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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知平面向量满足,且,则所夹的锐角为()A. B. C. D.02.已知非零向量满足,若夹角的余弦值为,且,则实数的值为()A. B. C.或 D.3.在区间上随机取一个数,使得成立的概率为等差数列的公差,且,若,则的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.114.体育教师指导4个学生训练转身动作,预备时,4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时,每次都让3个学生“向后转”,若4个学生全部转到面朝正北方向,则至少需要“向后转”的次数是()A.3 B.4 C.5 D.65.已知,,是平面内三个单位向量,若,则的最小值()A. B. C. D.56.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或77.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B.与去年同期相比,2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.8.已知函数在上可导且恒成立,则下列不等式中一定成立的是()A.、B.、C.、D.、9.执行程序框图,则输出的数值为()A. B. C. D.10.已知抛物线,F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦,若,,则的面积为()A. B. C. D.11.已知等差数列满足,公差,且成等比数列,则A.1 B.2 C.3 D.412.设命题:,,则为A., B.,C., D.,二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设满足约束条件,则目标函数的最小值为_.14.设随机变量服从正态分布,若,则的值是______.15.已知的终边过点,若,则__________.16.如图,在长方体中,,E,F,G分别为的中点,点P在平面ABCD内,若直线平面EFG,则线段长度的最小值是________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆,点,点满足(其中为坐标原点),点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程;(2)设椭圆的右焦点为,若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.18.(12分)如图,在等腰梯形中,AD∥BC,,,,,分别为,,的中点,以为折痕将折起,使点到达点位置(平面).(1)若为直线上任意一点,证明:MH∥平面;(2)若直线与直线所成角为,求二面角的余弦值.19.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.20.(12分)已知的内角的对边分别为,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若的周长是否有最大值?如果有,求出这个最大值,如果没有,请说明理由.21.(12分)已知,函数,(是自然对数的底数).(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;(Ⅱ)若,且命题“,”是假命题,求实数的取值范围.22.(10分)已知在平面直角坐标系中,椭圆的焦点为为椭圆上任意一点,且.(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线交椭圆于两点,且满足(分别为直线的斜率),求的面积为时直线的方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据题意可得,利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选:B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角,需掌握向量数量积的定义求法,属于基础题.2、D【解析】
根据向量垂直则数量积为零,结合以及夹角的余弦值,即可求得参数值.【详解】依题意,得,即.将代入可得,,解得(舍去).故选:D.【点睛】本题考查向量数量积的应用,涉及由向量垂直求参数值,属基础题.3、D【解析】
由题意,本题符合几何概型,只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度,利用几何概型公式可得概率,即等差数列的公差,利用条件,求得,从而求得,解不等式求得结果.【详解】由题意,本题符合几何概型,区间长度为6,使得成立的的范围为,区间长度为2,故使得成立的概率为,又,,,令,则有,故的最小值为11,故选:D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题,涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式,等差数列的通项公式,属于基础题目.4、B【解析】
通过列举法,列举出同学的朝向,然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示,利用列举法,可得下表,原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故选:B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数,一般这类题型构造较为巧妙,可通过列举的方法直观感受,属于基础题.5、A【解析】
由于,且为单位向量,所以可令,,再设出单位向量的坐标,再将坐标代入中,利用两点间的距离的几何意义可求出结果.【详解】解:设,,,则,从而,等号可取到.故选:A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算,利用整体代换,再结合距离公式求解,属于难题.6、C【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.7、C【解析】
利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项:2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是:江苏、辽宁、山东、河南、浙江,故A正确;对于B选项:与去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长,所以其总量也实现了增长,故B正确;对于C选项:2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是:江苏、山东、浙江、河南、辽宁,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是:江苏、辽宁、山东、河南、浙江,均居同一位的省有2个,故C错误;对于D选项:去年同期河南省的GDP总量,故D正确.故选:C.【点睛】本题考查了图表分析,学生的分析能力,推理能力,属于基础题.8、A【解析】
设,利用导数和题设条件,得到,得出函数在R上单调递增,得到,进而变形即可求解.【详解】由题意,设,则,又由,所以,即函数在R上单调递增,则,即,变形可得.故选:A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用,以及利用单调性比较大小,其中解答中根据题意合理构造新函数,利用新函数的单调性求解是解答的关键,着重考查了构造思想,以及推理与计算能力,属于中档试题.9、C【解析】
由题知:该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值,计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,不满足条件,输出.故选:C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,属于简单题.10、A【解析】
根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.【详解】由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则.由得,则.又MN为过焦点的弦,所以,则,所以.故选:A【点睛】本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.11、D【解析】
先用公差表示出,结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列,所以,解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题,化归基本量,寻求等量关系是求解的关键.12、D【解析】
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题:,,则为:,.故本题答案为D.【点睛】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据满足约束条件,画出可行域,将目标函数,转化为,平移直线,找到直线在轴上截距最小时的点,此时,目标函数取得最小值.【详解】由满足约束条件,画出可行域如图所示阴影部分:将目标函数,转化为,平移直线,找到直线在轴上截距最小时的点此时,目标函数取得最小值,最小值为故答案为:-1【点睛】本题主要考查线性规划求最值,还考查了数形结合的思想方法,属于基础题.14、1【解析】
由题得,解不等式得解.【详解】因为,所以,所以c=1.故答案为1【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15、【解析】
】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得的值.【详解】∵的终边过点,若,.即答案为-2.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式,属基础题.16、【解析】
如图,连接,证明平面平面EFG.因为直线平面EFG,所以点P在直线AC上.当时.线段的长度最小,再求此时的得解.【详解】如图,连接,因为E,F,G分别为AB,BC,的中点,所以,平面,则平面.因为,所以同理得平面,又.所以平面平面EFG.因为直线平面EFG,所以点P在直线AC上.在中,,故当时.线段的长度最小,最小值为.故答案为:【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明,考查立体几何中的轨迹问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)是,【解析】
(1)设,根据条件可求出的坐标,再利用在椭圆上,代入椭圆方程求出即可;(2)设运用勾股定理和点满足椭圆方程,求出,,再利用焦半径公式表示出,进而求出周长为定值.【详解】(1)设,因为,即则,即,因为均在上,代入得,解得,所以椭圆的方程为;(2)由(1)得,作出示意图,设切点为,则,同理即,所以,又,则的周长,所以周长为定值.【点睛】标准方程的求解,椭圆中的定值问题,考查焦半径公式的运用,考查逻辑推理能力和运算求解能力,难度较难.18、(1)见解析(2)【解析】
(1)根据中位线证明平面平面,即可证明MH∥平面;(2)以,,为,,轴建立空间直角坐标系,找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.【详解】(1)证明:连接,∵,,分别为,,的中点,∴,又∵平面,平面,∴平面,同理,平面,∵平面,平面,,∴平面平面,∵平面,∴平面.(2)连接,在和中,由余弦定理可得,,由与互补,,,可解得,于是,∴,,∵,直线与直线所成角为,∴,又,∴,即,∴平面,∴平面平面,∵为中点,,∴平面,如图所示,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,.设平面的法向量为,∴,即.令,则,,可得平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为,∴,∴二面角的余弦值为.【点睛】此题考查线面平行,建系通过坐标求二面角等知识点,属于一般性题目.19、(1)(2).【解析】
(1)利用离心率和椭圆经过的点建立方程组,求解即可.(2)把面积之比转化为纵坐标之间的关系,联立方程结合韦达定理可求.【详解】解:(1)设焦距为2c,由题意知:;解得,所以椭圆的方程为.(2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直线l的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题,椭圆方程一般利用待定系数法,建立方程组进行求解,面积问题的合理转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.20、(Ⅰ);(Ⅱ)有最大值,最大值为3.【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理将角化边,再由余弦定理计算可得;(Ⅱ)由正弦定理可得,则,再根据正弦函数的性质计算可得;【详解】(Ⅰ)由得再由正弦定理得因此,又因为,所以.(Ⅱ)当时,的周长有最大值,且最大值为3,理由如下:由正弦定理得,所以,所以.因为,所以,所以当即时,取到最大值2,所以的周长有最大值,最大值为3.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形,以及三角函数的性质的应用,属于中档题.21、(1)当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(2)【解析】试题分析:(1),分,讨论,当时,对,,当时,解得,在上是减函数,在上是增函数。所以,当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(2)原命题为假命题,则逆否命题为真命题。即不等式在区间内有解。设,所以,设,则,且是增函数,所以。所以分和k>1讨论。试题解析:(Ⅰ)因为,所以,当时,对,,所以在是减函数,此时函数不存在极值,所以函数没有极值点;当时,,令,解得,若,则,所以在上是减函数,若,则,所以在上是增函数,当时,取得极小值为,函数有且仅有一个极小值点,所以当时,没有极值点,当时,有一个极小值点.(Ⅱ)命题“,”是假命题,则“,”是真命题,即不等式在区间内有解.若,则设,所以,设,则,且是增函数,所以当时,,所以在上是增函数,,即,所以在上是增函数,所以,即在上恒成立.当时,因为在是增函数,因为,,所以在上存在唯一零点,当时,,在上单调递减,从而,即,所以在上
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