线有两个交点,其横坐标分别为,则()A. B. C. D.10.从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线的焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.11.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()A. B. C. D.12.用数学归纳法证明1+2+3+⋯+n2=n4A.k2+1C.k2+1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,常数项为________.(用数字作答)14.已知抛物线的焦点为,斜率为的直线过且与抛物线交于两点,为坐标原点,若在第一象限,那么_______________.15.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是________________.16.已知等差数列的前n项和为Sn,若,则____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列的前n项和为,,公差,、、成等比数列,数列满足.(1)求数列,的通项公式;(2)已知,求数列的前n项和.18.(12分)如图,点是以为直径的圆上异于、的一点,直角梯形所在平面与圆所在平面垂直,且,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.19.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,设与交于、两点,中点为,的垂直平分线交于、.以为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.(1)求的直角坐标方程与点的直角坐标;(2)求证:.20.(12分)如图,在矩形中,,,点分别是线段的中点,分别将沿折起,沿折起,使得重合于点,连结.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)某公司欲投资一新型产品的批量生产,预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:.(1)求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数);(2)记每日生产平均成本求证:;(3)若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减,连续注入天,求证:这天的总投入资金大于亿元.22.(10分)为了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学生中抽取100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)的数据,绘制图表的一部分如表.(1)从男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在的概率:(2)从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈,记为抽到高中的人数,求的分布列;(3)当时,高中生和初中生相比,那学段学生平均参加公益劳动时间较长.(直接写出结果)

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

由图像用分段函数表示,该物体在间的运动路程可用定积分表示,计算即得解【详解】由题中图像可得,由变速直线运动的路程公式,可得.所以物体在间的运动路程是.故选:C【点睛】本题考查了定积分的实际应用,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.2、C【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A:当时,,显然符合是等差数列,但是此时不成立,故本说法不正确;B:当时,,显然符合是等比数列,但是此时不成立,故本说法不正确;C:当时,因此有常数,因此是等差数列,因此当不是等差数列时,一定有,故本说法正确;D:当时,若时,显然数列是等比数列,故本说法不正确.故选:C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义,考查了推理论证能力,属于基础题.3、B【解析】

先根据平面的基本性质确定平面,然后利用面面平行的性质定理,得到截面的形状再求解.【详解】如图所示:确定一个平面,因为平面平面,所以,同理,所以四边形是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四边形故选:B【点睛】本题主要考查平面的基本性质,面面平行的性质定理及截面面积的求法,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.4、B【解析】

利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得【详解】,故.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.5、B【解析】

计算出的值,推导出,再由,结合数列的周期性可求得数列的前项和.【详解】由题意可知,则对任意的,,则,,由,得,,,,因此,.故选:B.【点睛】本题考查数列求和,考查了数列的新定义,推导出数列的周期性是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.6、C【解析】

根据复数模的性质计算即可.【详解】因为,所以,,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质,属于容易题.7、D【解析】试题分析:,,所以,所以由程序框图输出的为.故选D.考点:1、程序框图;2、定积分.8、C【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定,根据勾股定理,得到之间的等量关系,再用表示出的面积,利用均值不等式即可容易求得.【详解】设,,则.因为平面,平面,所以.又,,所以平面,则.易知,.在中,,即,化简得.在中,,.所以.因为,当且仅当,时等号成立,所以.故选:C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用,考查空间想象能力以及数形结合思想,涉及线面垂直的判定和性质,属中档题.9、A【解析】

画出函数的图像,函数对称轴方程为,由图可得与关于对称,即得解.【详解】函数的图像如图,对称轴方程为,,又,由图可得与关于对称,故选:A【点睛】本题考查了正弦型函数的对称性,考查了学生综合分析,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.10、A【解析】

根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标,进而求出点的坐标,代入斜率公式即可求解.【详解】设点的坐标为,由题意知,焦点,准线方程,所以,解得,把点代入抛物线方程可得,,因为,所以,所以点坐标为,代入斜率公式可得,.故选:A【点睛】本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力;属于基础题.11、C【解析】

先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,如图所示,当时,对称后的图象不可能与在的图象有3个交点;当时,要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,则,解得.故选:C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想,是一道中档题.12、C【解析】

首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=n4【详解】当n=k时,等式左端=1+1+…+k1,当n=k+1时,等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+(k+1)1,增加了项(k1+1)+(k1+1)+(k1+3)+…+(k+1)1.故选:C.【点睛】本题主要考查数学归纳法,属于中档题./二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

的展开式的通项为,取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,取得到常数项.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.14、2【解析】

如图所示,先证明,再利用抛物线的定义和相似得到.【详解】由题得,.因为.所以,过点A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,过点B作于点E,设|BF|=m,|AF|=n,则|BN|=m,|AM|=n,所以|AE|=n-m,因为,所以|AB|=3(n-m),所以3(n-m)=n+m,所以.所以.故答案为:2【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查抛物线的定义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、【解析】因为sinα∈[-1,1],所以-sinα∈[-1,1],所以已知直线的斜率范围为[-1,1],由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是.答案:16、【解析】

由,,成等差数列,代入可得的值.【详解】解:由等差数列的性质可得:,,成等差数列,可得:,代入,可得:,故答案为:.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的性质,相对不难.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),();(2).【解析】

(1)根据是等差数列,,、、成等比数列,列两个方程即可求出,从而求得,代入化简即可求得;(2)化简后求和为裂项相消求和,分组求和即可,注意讨论公比是否为1.【详解】(1)由题意知,,,由得,解得.又,得,解得或(舍).,.又(),().(2),①当时,.②当时,.【点睛】此题等差数列的通项公式的求解,裂项相消求和等知识点,考查了化归和转化思想,属于一般性题目.18、(1)见解析;(2)【解析】

(1)取的中点,证明,则平面平面,则可证平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,则点到平面的距离可求.【详解】解:(1)如图:取的中点,连接、.在中,是的中点,是的中点,平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四边形是平行四边形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圆的直径,点是圆上异于、的一点,又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱锥的高线.在直角梯形中,.设到平面的距离为,则,即由已知得,由余弦定理易知:,则解得,即点到平面的距离为故答案为:.【点睛】考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法,是中档题.19、(1),;(2)见解析.【解析】

(1)将曲线的极坐标方程变形为,再由可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线的方程与曲线的方程联立,求出点、的坐标,即可得出线段的中点的坐标;(2)求得,写出直线的参数方程,将直线的参数方程与曲线的普通方程联立,利用韦达定理求得的值,进而可得出结论.【详解】(1)曲线的极坐标方程可化为,即,将代入曲线的方程得,所以,曲线的直角坐标方程为.将直线的极坐标方程化为普通方程得,联立,得或,则点、,因此,线段的中点为;(2)由(1)得,,易知的垂直平分线的参数方程为(为参数),代入的普通方程得,,因此,.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线参数几何意义的应用,涉及韦达定理的应用,考查计算能力,属于中等题.20、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)根据,,可得平面,故而平面平面.(Ⅱ)过作于,则可证平面,故为所求角,在中利用余弦定理计算,再计算.【详解】解:(Ⅰ)因为,,,平面,平面所以平面,又平面,所以平面平面;(Ⅱ)过作于,则由平面,且平面知,所以平面,从而是直线与平面所成角.因为,,,所以,从而.【点睛】本题考查了面面垂直的判定,考查直线与平面所成角的计算,属于中档题.21、(1);(2)证明见解析;(3)证明见解析.【解析】

(1)求得函数的导函数,由此求得求当日产量为吨时的边际成本.(2)将所要证明不等式转化为证明,构造函数,利用导数证得,由此证得不等式成立.(3)利用(2)的结论,判断出,由此结合对数运算,证得.【详解】(1)因为所以当时,(2)要证,只需证,即证,设则所以在上单调递减,所以所以,即;(3)因为又由(2)知,当时,所以所以所以【点睛】本小题主要考查导数的计算,考查利用导数证明不等式,考查放缩法证明数列不等式,属于难题

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