高中-必修四第1章1.2

教学流程演示结束1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用．(重点)课标

2．初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的解读三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点难点)【问题导思】使锐角α

的顶点与原点O

重合，始边与

x

轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x

轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.1．角α

的正弦、余弦、正切分别等于什么？【提示】

sin

α＝r，y

xycos

α＝r，tan

α＝x.对于确定的锐角α，sin

α、cos

α、tan

α

的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？【提示】

不会．在问题1

中，取|OP|＝1

时，sinα，cos

α，tanα

的值怎样表示？【提示】

sin

α＝y，cos

α＝x，tan

x＝yx.称以原点O

为圆心，单位长度2．定义：图1－2－1在平面直角坐标系中，设

α是一个任意角，它的终边与

单位圆交于点

P(x，y)那么：y

叫做

α

的

正弦

，记作sinα

，即

sin

α＝y；x

叫做

α

的

余弦

，记作cosα

，即cos

α＝x；y(3)y

α

的

，记作

，即

tan

α＝

(x≠0)．x叫做

x对于确定的角

α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．3．正弦函数

sin

α

的定义域是

R

；余弦函数cos

α

的定义域是

R

；正切函数

tan

α

的定义域是{x|x∈R，且

x≠kππ＋2，k∈Z}．

正切

tanα【问题导思】三角函数在各象限的符号由什么来确定？【提示】

由三角函数的定义知三角函数在各象限的符号由角

α

终边上任意一点的坐标来确定．图1－2－2口诀：“一全正，二正弦

，三

正切

，四余弦

”．【问当角α

分别为30°，390°，有什么关系？为什么？【提示】相等，因为它们的终边重合．【问题导思】在平面直角坐标系中，任意角

α

的终边与单位圆交于点P，过

P作PM⊥x轴，过A(1,0)作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点

T，结合三角函数的定义，你能得到

sin

α，cos

α，tan

α

与MP，OM，AT

的关系吗？【提示】

可以，sin

α＝|MP|，cos

α＝|OM|，tan

α＝|AT|.有向线段：带有

方向的线段．三角函数线：图1－2－3已知角θ

的终边上有一点P(－3，m)，且sin

θ2＝

4

m，求cos

θ

与tan

θ

的值．【思路探究】

此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m

的值，再求cos

θ

与tan

θ的值．点

P

到原点的距离

r＝－

32＋m2

＝【自主解答】3＋m2，3＋m22∴sin

θ＝

m

＝

m4，解得

m＝0

或

m＝±

5.—

3(1)当

m＝0

时，cos

θ＝

3

＝－1，tan

θ＝0.(2)当m＝5时，cos

θ＝

8

＝—

3

－

64—

315，tan

θ＝

5

＝－

.3(3)当m＝－5时，cos

θ＝—

3

68

＝－

4

，tan

θ＝—

5—

3

15＝

3

.当角

α

的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类

．解决此类问题有两种方法：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值

sin

α＝a2＋b2

b

，余弦值cos

α＝aa2＋b2.已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin

α，cos

α，tan

α

的值；已知角α

的终边在直线y＝

3x

上，求sin

α，cosα，tan

α

的值．【解】

(1)r＝

－4a2＋3a2＝5|a|.若a＞0，则r＝5a，α

是第二象限角，则y

3a

3sinα＝r＝5a＝5，cos

α－4ax

4＝r＝

5a

＝－5，tan

α＝x＝y

3a－4a3＝－4，若a＜0，则r＝－5a，α

是第四象限角，则3

4sin

α＝－5，cos

α＝5，tan

α＝－43.(2)因为角α

的终边在直线y＝

3x

上，所以可设

P(a，

3a)(a≠0)为角

α

终边上任意一点．则

r＝

a2＋

3a2＝2|a|(a≠0)．若a＞0，则α

为第一象限角，r＝2a，所以sin

α＝3a

3，2a

＝

2cos

α＝

a12a＝2，tan

α＝ 3a＝

3.a若a＜＝－

3，cosα＝－

a

＝－

，tan

α＝12

2a

2a求下列各式的值：(1)a2sin(－1

350°)＋b2tan

405°－2abcos(－1

080°)；12(2)sin(－11π)＋cos

π·tan

4π.6

5【思路探究】

利用诱导公式，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值．b2tan(360°＝a2sin90°＋＝a2＋b2－2ab＝(a－12(2)sin(－11π)＋cos

π·tan

4π6

512＝sin(－2π＋π

＋cos

π·tan

06)

561＝sinπ

0＝

.＋

2利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，大化小”，体现了数学中的化归(转化)思想．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值．求下列各式的值：cos25π＋tan(－15π)；3

4sin

810°＋tan

1

125°＋cos

420°.【解】

(1)cos25π＋tan(

15π)3

－

4＝cos(8π＋π

＋tan(－4π＋π3)

4)＝c

π

π

1

3

os3＋tan4＝2＋1＝2.(2)

原式＝

sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin

90°＋tan

45°＋cos

60°1

5＝1＋1＋2＝2.在单位圆中画出适合下列条件的角α

的终边范围，并由此写出角α

的集合．1

3(1)sin

α≥

2

；(2)cos

α≤－2.【思路探究】根据三角函数线．在单位圆中首先作出3满足sin

α＝

2

，cosα1＝－2的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围．【自主解答】

(1)作直线

y＝

3

A，B

两2

，交单位圆于点，连接

OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角

α

的终边的范围．π

2π故满足条件的角

α

的集合为{α|2kπ＋3≤α≤2kπ＋

3

，k∈Z}．1(2)作直线

x＝－2，交单位圆于C，D

两点，连接

OC与OD，则

OC

与OD

围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角

α的终边的范围．故满足条件的角

α

的集合为{α|2kπ＋2π3

≤4πα≤2kπ＋

3

，k∈Z}．三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题．三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．求函数y＝

2cosx－1的定义域．21【解】

由题意得：2cos

x－1≥0，则有cosx≥

.11如图在

x

轴上取点

M

使

OM1＝2，，过M1

作x

轴的垂线交单位圆于点P1，P2连接OP1，OP2.则OP1

与OP2

围成的区域(如图中阴影部分)即为角x

的终边的范围．2∴满足cos

x≥1的角的集合即y＝2cos

x－1的定义域为：{x|2kπ－π

x≤2kπ＋π

k∈Z}．3≤

3，忽视三角函数的定义域致误求满足y＝

sin

x·tan

x的x

的取值范围．【错解】

由题意知，只需要

sin

x·tan

x≥0，即sin

x≥0，

sin

x≤0，tan

x≥0，

tan

x≤0，①或

②对①可知x

为第一象限角或终边在x

轴或y

轴上的角．对②可知x

为第四象限角或终边在x

轴或y

轴上的角．因此x

的取值范围为π

π{x|2kπ－2≤x＜2kπ

或2kπ＜x≤2kπ＋2或xkπ＝

2

，k∈Z}．【错因分虑tan

x

的条件，致使思考问题不周全而出错．【防范措施】

熟练掌握三种三角函数的定义域如下表所示：三角函数定义域sin

α{α|α∈R}cos

α{α|α∈R}tan

α

π

α|α∈R，α≠kπ＋2，k∈Z

【正解】

所求

x

应满足

πx≠kπ＋2k∈Z，sin

x≤0，sin

x·tan

x≥0，即sin

x≥0，tan

x≥0，πx≠kπ＋2k∈Z，或tan

x≤0，πx≠kπ＋2k∈Z.根据x

所在象限情况可判断x

的取值范围是{x|2kπ－π

x＜2kπ

或

2kπ＜x＜2kπ＋π

x＝kπ，k∈Z}．2＜

2或三角函数的定义是以后学切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．诱导公式一指的是终边相同的角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，可结合三角函数的定义进行

．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行三角函数线的引入，为了几何方法，体现了数形结合的思想．其主要作用是解三角不等式、比较三角函数值的大小和求函数定义域．61．cos(－11π)等于(