2020年贵州省中考数学基础知识复习课件：第24讲 与圆有关的位置关系

第六单元圆第六单元圆第24讲与圆有关的位置关系第24讲与圆有关的位置关系思维导图思维导图点与圆的位置关系考点导学考点1设圆的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有:点在圆外⇔d＞r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d＜r.点与圆的位置关系考点导学考点1设圆的半径为r，点P到圆心O的1.（点与圆的位置关系）已知⊙O的半径为5，在同一平面内有三个点A,B,C,且OA=2,OB=3,OC=5,则这三个点中，在⊙O内的点是___________.基础点对点点A与点B1.（点与圆的位置关系）已知⊙O的半径为5，在同一平面内有三直线与圆的位置关系考点21.直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有:直线l和圆相交⇔d＜r；直线l和圆相切⇔d＝r；直线l和圆相离⇔d＞r.

2.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.直线与圆的位置关系考点21.直线与圆的位置关系：设圆的半径为3.切线的判定：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4.解决切线问题的一般方法：(1)当直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直.(2)当直线与圆的公共点未知时，作垂直证直线到圆心的距离等于圆的半径.(3)连接圆心和切点，构造直角三角形解题.5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.切线的判定：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆2.（直线与圆的位置关系）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是______.3.（切线的性质与判定）下列说法中，不正确的是()A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线4.（切线长定理）已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A,PB切⊙O于B.若PA=6，∠APB=60°，则PB=______,∠APO=______.基础点对点相交D630°2.（直线与圆的位置关系）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距三角形外接圆、内切圆考点3外接圆内切圆图形圆心外心(外接圆圆心，即三角形三条边垂直平分线的交点)内心(内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点)三角形外接圆、内切圆考点3外接圆内切圆图形圆心外心(外接圆圆外接圆内切圆性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等(可从垂直平分线得到相等线段、角和互余角，还可得到等腰或直角三角形)三角形的内心到三角形三条边的距离相等角度关系∠BOC=2∠A外接圆内切圆性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等(可从温馨提示

温馨提示

5.（三角形外接圆）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,它是三角形()A.三个内角平分线的交点B.三条边垂直平分线的交点C.三条高线的交点D.三条中线的交点6.（三角形内切圆）已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是____.基础点对点B15.（三角形外接圆）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,焦点1切线的性质样题1如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于()A.20°B.25°C.30°D.40°B焦点1切线的性质样题1如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O［解析］由切线的性质，得∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余，得∠POA=50°，最后利用圆心角与圆周角的关系得出结论.∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB=90°.∵∠P=40°，∴∠POA=90°-40°=50°，∴∠B=12∠POA=25°，故选B.［点评］本题主要考查切线的性质.［解析］由切线的性质，得∠PAB=90°，根据直角三角形的两变式训练1.(2019·益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A.PA=PBB.∠BPD=∠APDC.AB⊥PDD.AB平分PDD变式训练1.(2019·益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，

B

B3.(2019·荆州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD=10，BD=6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为__________．4或2.563.(2019·荆州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点方法指导1.解决与切线有关的线段问题时，常常构造直角三角形，然后利用勾股定理或直角三角形边角关系计算线段长度，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质解决问题；而在求角度时，利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系等求解；2.与坐标系结合的问题，要通过坐标系构造直角三角形，求得点的坐标；在求直线解析式时，要结合题干或是前面求解的条件，寻求直线上两点坐标，再利用待定系数法求解.方法指导1.解决与切线有关的线段问题时，常常构造直角三角形，焦点2切线的判定样题2如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．(1)如图1，当∠ACD=45°时，求证：DE是⊙O的切线；(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．焦点2切线的判定样题2如图，⊙O的直径AB的长为2，点C［解答］(1)证明：连接OD，如图1.∵∠ACD=45°，∴∠AOD=2∠ACD=90°.∵ED∥AB，∴∠AOD+∠EDO=180°，∴∠EDO=90°，∴ED⊥OD，∴DE是⊙O切线．［解答］(1)证明：连接OD，如图1.

变式训练4.（2019·遵义）如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC=BD，连接AD，BC.（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）若OD⊥AC，AB=4，求弦AC的长；（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP=2，连接PC.求证：PC是⊙O的切线.变式训练4.（2019·遵义）如图，AB是⊙O的直径，弦AC

（3）证明：连接OC.由（2）知BC=AB·cos60°=2，∴BC=BP=2，∴∠BCP=∠P.∵∠ABC=60°，∴∠BCP=30°.∵OC=OB，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°+30°=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线.（3）证明：连接OC.方法指导证明圆的切线时，常采用有交点，连半径，证垂直.证明垂直时常会用到如下方法：(1)图中有90°角(直径所对圆周角为90°或已知线段垂直关系)时：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质：证明切线与已知直角的一条边平行即可；③利用三角形相似：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形相似得证；④利用三角形全等：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形全等得证；(2)图中无90°角时：利用等腰三角形性质：通过证明切线为所在等腰三角形的中线或角平分线，再根据等腰三角形“三线合一”的性质得证.方法指导证明圆的切线时，常采用有交点，连半径，证垂直.证明垂与切线相关的证明和计算(10年5考)体验贵阳中考命题点11.(2015·贵阳)小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是_______.

与切线相关的证明和计算(10年5考)体验贵阳中考命题点11.2.（2019·贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上.（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.如果∠D=90°，DP=1，求⊙O的直径.2.（2019·贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O

（2）解：连接PC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP.∵∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，∴OA=AP.∵OA=OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°.又OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°.又OC=OB，∴△BCO为等边三角形，（2）解：连接PC.

延伸训练

延伸训练

2020年贵州省中考数学基础知识复习课件：第24讲与圆有关的位置关系

（1）证明：连接OC.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠OBC=90°.∵∠A=30°，∴AB=2BC.∵PC是⊙O切线，∴∠OCP=90°,∴∠BCP+∠OCB=90°.又OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠BCP=∠A=30°.又∠OBC=90°-∠A=60°,∠OBC=∠BCP+∠P,∴∠P=30°，∴PB=BC，∴PA=AB+BP=2BC+BC=3PB.（1）证明：连接OC.

(2)证明：∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC(ASA)，∴CB=CF.又CB=CE，∴CE=CF.(2)证明：∵∠BAC=∠CAE，

（1）解：DH与⊙O相切.理由：连接OD、AD.∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC.∵AB=AC，∴BD=CD，而AO=BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC.∵DH⊥AC，∴OD⊥DH，∴DH为⊙O的切线.（1）解：DH与⊙O相切.（2）证明：连接DE.∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，∴∠DEC=∠B.∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC.∵DH⊥CE，∴CH=EH，即H为CE的中点.（2）证明：连接DE.

培养核心素养7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”()A．3步B．5步C．6步D．8步C培养核心素养7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著8.(2019·潍坊)如图，在平面直角坐标系xOy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合.若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为_____________(n为正整数).

8.(2019·潍坊)如图，在平面直角坐标系xOy中，一组同第六单元圆第六单元圆第24讲与圆有关的位置关系第24讲与圆有关的位置关系思维导图思维导图点与圆的位置关系考点导学考点1设圆的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有:点在圆外⇔d＞r；点在圆上⇔d=r；点在圆内⇔d＜r.点与圆的位置关系考点导学考点1设圆的半径为r，点P到圆心O的1.（点与圆的位置关系）已知⊙O的半径为5，在同一平面内有三个点A,B,C,且OA=2,OB=3,OC=5,则这三个点中，在⊙O内的点是___________.基础点对点点A与点B1.（点与圆的位置关系）已知⊙O的半径为5，在同一平面内有三直线与圆的位置关系考点21.直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有:直线l和圆相交⇔d＜r；直线l和圆相切⇔d＝r；直线l和圆相离⇔d＞r.

2.切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.直线与圆的位置关系考点21.直线与圆的位置关系：设圆的半径为3.切线的判定：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.4.解决切线问题的一般方法：(1)当直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直.(2)当直线与圆的公共点未知时，作垂直证直线到圆心的距离等于圆的半径.(3)连接圆心和切点，构造直角三角形解题.5.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.3.切线的判定：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆2.（直线与圆的位置关系）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是______.3.（切线的性质与判定）下列说法中，不正确的是()A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线4.（切线长定理）已知P是⊙O外一点，PA切⊙O于A,PB切⊙O于B.若PA=6，∠APB=60°，则PB=______,∠APO=______.基础点对点相交D630°2.（直线与圆的位置关系）⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距三角形外接圆、内切圆考点3外接圆内切圆图形圆心外心(外接圆圆心，即三角形三条边垂直平分线的交点)内心(内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点)三角形外接圆、内切圆考点3外接圆内切圆图形圆心外心(外接圆圆外接圆内切圆性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等(可从垂直平分线得到相等线段、角和互余角，还可得到等腰或直角三角形)三角形的内心到三角形三条边的距离相等角度关系∠BOC=2∠A外接圆内切圆性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等(可从温馨提示

温馨提示

5.（三角形外接圆）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,它是三角形()A.三个内角平分线的交点B.三条边垂直平分线的交点C.三条高线的交点D.三条中线的交点6.（三角形内切圆）已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=5,则它的内切圆半径是____.基础点对点B15.（三角形外接圆）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等,焦点1切线的性质样题1如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于()A.20°B.25°C.30°D.40°B焦点1切线的性质样题1如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O［解析］由切线的性质，得∠PAB=90°，根据直角三角形的两锐角互余，得∠POA=50°，最后利用圆心角与圆周角的关系得出结论.∵PA切⊙O于点A，∴∠PAB=90°.∵∠P=40°，∴∠POA=90°-40°=50°，∴∠B=12∠POA=25°，故选B.［点评］本题主要考查切线的性质.［解析］由切线的性质，得∠PAB=90°，根据直角三角形的两变式训练1.(2019·益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A.PA=PBB.∠BPD=∠APDC.AB⊥PDD.AB平分PDD变式训练1.(2019·益阳)如图，PA、PB为圆O的切线，

B

B3.(2019·荆州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过B点的切线交AC的延长线于点D，E为弦AC的中点，AD=10，BD=6，若点P为直径AB上的一个动点，连接EP，当△AEP是直角三角形时，AP的长为__________．4或2.563.(2019·荆州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点方法指导1.解决与切线有关的线段问题时，常常构造直角三角形，然后利用勾股定理或直角三角形边角关系计算线段长度，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质解决问题；而在求角度时，利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系等求解；2.与坐标系结合的问题，要通过坐标系构造直角三角形，求得点的坐标；在求直线解析式时，要结合题干或是前面求解的条件，寻求直线上两点坐标，再利用待定系数法求解.方法指导1.解决与切线有关的线段问题时，常常构造直角三角形，焦点2切线的判定样题2如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．(1)如图1，当∠ACD=45°时，求证：DE是⊙O的切线；(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．焦点2切线的判定样题2如图，⊙O的直径AB的长为2，点C［解答］(1)证明：连接OD，如图1.∵∠ACD=45°，∴∠AOD=2∠ACD=90°.∵ED∥AB，∴∠AOD+∠EDO=180°，∴∠EDO=90°，∴ED⊥OD，∴DE是⊙O切线．［解答］(1)证明：连接OD，如图1.

变式训练4.（2019·遵义）如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC=BD，连接AD，BC.（1）求证：△ADB≌△BCA；（2）若OD⊥AC，AB=4，求弦AC的长；（3）在（2）的条件下，延长AB至点P，使BP=2，连接PC.求证：PC是⊙O的切线.变式训练4.（2019·遵义）如图，AB是⊙O的直径，弦AC

（3）证明：连接OC.由（2）知BC=AB·cos60°=2，∴BC=BP=2，∴∠BCP=∠P.∵∠ABC=60°，∴∠BCP=30°.∵OC=OB，∠ABC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB=60°，∴∠OCP=∠OCB+∠BCP=60°+30°=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线.（3）证明：连接OC.方法指导证明圆的切线时，常采用有交点，连半径，证垂直.证明垂直时常会用到如下方法：(1)图中有90°角(直径所对圆周角为90°或已知线段垂直关系)时：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质：证明切线与已知直角的一条边平行即可；③利用三角形相似：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形相似得证；④利用三角形全等：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形全等得证；(2)图中无90°角时：利用等腰三角形性质：通过证明切线为所在等腰三角形的中线或角平分线，再根据等腰三角形“三线合一”的性质得证.方法指导证明圆的切线时，常采用有交点，连半径，证垂直.证明垂与切线相关的证明和计算(10年5考)体验贵阳中考命题点11.(2015·贵阳)小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是_______.

与切线相关的证明和计算(10年5考)体验贵阳中考命题点11.2.（2019·贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上.（1）求证：OP∥BC；（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D.如果∠D=90°，DP=1，求⊙O的直径.2.（2019·贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O

（2）解：连接PC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP.∵∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，∴OA=AP.∵OA=OP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°.又OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°.又OC=OB，∴△BCO为等边三角形，（2）解：连接PC.

延伸训练

延伸训练

2020年贵州省中考数学基础知识复习课件：第24讲与圆有关的位置关系

（1）证明：连接OC.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠OBC=90°.∵∠A=30°，∴AB=2BC.∵PC是⊙O切线，∴∠O