2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何28直线与圆锥曲线的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册

2.8直线与圆锥曲线的位置关系2.8直线与圆锥曲线的位置关系核心素养

1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.(数学运算)3.加强数形结合思想的训练与应用.(直观想象)思维脉络核心素养1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)激趣诱思知识点拨廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的行人在桥上纳凉休息,躲避风雨日晒.江西省境内就保存着大量的古廊桥,这些古廊桥最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我国重要的文化遗产.风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美,犹如一幅恬静的水墨丹青画卷.这幅画卷不仅给大家带来艺术美的享受,里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识,比如,桥洞的截面有的呈半圆形,有的是方形,还有的呈抛物线形,如果把桥面的边沿和廊屋的立柱看成线段,同学们能找出直线和抛物线的哪些关系?激趣诱思知识点拨廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的激趣诱思知识点拨1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.激趣诱思知识点拨1.直线与圆锥曲线的位置关系激趣诱思知识点拨①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.激趣诱思知识点拨①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双激趣诱思知识点拨微判断

答案:(1)×

(2)√

(3)×微思考椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系?提示:不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.激趣诱思知识点拨微判断答案:(1)×(2)√(3)×激趣诱思知识点拨2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.激趣诱思知识点拨2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题激趣诱思知识点拨微练习顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为

的抛物线方程为

.

解析:设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①直线方程变形为y=2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB.将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,答案:y2=12x或y2=-4x激趣诱思知识点拨微练习探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测点与椭圆位置关系的判断

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测点与椭圆位置关系的判探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟处理点与椭探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究

若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究若将本例中探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测直线与圆锥曲线的位置关系判断例2已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,(1)l与C无公共点;(2)l与C有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点.分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测直线与圆锥曲线的位置探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟判断直线l探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1已知直线l:y=2x+m,椭圆C:.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1已知直线l探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测相交弦长问题例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆的方程.分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测相交弦长问题探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟若直线l与探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2抛物线y2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测中点弦问题(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测中点弦问题探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B两点均在椭圆上,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:设弦的两端点分别探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为:(1)设点,即设出弦的两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟对中点弦问探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(

)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知椭圆x探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测存在性问题之探究案例

已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测存在性问题之探究探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测归纳提升(1)利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证.(2)确定好运算方法,形成运算程序的完备性,有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测归纳提升(1)利用“探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有(

)A.1条 B.2条 C.3条D.4条答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.过点(0,1)作探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是

.

解析:设线段AB的中点为M(x0,y0),∴x0=m,∴y0=x0+m=2m,∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,检验可知判别式Δ>0.故m=±1.答案:±1探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.已知直线l:x-探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为

.

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.抛物线x2=-y探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测2.8直线与圆锥曲线的位置关系2.8直线与圆锥曲线的位置关系核心素养

1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.(数学运算)3.加强数形结合思想的训练与应用.(直观想象)思维脉络核心素养1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.(数学抽象)激趣诱思知识点拨廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的行人在桥上纳凉休息,躲避风雨日晒.江西省境内就保存着大量的古廊桥,这些古廊桥最早建于唐代,最晚建于清代末期,是我国重要的文化遗产.风雨廊桥、徽派建筑、青石小道勾勒出了独具韵味的古典美,犹如一幅恬静的水墨丹青画卷.这幅画卷不仅给大家带来艺术美的享受,里面还蕴含着建筑结构、几何图形等理性的知识,比如,桥洞的截面有的呈半圆形,有的是方形,还有的呈抛物线形,如果把桥面的边沿和廊屋的立柱看成线段,同学们能找出直线和抛物线的哪些关系?激趣诱思知识点拨廊桥,顾名思义,桥上建有廊屋的桥,以便过往的激趣诱思知识点拨1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.如消去y后得ax2+bx+c=0.激趣诱思知识点拨1.直线与圆锥曲线的位置关系激趣诱思知识点拨①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).②若a≠0,设Δ=b2-4ac.Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.激趣诱思知识点拨①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双激趣诱思知识点拨微判断

答案:(1)×

(2)√

(3)×微思考椭圆与圆类似,是封闭曲线,能否用中心到直线的距离来判断直线与椭圆的位置关系?提示:不能.椭圆虽然与圆类似,但中心到椭圆上各点的距离不完全相等.激趣诱思知识点拨微判断答案:(1)×(2)√(3)×激趣诱思知识点拨2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.激趣诱思知识点拨2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题激趣诱思知识点拨微练习顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为

的抛物线方程为

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解析:设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①直线方程变形为y=2x+1,②设抛物线截直线所得弦为AB.将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,答案:y2=12x或y2=-4x激趣诱思知识点拨微练习探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测点与椭圆位置关系的判断

探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测点与椭圆位置关系的判探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意求解过程与结果的准确性.对于椭圆来说:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟处理点与椭探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究

若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究若将本例中探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测直线与圆锥曲线的位置关系判断例2已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,(1)l与C无公共点;(2)l与C有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点.分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测直线与圆锥曲线的位置探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟判断直线l探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1已知直线l:y=2x+m,椭圆C:.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:(1)有两个不同的公共点;(2)有且只有一个公共点;(3)没有公共点?探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1已知直线l探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测相交弦长问题例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=,求椭圆的方程.分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测相交弦长问题探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟若直线l与探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于(

)答案:A探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2抛物线y2探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测中点弦问题(1)以P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程;(2)斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(3)过Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析可利用平方差法求解,在求轨迹方程时要注意变量的范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测中点弦问题探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为R(x,y),则2x=x1+x2,2y=y1+y2.又A,B两点均在椭圆上,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:设弦的两端点分别探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟

对中点弦问题,常用的解题方法——平方差法,其解题步骤为:(1)设点,即设出弦的两端点坐标;(2)代入,即代入圆锥曲线方程;(3)作差,即两式相减,然后用平方差公式把上式展开,整理.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟对中点弦问探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为(

)探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练3已知椭圆x探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测存在性问题之探