小学数学讲义暑假五年级第3讲棋盘中的数学超常体系

第三讲棋盘中的数学站牌五年级暑假胜策略级秋季级春季暑假的数学级春季智巧趣题形，阶梯释义第9级上超常体系教师版1引入你玩过“俄罗斯方块”吗？它是一款风靡全球的游戏，原本是前苏联科学家阿列克谢·帕基特诺夫所开发的教育用软件.标准的“俄罗斯方块”中共有以下七种图形：些图形来覆盖国际象棋棋盘有很多有趣的数学问题，让我们一起来学习吧！目标1、理解并掌握覆盖的前提2、掌握并能运用黑白染色的方法，结合数论知识解决一些“能”与“不能”的操作类问题3、理解其他的染色方法精讲本讲主要是通过利用染色技巧，结合数论知识，进行推理回答＂能＂与＂不能＂的问题，培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力．这里的染色问题不是要求如何染色然后问有多少种染色方法的那类题目的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法通过将问题中的对象适当染色以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系再经过一定的逻辑推理便能得出问题的答案题不需要太多的数学知识但技巧性、逻辑性较强要注意学会几种典形的染色方法思路12 第9级上超常体系教师版(1)一种骨牌是由形如 重复地完全覆盖？（A）3×4 （B）3×5（C）4×4 （D）4×5（E）6×3(2)用若干个 和 3【分析】(1)B，从奇偶性考虑(2)不能，从奇偶性考虑(3)不能，俄罗斯方块每块均是4格，4不能整除5×6小结：此题提示孩子，在覆盖问题中，首先从面积大小及整除性来判断．覆盖中的最值问题也会用到此类思想．2(学案对应：超常1)总是黑白格各一个，所以不可能做到．()这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格上，所有黑格的坐到白格上．但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格个数不相等，故不能办到．71【分析】可以通过染色发现黑白方格个数相同，可以按一黑一白分成7块含有2个小方格的长方形，剪成1×2的七个小矩形?（1） （2） （【分析】先对4×4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1×2矩形能否分别覆盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1×2矩形可以覆盖剪残的棋盘,因为每个1×2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都,7,7棋盘(1)可以被7个1×2的矩形所覆盖.下面给出一种剪法:7方形？，有867不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形．4 第9级上超常体系教师版际象棋的历史常残暴的国王，自己独断专行，想干什么就干什么。国王有个亲信大臣，他想拿“君王不能离开臣民而存在”的道理来劝告国王，但又不敢公开提出自己的意见。他想出了一个暗示的办法：在木制棋盘上，用骨制的棋子组成两支军队进行战斗；每一方都有一个首脑——王，另有车、马、象、兵四个兵种，组合成一个阵容的整体，王是最主要的棋子，王一死，战斗便结束；王同时又是很弱的一环，他只能依靠战友——即别的更有力的棋子保护，这些棋子必须在整个战斗过程中同心协力来保卫王。它一方面往西传到波斯、阿拉伯和欧洲，经过改如：增加了“后”)，形成现代的国际象棋；另一方面往东传到缅甸、东南亚和中国。3(1)有一次车展共5525个展室，如图(1)，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?(2)如图(2)，能否沿此图上的线画出一条线，使得每个节点都恰好经过一次？图(1 (学案对应：带号1)口处是黑格，从入口到出口共要走24步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处是白格，因此不可能不重复由入口到出口走遍每个展室(2)将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差1.而其中一共有9个黑点，7个白点，白点比黑点少2个，因此不能.【巩固】有一次车展共4416个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?第9级上超常体系教师版5【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．入口处是白格，从入口到出口共要走15步，那么最后一步必然是黑格.然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室.【巩固】如图，是连接14个城市的道路图.是否有一条路线可以经过每一个城市恰好一次？【】将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点要每1.黑点，8个白点，白点比黑点多2个，因此不能.4问：这只马能否不重复地走遍棋盘上的每一个格，最后停在右上角的格中？否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？马【分析】(1)马走“日”字，在棋盘中每次会从白格走到黑格，从黑格走到白格。从白格停到白格，(2)马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●．因为马走“日”字，每步只能从同色的点，要跳奇数步．现在马在○点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有232245个点，所以不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点．6 第9级上超常体系教师版讨论：如果马的出发点不是在○点上而是在●点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋“发点”的要求，那么情况就不一样了．从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44个点，要个，所以起点必是●，终点也是●．也就是说，当不要求回到出发点时，只要从●的位置出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点．51(1)变为表(2)，那么表(2)中A处的数是

表(1) 【分析】将表(1)黑白相间染色，因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中黑白数码55【拓展】对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去(1) 6 和15个 形纸片,拼成一个88的正方形棋盘?()“俄罗斯方块，(1)，如果能拼出来出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。(3)你能不能用“俄罗斯方块”的七种图形各一次，拼成一个图(2)所示的图形，如果能拼出来，画出这种拼法，如果不能拼出来，请说明理由。图(1 (学案对应：超常3)【分析

(1)将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88的棋盘.(2)黑白染色，可发现“T”字形与其他图形的染色方式奇偶性不同，因此不能．15T2论上可行(注：理论上可行不代表实际能办到)．通过右图可发现可以办到．.【分析】不能，对45长方形作黑白染色8 第9级上超常体系教师版黑格数白格数，但若对①、② 、③、④ 、⑤这五个图形进行黑白染色，图①②③⑤黑格白格，但图④黑白，所以办不到．7(1)能不能用15个 ，拼成一个8×8的正方形？请说明理由．(2)能不能用1个 (学案对应：带号3)【分析】(1)将88的方格如图条形染色.那么我们把22的正方形放入方格中，必定可以盖住2个黑格子和2个白格子；把L形放入方格中，必定可以盖住1个黑格子，3个白格子；或1个白格子，3个黑格子.L形盖住的黑白格子数都是奇数个，那么15个L形盖住的黑格子和..(2)若仍然将88的大正方形黑白相间染色，则22和41两种形状盖住的都是两白两黑．必须寻找其他的染色方法．新的方法必须使得22和41长方形无论放在何处，都可产生一定差别．采用如右图的染色方法，则：41长方形必盖住两黑两白，共15个41，盖住30黑30白；22正方形可盖住3白1黑或3黑1白．可以发现，总共只能盖住31黑33白或31白33黑，而图中实际有32个黑格32个白格，故不可能用15个41和1个22的正方形盖住88的大正方形．第9级上超常体系教师版98(1)用9个1×4的小长方形能否拼成一个66的正方形？请说明理由．(2)在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被摆成一个99的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿轮换式染色，如下左图．这样，可以发现无论将14长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个．要不重叠地拼出66，9个3、8个4，因而不可能用9个14长方形拼出66正方形．10第9级上超常体系教师版法2：如下右图，可以发现共20个黑格，16个白格．黑比白多4，而1×4的格子每次能盖住2黑2白，黑=白，因此不可能．(2)不能.如图,将整个棋盘的每一格都分别染上黑、白、灰三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.因为一开始时,81枚棋子摆成一个99的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数而另一部分上的棋子数为奇数这种结果是不可能出现的【拓展】用若干个16和17的小长方形既不重叠，也不留孔隙地拼成一个1112的大长方形，问最少要用小长方形多少个【分析】因为大长方形的面积是1211132，小长方形的面积分别是6和7，所以小长方形的个数有四种可能，分别是1个16的小长方形和18个17的小长方形；8个16的小长方形和12个17的小长方形；15个16的小长方形和6个17的小长方形；22个16的小长方形.方形.将大长方形划分成132个11的小正方形，选取如图的20个小正方形染成黑色.这19个小长方形无论怎样放置，每个小长方形最多只能覆盖1个黑色的小正方形，一共最多只能覆盖19个黑色的小正方形，所以用1个16的小长方形和18个17的小长方形无法覆如果使用8个16的小长方形和12个17的小长方形，用8个16的小长方形可以拼成1个124的长方形，12个17的小长方形可以拼成1个127的长方形，而这两个长方形即可拼成1112的大长方形，所以最少要用小长方形20个.后问题国际象棋棋局中实力最强的一种棋子是皇后，它横、竖、斜都可以走，步数不受限制，但不案：有两种布局方法：点总结棋盘覆盖问题的解决方法1.判断面积；12第9级上超常体系教师版2.通过适当的染色方式区分出理论与实际的差别；3.若不行，说明原因；若可行，写出方案．常见的染色方式：1.黑白染色(最常用)2.轮换式染色(可区分“一”字形)3.条形染色(可区分“L”形和“田”字形)4.阶梯染色(可区分“田”字形和“一”字形)作业1.在下图（1）、（2）、（3）、（4）四个图形中：可以用若干个 和拼成的图形是____号。2.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前、后、左、右相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么?【分析】把影院的座位图画成黑白相间的矩形(29×31),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格，则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换.由于黑白格的总数不相等,因此是不可能的．3.如右图，在55方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中? 【分析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑A格．4.下图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马．众所周知，马是走“日”字的．请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点？马【分析】如下图方式进行染色，可看出共23个黑点，22个白点，从白点出发，白黑相间的走，若能成功，必是“白黑”或是“白－黑=1情况．因此不可能实现．1(1) (2)【分析】将44的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图⑴知这个差是8，由图⑵可知：白格数之和黑格数之和(A7)88，所以A9．6.能否用9个“ ”形卡片拼成一个66的棋盘？注：从本题强调“T”形拼板在染色上的特殊性.7.能不能用15个 形和1个 14第9级上超常体系教师版【分析】将8×8的方格如图条形染色.那么我们用 子和白格子也必然是奇数个.而在8×8的方格中，共有32个黑格子，32个白格子.因此不能用15个 8.用8个1×3的小长方形格子去覆盖5×5的正方形，会多出一个格子未被覆盖。请在下图中画出一种覆盖方式。【可先对大正方形轮换式染色（或编号）“2”经过尝试，可发现只能挖掉中间的格子。班学案【超常班学案1】如图，缺两格的88方格有62个格，能否用31个 空隙?

可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑．要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等．但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个不重不漏地盖住．⑴选择上下或左右紧邻的两个数 图【分析】我们可以直接将题目中的图形涂成黑白相间图案，黑色代表０，白色代表１．则如下图：由于是每次上、下或左右同时加１或者同时减１，则涂色部分与未涂色部分必然是同时变动，所以他们的总和之间的差是没有变化的．18;0所以A=19．【超常班学案3】在66的方格表中，用若干由3个单位方格组成的“L”形纸片和由4个单位方格组成的“凸”形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.形纸片；12张“L”形纸片.方式染色，可以得到18个黑格和18个白格.对于一张“凸”形纸片来说，或者可以覆盖到1.形纸片覆盖1个44的方格表，将剩余的部分用2张“凸”形纸片和4张“L”形纸片覆盖即可.所以，所用纸片最少为10张.【分析】如下图对大正方体黑白染色，可知道图中共有112个黑色小正方体，104个白色小正方体，能办到．16第9级上超常体系教师版123班学案中各放一枚棋子，分别代表警察和小偷．若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中的一个走入另一个．现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的邻格之中．如果在6步之内，警察走入小偷所在的格子之中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败．问：警察应如何取胜？ 【分析】如果警察直逼小偷，反而抓不到小偷．如果警察求胜心切，一开始就向9号方向扑去，那么他一定抓不到小偷．为了说明这一点，将3，6，9号小圆圈染成黑色，其余为白色．容易看到：除1，2号两个相邻的小圆圈同色以外，其余(黑到白、由白到黑，反复交替，小偷也是如此．所以双方走了相同的步数之后，必处于同色的小圆圈中，轮到警察走时，他只能走入另一种颜色的小圆圈中，当然抓不到小偷，这说明直逼小偷，反而不能成功．从前面的分析可以看出：警察要抓住小偷．必须把他所在的小圆圈的颜色调整到与小偷所在的小圆圈的颜色不同才有可能．为此，就得利用①、②号同色且相邻的小圆圈．所以警察应采取“以退为进”的策略，先退到①，前三步走③1①2②3③．这三步之后，警察回到原来的黑圈．这时，小偷在黑白相间的小圆圈之间也走了三步，必然走入白圈之中，即在④、⑤、⑦、⑧号小圆圈中的一个．如果是在④、⑤号小圆圈中，只需再走一步就可以抓住小偷了．如果是在⑦、⑧号小圆