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文档简介
挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题13二次函数与交点公共点综合问题
【例1】(2021•宜昌)在平面直角坐标系中,抛物线y1=﹣(x+4)(x﹣n)与x轴交于点A和点B(n,0)(n≥﹣4),顶点坐标记为(h1,k1).抛物线y2=﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9的顶点坐标记为(h2,k2).(1)写出A点坐标;(2)求k1,k2的值(用含n的代数式表示)(3)当﹣4≤n≤4时,探究k1与k2的大小关系;(4)经过点M(2n+9,﹣5n2)和点N(2n,9﹣5n2)的直线与抛物线y1=﹣(x+4)(x﹣n),y2=﹣(x+2n)2﹣n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时,求n的值.【例2】(2021•德州)小刚在用描点法画抛物线C1:y=ax2+bx+c时,列出了下面的表格:x…01234…y…36763…(1)请根据表格中的信息,写出抛物线C1的一条性质:;(2)求抛物线C1的解析式;(3)将抛物线C1先向下平移3个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到新的抛物线C2;①若直线y=x+b与两抛物线C1,C2共有两个公共点,求b的取值范围;②抛物线C2的顶点为A,与x轴交点为点B,C(点B在点C左侧),点P(不与点A重合)在第二象限内,且为C2上任意一点,过点P作PD⊥x轴,垂足为D,直线AP交y轴于点Q,连接AB,DQ.求证:AB∥DQ.【例3】(2021•黔西南州)如图,直线l:y=2x+1与抛物线C:y=2x2+bx+c相交于点A(0,m),B(n,7).(1)填空:m=,n=,抛物线的解析式为.(2)将直线l向下移a(a>0)个单位长度后,直线l与抛物线C仍有公共点,求a的取值范围.(3)Q是抛物线上的一个动点,是否存在以AQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【例4】(2021•绵阳)如图,二次函数y=﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y=﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧),与y轴交于点C,点A的横坐标恰好为a.动点P、Q同时从原点O出发,沿射线OB分别以每秒和2个单位长度运动,经过t秒后,以PQ为对角线作矩形PMQN,且矩形四边与坐标轴平行.(1)求a的值及t=1秒时点P的坐标;(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时,求时间t的取值范围;(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R,作关于原点(0,0)的对称点为R′,当点M恰在抛物线上时,求R′M长度的最小值,并求此时点R的坐标.【例5】(2020•襄阳)如图,直线y=-12x+2交y轴于点A,交x轴于点C,抛物线y=-14x2+bx+c经过点A,点(1)直接写出点A,点B,点C的坐标及拋物线的解析式;(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M,求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标;(3)将线段OA绕x轴上的动点P(m,0)顺时针旋转90°得到线段O′A′,若线段O′A′与抛物线只有一个公共点,请结合函数图象,求m的取值范围.【题组一】1.(2021•苏州模拟)问题一:已知二次函数:y=(x﹣m)2﹣2m﹣(m为常数),当m取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”.我们发现:是当m取不同数值时,此二次函数的图象的顶点在同一条直线上,那么这条直线的表达式是.问题二:已知直线l:y=x﹣2交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线L:y=(x﹣m)2﹣2m﹣(m为常数)图象的顶点为C.(1)如图1,若点C在Rt△AOB的内部(不包括边界),求m的取值范围;(2)如图2,当抛物线L的图象经过点A,B时,在抛物线上(AB的下方)是否存在点P,使∠ABO=∠ABP?若存在,求出点P的横坐标;若不存在.请说明理由.2.(2021•东城区二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2﹣3ax+1与y轴交于点A.(1)求抛物线的对称轴;(2)点B是点A关于对称轴的对称点,求点B的坐标;(3)已知点P(0,2),Q(a+1,1).若线段PQ与抛物线与恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.3.(2021•南关区一模)在平面直角坐标系中,把函数y=ax2+2bx+2(a、b为常数)的图象记为G.(1)求G与y轴交点的坐标.(2)当b=2时,G与x轴只有一个交点,求a的值.(3)①设k≠0,若点A(2﹣k,t)在G上,则点B(2+k,t)必在G上,且G过点C(3,﹣1),求G的函数表达式.②点D(1,y1)、E(4,y2)是①中函数图象上的两点,比较y1与y2的大小.③点P(m,y3)、Q(m+3,y4)是①中函数图象上的两点,比较y3与y4的大小.(4)矩形FHMN四个顶点的坐标分别为F(1,﹣2)、H(4,﹣2)、M(4,4)、N(1,4),当a=﹣1时,函数y=ax2+2bx+2(x≥0)的图象在矩形FHMN内部的部分均为自左向右下降时,直接写出b的取值范围.4.(2021•九江一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+m的顶点为A.(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示);(2)若点A在第一象限,且OA=,求抛物线的解析式;(3)已知点B(m﹣1,m﹣2),C(2,2).若该抛物线与线段BC有公共点,结合函数图象,求出m的取值范围.【题组二】5.(2021•邯郸模拟)如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线G:y=ax2﹣4ax+1(a>0).(1)若抛物线过点A(﹣1,6),求出抛物线的解析式;(2)当1≤x≤5时,y的最小值是﹣1,求1≤x≤5时,y的最大值;(3)已知直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2﹣4ax+1(a>0)存在两个交点,若两交点到x轴的距离相等,求a的值;(4)如图2,作与抛物线G关于x轴对称的抛物线G',当抛物线G与抛物线G'围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时,直接写出a的取值范围.6.(2021•姜堰区一模)已知,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a为常数,且a≠0)的图象与x轴交于点A、B(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,将点A绕着点C顺时针旋转90°至点P.(1)求A、B两点的坐标;(2)设点P的坐标为(m,n),试判断m+n的值是否发生变化?若不变,请求出m+n的值;若变化,请说明理由;(3)若点D、Q在平面直角坐标系中,且D(0,﹣1),D、Q、P、C四点构成▱CPDQ.①求点Q的坐标(用含a的代数式表示);②若▱CPDQ的边DQ与二次函数的图象有公共点,直接写出满足条件的a的取值范围.7.(2021•襄州区二模)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,6)和B(﹣2,﹣2).(1)求c的值,并用含a的代数式表示b.(2)当a=时,①求此函数的表达式,并写出当﹣4≤x≤2时,y的最大值和最小值.②如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C,作直线AC,D为直线AC下方抛物线上一动点,过点D作DE⊥OC于点E,与AC交于点F,作DM⊥AC于点M.是否存在点D使△DMF的周长最大?若存在,请求出D点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若线段GH的端点G、H的坐标分别为(﹣5,10)、(1,10),此二次函数的图象与线段GH只有一个公共点,求出a的取值范围.8.(2021•朝阳区校级三模)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2x+1+m.(1)求此抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示);(2)如果当﹣2<x<﹣1时,y>0,并且当2<x<3时,y<0,求该抛物线的表达式;(3)如果(2)中的抛物线与x轴相交于A、B(点A在点B左侧),现将x轴下方的图象沿x轴向上翻折,得到的图象与剩余的图象组成的图形记为M,当直线l:y=﹣x+k与M有两个公共点时,直接写出k的取值范围.【题组三】9.(2021•天心区二模)定义:二元一次不等式是指含有两个未知数(即二元),并且未知数的次数是1次(即一次)的不等式;满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集,如:x+y>3是二元一次不等式,(1,4)是该不等式的解.有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标,于是二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.(1)已知A(,1),B(1,﹣1),C(2,﹣1),D(﹣1,﹣1)四个点.请在直角坐标系中标出这四个点,这四个点中是x﹣y﹣2≤0的解的点是.(2)设的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为G.①求G的面积;②反比例函数y=(x>0)的图象和图形G有公共点,求k的取值范围;(3)设的解集围成的图形为M,直接写出抛物线y=mx2﹣2mx+m+与图形M有交点时m的取值范围.10.(2021•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+m+2,(1)该抛物线的顶点坐标为(用含m的代数式表示);(2)若该抛物线经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),其中x1<m<x2,且x1+x2<2m,则y1与y2的大小关系是:y1y2(填“>,=,或<”号);(3)点C(﹣4,﹣2),将点C向右平移6个单位长度,得到点D.当抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+m+2与线段CD有且只有一个公共点时,结合函数图象,求m的取值范围.11.(2021•商水县三模)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),B(1,)两点,对称轴是直线x=1.(1)求抛物线的解析式;(2)若C(m,y1),D(n,y2)为抛物线y=ax2+bx+c上两点(m<n).Q为抛物线上点C和点D之间的动点(含点C,D),点Q纵坐标的取值范围为,求m+n的值;(3)已知点E(p,﹣p),F(2,1),若抛物线与线段EF有一个交点,求p的取值范围.12.(2021•靖江市一模)已知抛物线y=x2+(m﹣2)x﹣3,抛物线与坐标轴交于点A(3,0)、B两点.(1)求抛物线解析式;(2)当点P(2,a)在抛物线上时.①如图1,过点P不与坐标轴平行的直线l1与抛物线有且只有一个交点,求直线l1的方程;②如图2,若直线l2:y=2x+b交抛物线于M,点M在点P的右侧,过点P(2,a)作PQ∥y轴交直线l2于点Q,延长MQ到点N使得MQ=NQ,试判断点N是否在抛物线上?请说明理由.【题组四】13.(2020•滨湖区模拟)如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x﹣2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=12x2+bx+c经过A、C两点,与(1)求抛物线的函数表达式;(2)点D为直线AC下方抛物线上一动点;①连接CD,是否存在点D,使得AC平分∠OCD?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.②在①的条件下,若点P为抛物线上位于AC下方的一个动点,以P、C、A、D为顶点的四边形面积记作S,则S取何值或在什么范围时,相应的点P有且只有两个?14.(2020•姜堰区二模)二次函数y=m6x2-2m3x+m(m>0)的图象交y轴于点A,顶点为P,直线PA与(1)当m=1时,求顶点P的坐标;(2)若点Q(a,b)在二次函数y=m6x2-2m3x+m(m>0)的图象上,且b﹣m>(3)在第一象限内,以AB为边作正方形ABCD.①求点D的坐标(用含m的代数式表示);②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点,请直接写出符合条件的整数m的值.15.(2020•天心区模拟)如图,抛物线y=-845(x+1538)(x﹣3m)(其中m>0)与x轴分别交于A、B两点((1)点B的坐标为(-1538,0),点A的坐标为(3m,0)(用含m的代数式表示),点C的坐标为(0,3m)(2)若点P为直线AC上的一点,且点P在第二象限,满足OP2=PC•PA,求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标;(3)在(2)的情况下,线段OP与抛物线相交于点Q,若点Q恰好为OP的中点,此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间(含点C与顶点)的任意一点M(x0,y0)总能使不等式n≤43x0+23316及不等式2n-916≥-16.(2020•开福区校级二模)如图,抛物线y=mx2+4mx﹣12m(m<0)与x轴相交于点A、B(点A在点B的右边),顶点为C.(1)求A、B两点的坐标;(2)若△ABC为等边三角形,点M(x0,y0)为抛物线y=mx2+4mx﹣12m(m<0)上任意一点,总有n-856≥1633my02+403y(3)若m=-12,点P为x轴上一动点,若α=∠CAB+∠CPB,当tanα=4【题组五】17.(2020•天心区校级模拟)对某一个函数给出如下定义:若存在实数M>0,对于任意的函数值y,都满足﹣M≤y≤M,则称这个函数是有界函数,在所有满足条件的M中,其最大值称为这个函数的边界值.例如,图中的函数是有界函数,其边界值是1.(1)分别判断函数y=1x(x>0)和y=x+2(﹣4≤x≤(2)若函数y=﹣x+2(a≤x≤b,b>a)的边界值是3,且这个函数的最小值也是3,求b的取值范围;(3)将函数y=x2(﹣1≤x≤m,m≥0)的图象向下平移m个单位,得到的函数的边界值是t,当m在什么范围时,满足34≤t≤18.(2020•思明区校级模拟)已知抛物线C:y1=a(x﹣h)2﹣1,直线l:y2=kx﹣kh﹣1.(1)判断命题“抛物线C的对称轴不可能是y轴”的真假,并说明理由;(2)求证:直线l恒过抛物线C的顶点;(3)①当a=﹣1,m≤x≤2时,y1≥x﹣3恒成立,直接写出m的取值范围;②当0<a≤2,k>0时,若在直线l下方的抛物线C上至少存在两个横坐标为整数的点,求k的取值范围.19.(2020•海陵区一模)已知抛物线y1=ax2﹣2amx+am2+4,直线y2=kx﹣km+4,其中a≠0,a、k、m是常数.(1)抛物线的顶点坐标是,并说明上述抛物线与直线是否经过同一点(说明理由);(2)若a<0,m=2,t≤x≤t+2,y1的最大值为4,求t的范围;(3)抛物线的顶点为P,直线与抛物线的另一个交点为Q,对任意的m值,若1≤k≤4,线段PQ(不包括端点)上至少存在两个横坐标为整数的点,求a的范围.20(2020•遵化市三模)已知点P(2,﹣3)在抛物线L:y=ax2﹣2ax+a+k(a,k均为常数,且a≠0)上,L交y轴于点C,连接CP.(1)用a表示k,并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标;(2)当L经过(3,3)时,求此时L的表达式及其顶点坐标;(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,当a<0时,若L在点C,P之间的部分与线段CP所围成的区域内(不含边界)恰有4个整点,求a的取值范围;(4)点M(x1,y1),N(x2,y2)是L上的两点,若t≤x1≤t+1,当x2≥3时,均有y1≥y2,直接写出t的取值范围.【题组六】21.(2020•中原区校级模拟)如图1所示,抛物线y=23x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知C点坐标为(0,4),抛物线的顶点的横坐标为72,点P是第四象限内抛物线上的动点,四边形(1)求抛物线的解析式;(2)求使△APC的面积为整数的P点的个数;(3
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