20202021武汉中考数学二次函数综合试题

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2020-2021武汉中考数学二次函数综合试题

一、二次函数

1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．

（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．

3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为极点的四边形是平行四边形，请直接写出吻合条件点D的坐标．

【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(3

2

15，4)；(3)吻合条件的点D的坐标为D1(0，3)，

23D(﹣6，﹣3)，D(﹣2，﹣7)．【解析】【解析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，依照抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再依照待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线订交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y轴交直线ABFS△△△于点，利用ABP＝SPBF+SPFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；

(3)求出点E的坐标，尔后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再依照以点B、E、C、D为极点的四边形是平行四边形，获取直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠的0)对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，ab＝0＝1，∴，解得：＝9a3b＝230b∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；

(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，

∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，

∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，

＝2＝4＝，∴＝，解得：5，x1y∴点B(﹣4，﹣5)，

如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，

则点F(m，m﹣1)，

PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，

S△ABP＝S△PBF+S△PFA

1(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+1(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)22

-5（m+3）2+125，

228

∴当m＝3时，P最大，2315∴点P(，).24(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，

∴点E(﹣1，﹣2)，

如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y＝﹣x﹣3，

∵以点B、C、E、D为极点的四边形是平行四边形，

∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝

x﹣9，

＝3联立1xy3同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，

综上所述，吻合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．

【点睛】

此题观察二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是要点；关于第(3)小题，要注意分类谈论、数形结合的运用，不要漏解．

2．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的极点，直线y＝mx+5分别交x轴

正半轴，y轴于点A，B．

1）判断极点M可否在直线y＝4x+1上，并说明原由．

2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，依照图象，写出x的取值范围．

3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（1，y1），D（3，y2）44

都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；原由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞

5；（3）①当0＜b＜1时，y1＞y2，②当b＝1时，y1＝y2，③当1＜b＜4时，y1＜2225

y2．

【解析】

【解析】

1）依照极点式解析式，可得极点坐标，依照点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；

2）依照待定系数法，可得二次函数的解析式，依照函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；

3）依照解方程组，可得极点M的纵坐标的范围，依照二次函数的性质，可得答案．【详解】

1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的极点，

∴M的坐标是（b，4b+1），

把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，

∴点M在直线y＝4x+1上；

（2）如图1，

直线y＝mx+5交y轴于点B，

∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，

5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，

当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0）．

由图象，得

当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，A（5，0），B（0，5）得直线AB的解析式为y＝﹣x+5，y4x1联立EF，AB得方程组x，y54x解得5，21y5∴点E（4，21），F（0，1）．5

点M在△AOB内，

1＜4b+1＜21，5∴0＜b＜4．5当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣1＝3﹣b，∴b＝1，442且二次函数图象张口向下，极点M在直线y＝4x+1上，综上：①当0＜b＜1时，y122＞y，②当b＝1时，y1＝y2，2③当1＜b＜4时，y1＜y2．25

【点睛】

此题观察了二次函数综合题，解（1）的要点是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）

的要点是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的要点是解方程组得

出极点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小

函数值越大．

3．如图，抛物线y1x22x2与x轴订交于A，B两点，（点A在B点左侧）与22y轴交于点C.

（Ⅰ）求A，B两点坐标.（Ⅱ）连接AC，若点P在第一象限的抛物线上，P的横坐标为t，四边形ABPC的面积为S.试用含t的式子表示S，并求t为何值时，S最大.（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点G,H分别为抛物线及其对称轴上的点，点G的横坐标为m，点H的纵坐标为n，且使得以A,G,H,P四点组成的四边形为平行四边形，求满足条件的m,n的值.【答案】（Ⅰ）A(2,0),B(22,0)；（Ⅱ）S2(t2)242(0t22),2当t2时，S最大42；（Ⅲ）满足条件的点m、n的值为：m2,n3，或24m52,n15，或m32,n12424【解析】

【解析】

（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；

（Ⅱ）设出点P的坐标，利用S=S△AOC+S梯形OCPQ+S△PQB，即可得出结论；

（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相均分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论．

【详解】

解：（Ⅰ）抛物线y1x22x2，22令y0，则1x22x20，22解得：x2或x22，A2,0,B22,0

（Ⅱ）由抛物线y1x22x2，令x0，∴y2，∴C0,2，22如图1，点P作PQx轴于Q，∵P的横坐标为t，∴设Pt,p，∴p1t22t2,PQp，BQ22t,OQt22∴SSVAOCSSVPQB12212pt122tp梯形OCPQ2222t1pt2p1pt2pt22221t22t2t2222t222(0t22)4，2∴当t2时，S最大42；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，t2，∴P2,2，

∵抛物线y1x22x2的对称轴为x2，222∴设Gm,1m22m2,H2,n222以A,G,H,P四点组成的四边形为平行四边形，A2,0，①当AP和HG为对角线时，∴1221m2,12011m22m2n，2222222∴m2,n3，4

当AG和PH是对角线时，

∴1m2122,11m22m201n2，2222222∴m52,n15，24③AH和PG为对角线时，∴1221m2,11m22m221n0，2222222∴m32,n1，24即：满足条件的点m、n的值为：m2,n3，或m52,n15，或m32,n1242424【点睛】

此题是二次函数综合题，主要观察了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解此题的要点．

4．已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点

A（﹣1，0）和

C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，可否存在点

P，使

PA+PC的值最小？若是存在，央求出点

P的

坐标，若是不存在，请说明原由；（3）设点

M在抛物线的对称轴上，当

△MAC是直角三角形时，求点

M的坐标．

【答案】（1）yx22x3；（2）当PAPC的值最小时，点P的坐标为1,2；（3）点M的坐标为1,1、1,2、1,8或1,2.33【解析】

【解析】

由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

2连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PAPC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特点可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特点即可求出点P的坐标；3设点M的坐标为1,m，则CM(10)2(m3)2，AC[01]2(30)210，AM[11]2(m0)2，分AMC90o、ACM90o和CAM90o三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标．【详解】解：1将A1,0、C0,3代入yx2bxc中，1bc0b2得：c3，解得：c3，抛物线的解析式为yx22x3．2连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PAPC取最小值，如图1所示．

当y0时，有x22x30，解得：x11，x23，

点B的坐标为3,0．Q抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线x1．设直线BC的解析式为ykxdk0，将B3,0、C0,3代入ykxd中，3kd0k1得：d3，解得：d3，直线BC的解析式为yx3．Q当x1时，yx32，当PAPC的值最小时，点P的坐标为1,2．3设点M的坐标为1,m，则CM(10)2(m3)2，AC[01]2(30)210，AM[11]2(m0)2．分三种情况考虑：①当AMC90o时，有AC2AM2CM2，即101(m3)24m2，解得：m11，m22，点M的坐标为1,1或1,2；②当ACM90o时，有AM2AC2CM2，即4m2101(m3)2，解得：m8，3点M的坐标为1,8；3③当CAM90o时，有CM2AM2AC2，即1(m3)24m210，解得：m2，3点M的坐标为1,2.3

综上所述：当

VMAC是直角三角形时，点

M的坐标为

1,1

、

1,2

、

1,8或

1,

2.

3

3

【点睛】此题观察待定系数法求二次

(

一次

)

函数解析式、二次

(一次

)函数图象的点的坐标特点、

轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的要点是：

1

由点的坐标，利用待定系数

法求出抛物线解析式；

2

由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点

P的地址；

3

分AMC90o、ACM90o和CAM90o三种情况，列出关于m的方程．

5．已知抛物线yax2bxc上有两点，、N(m，b).M(m+1a)(1)当a＝－1，m＝1时，求抛物线yax2bxc的解析式；(2)用含a、m的代数式表示b和c；(3)当a＜0时，抛物线yax2bxc满足b24aca，bc2a，m3，4求a的取值范围.【答案】（1）b1；（2）b=-am，c=-am；（3）16a1c1393【解析】【解析】（1）依照题意获取M(2，－1)、N(1，b)，代入抛物线解析式即可求出b、c；（2）将点M(m+1，a)、N(m，b)代入抛物线yax2bxc，可得a(m1)2b(m1)ca，化简即可得出；am2bmcb（3）把bam，cam代入b24aca可得am21，把bam，4mcam代入bc2a可得m1，尔后依照m的取值范围可得a的取值范围.【详解】解：(1)∵a＝－1，m＝1，∴M(2，－1)、N(1，b)由题意，得42bc1b11bc，解，得c1b(2)∵点M(m+1，a)、N(m，b)在抛物线yax2bxc上a(m2b(m1)c①1)a2bmcb②am①－②得，2ambb，∴bam把bam代入②，得cam(3)把bam，cam代入b24aca得a2m24a2ma

Qa0，am24am1,am214m把bam，cam代入bc2a得2am2a，m1Qm3，1m344Qm24m(m2)24，当m2时，m24m随m的增大而增大3m24m3916161139m24m316a1即339【点睛】

此题观察待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特

征采出bam，cam是解题要点.

6．在平面直角坐标系

xOy中（如图）．已知抛物线

y=﹣

1

x2+bx+c经过点

A（﹣1，0）和

2点B（0，5

），极点为

C，点

D在其对称轴上且位于点

C下方，将线段

DC绕点

D按顺时

2针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

1）求这条抛物线的表达式；

2）求线段CD的长；

3）将抛物线平移，使其极点C移到原点O的地址，这时点P落在点E的地址，若是点

M在y轴上，且以O、D、E、M为极点的四边形面积为8，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1x2+2x+5；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐22标为（0，7）或（0，﹣7）．22【解析】

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）利用配方法获取y=﹣1（x﹣2）2+9，则依照二次函数的性质获取C点坐标和抛物22

线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，9﹣t），依照旋转性质得∠PDC=90°，2DP=DC=t，则P（2+t，9﹣t），尔后把P（2+t，9﹣t）代入y=﹣1x2+2x+5获取关于t2222的方程，进而解方程可获取CD的长；（3）P点坐标为（4，9），D点坐标为（2，5），利用抛物线的平移规律确定E点坐标22为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式获取15+2）?2=8?（m+22当m＜0时，利用梯形面积公式获取15m即可2?（﹣m++2）?2=8，尔后分别解方程求出2获取对应的M点坐标．【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，5）代入y=﹣1x2+bx+c得221c0b2b2，解得5，5cc22y=125；∴抛物线解析式为x+2x+22）∵y=﹣1（x﹣2）2+9，22

9∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2，2如图，设CD=t，则D（2，9﹣t），2∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC=90，°DP=DC=t，∴P（2+t，9﹣t），2把P（2+t，9﹣t）代入y=﹣1x2+2x+5得﹣1（2+t）2+2（2+t）+5=9﹣t，222222整理得t2﹣2t=0，解得t12=0（舍去），t=2，∴线段CD的长为2；9），D点坐标为（5），（3）P点坐标为（4，2，22∵抛物线平移，使其极点C（2，9）移到原点O的地址，2

∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9个单位，2而P点（4，9）向左平移2个单位，向下平移9个单位获取点E，22∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，1?（m+5+2）?2=8，解得m=7，此时M点坐标为（0，7）；2222当m＜0时，1?（﹣m+5+2）?2=8，解得m=﹣7，此时M点坐标为（0，﹣7）；2222综上所述，M点的坐标为（0，7）或（0，﹣7）．22

【点睛】此题观察了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确增加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的要点.

7．课本中有一道作业题：

有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个极点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？

小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了以下的问题．

（1）若是原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，

如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．

（2）若是原题中所要加工的零件可是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就

不能够确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．

【答案】（1）240480mm，mm；（2）PN=60mm，PQ40mm．77

【解析】

【解析】

(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），依照平行得出△APN和△ABC相似，依照线段的比值得出y的值，尔后得出边长；(2)、依照第一题同样的方法得出y与

x的函数关系式，尔后求出S与x的函数关系式，依照二次函数的性质得出最大值.

【详解】

(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）

∵PN∥BC,

=，△APN∽△ABC

=

=

=解得y=

2y=

∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm

(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S，则AE=80-x（mm）．.

由（1）知=

∴=

∴y=

则S=xy===

∵

∴S有最大值

∴当x=40时，S最大=2400（mm2）此时，y==60．

∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ、PN长分别是40mm，60mm．

考点：三角形相似的应用

8．如图，抛物线yax2bxc的图象过点A﹣(1，0)、B(3，0)、C(0，3).

（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上可否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，央求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明原由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上可否存在点M（不与C点重合），使得SPAM＝SPAC？若存在，央求出点M的坐标；若不存在，请说明原由．【答案】（1）y-x22x3；（2）存在，点P(12)，，周长为：1032；（3）存在，点M坐标为(14)，【解析】【解析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点（A﹣10，）、（B3，0），故可设交点式

y＝（ax1）（﹣x）3，把点C代入即求得a的值，减小计算量．（2）由于点A、B关于对称轴：直线x＝1对称，故有PA＝PB，则CPAC＝ACPCPA＝ACPCPB，所以当C、P、B在同素来线上时，CPAC＝ACCB最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把x＝1代入即求得点P纵坐标．（3）由SPAM＝SPAC可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又由于M在x轴上方，故有CM//PA．由点A、P坐标求直线AP解析式，即

获取直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．

【详解】

解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣10，）、（B3，0）

∴可设交点式y＝（ax1）（﹣x）3

把点C（0，3）代入得：﹣3a＝3

a＝﹣1

y＝-（x1）（﹣x）3＝﹣x22x3

∴抛物线解析式为y＝-x22x3

2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAC的周长最小．如图1，连接PB、BC

∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称

PA＝PB

CPAC＝ACPCPA＝ACPCPB∵当C、P、B在同素来线上时，PCPB＝CB最小QA（﹣10，）、（B3，0）、（C0，3）AC123210,BC323232CPAC＝ACCB1032最小设直线BC解析式为y＝kx3把点B代入得：3k3＝0，解得：k＝﹣1∴直线BC：y＝﹣x3yP＝﹣13＝2∴点使PAC的周长最小，最小值为1032．P（1，2）（3）存在满足条件的点M，使得SPAM＝SPAC．

SPAM＝SPACS△PAM＝S△PAC

∴当以PA为底时，两三角形等高

∴点C和点M到直线PA距离相等

∵M在x轴上方

CM//PA

QA（﹣10，），（P，12），设直线AP解析式为y＝pxd

pd0p1pd2解得：1d∴直线AP：y＝x1∴直线CM解析式为：y＝x3yx3Qx22x3y解得：x10x21y1（即点C），y243∴点M坐标为（1，4）

【点睛】

观察了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定

理，平行线间距离各处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴

上方，无需分类谈论，解法较老例而简单．

9．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），以下列图．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的极点为D，求出点C，D的坐标，

并判断△BCD的形状；

（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，

交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，

△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

【答案】（1）yx22x3；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；1t23t(0＜t＜3)（3）S22t23t(t＜0或t＞3)

22

【解析】

试题解析：（1）先解一元二次方程，尔后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，

进而获取结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．试题解析：解（1）∵x2+4x30，∴x11，x23，∵m，n是一元二次方程x2+4x30的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线yx22x31bc0b2的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴{3，∴{3，∴抛物线解析式为ccyx22x3；（2）令y=0，则x22x30，∴x11，x23，∴C（3，0），yx22x324，极点坐标（，﹣），过点作轴，∵=(x1)∴DDE⊥yD14∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45，°∴∠CBD=90，°∴△BCD是直角三角形；（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣

3），M（t，t22t3），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（t22t3）=t23t，1123t)=123t，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t∴S=PM×QF=(tt2222＞3时，PM=t22t3﹣（t﹣3）=t23t，∴S=11（t23t）=123PM×QF=2tt．2221t23t(0t3)S=22．综上所述，{1t23t(t0或t3)22

考点：二次函数综合题；分类谈论．

10．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与点，与y轴的正半轴交于点C，极点为

x轴交于D，已知

A，B（A，B分别在A（﹣1，0）．

y轴的左右两侧）两

1）求点B，C的坐标；

2）判断△CDB的形状并说明原由；

3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）获取△QPE．△QPE与△CDB重叠

部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB为直角三角形；3t23t(0t3)(Ⅲ)S221t29(3.3tt3)222【解析】

【解析】

（1）第一用待定系数法求出抛物线的解析式，尔后进一步确定点B，C的坐标．

2）分别求出△CDB三边的长度，利用勾股定理的逆定理判断△CDB为直角三角形．

3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：

3①当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；2②当3＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．2

【详解】

解：(Ⅰ)∵点A1,0在抛物线y2x1c上，∴0112c，得c4∴抛物线解析式为：yx24，1令x0，得y3，∴C0,3；令y0，得x1或x3，∴B3,0.(Ⅱ)CDB为直角三角形.原由以下：由抛物线解析式，得极点D的坐标为1,4.如答图1所示，过点D作DMx轴于点M，

则OM1，DM4，BMOBOM2.过点C作CNDM于点N，则CN1，DNDMMNDMOC1.在RtOBC中，由勾股定理得：BCOB2OC2323232；在RtCND中，由勾股定理得：CD22222；CNDN11在RtBMD中，由勾股定理得：BDBM2DM2224225.∵BC2CD2BD2，∴CDB为直角三角形.

(Ⅲ)设直线BC的解析式为ykxb，

B3,0,C0,3，

3kb0∴，b3解得k1,b3，yx3，

直线QE是直线BC向右平移t个单位获取，

∴直线QE的解析式为：yxt3x3t；设直线BD的解析式为ymxn，∵B3,0,D1,4，3mn0m2,n6，∴n，解得：m4y2x6.

连续CQ并延长，射线CQ交BD交于G，则G3,3.2

在COB向右平移的过程中：

3(1)当0t时，如答图2所示：2

设PQ与BC交于点K，可得QKCQt，PBPK3t.设QE与BD的交点为F，则：y2x6yx3.tx3t解得y，2t∴F3t,2t.SSQPESPBKSFBE111yFPEPQPBPKBE13313t23t22221t2t3t.2222(2)当3t3时，如答图3所示：2

设PQ分别与BC、BD交于点K、点J.∵CQt，∴KQt，PKPB3t.直线BD解析式为y2x6，令xt，得y62t，∴Jt,62t.

SSPBJSPBK11PBPK2PBPJ213t62t13t2221t23t9.223t23t0t3综上所述，S与t的函数关系式为：22S.1t23t93t3222

11．已知，如图，抛物线

yax2

bx

c(a

0)的极点为M(1,9)，经过抛物线上的两点

A(3,7)和

B(3,m)

的直线交抛物线的对称轴于点

C

．

（1）求抛物线的解析式和直线

AB的解析式．

（2）在抛物线上

A,M

两点之间的部分（不包含

A,M

两点），可否存在点

D，使得

S

DAC

2S

DCM

？若存在，求出点

D的坐标；若不存在，请说明原由．

3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A,M,P,Q为极点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．

【答案】（1）抛物线的表达式为：yx22x8，直线AB的表达式为：y2x1；（2）存在，原由见解析；点P(6,16)或(4,16)或(17,2)或(17,2)．

【解析】

【解析】

1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；

2）S△DAC=2S△DCM，则

SVDAC1DHxCxA1x22x82x1131911x2，，即可222求解；（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即

可．

【详解】

解：（1）二次函数表达式为：yax219，将点A的坐标代入上式并解得：a1，故抛物线的表达式为：yx22x8①，则点B3,5，

将点A,B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y2x1；

（2）存在，原由：

二次函数对称轴为：x1，则点C1,1，

过点D作y轴的平行线交AB于点H，

设点Dx,x22x8，点Hx,2x1，∵SDAC2SDCM，则SVDAC1DHxCxA1x22x82x1131911x2，222解得：x1或5（舍去5），故点D1,5；（3）设点Qm,0、点Ps,t，ts22s8，①当AM是平行四边形的一条边时，点M向左平移4个单位向下平移16个单位获取A，同理，点Qm,0向左平移4个单位向下平移16个单位为m4,16，即为点P，即：m4s，6t，而ts22s8，解得：s6或﹣4，故点P6,16或4,16；②当AM是平行四边形的对角线时，由中点公式得：ms2，t2，而ts22s8，

解得：s17，故点P17,2或17,2；综上，点P6,16或4,16或17,2或17,2．【点睛】

此题观察的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，防备遗漏．

12．如图①，抛物线yx2(a1)xa与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知ABC的面积为6.(1)求a的值；(2)求ABC外接圆圆心的坐标；(3)如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同样两点，若点P到x轴的距离为d，QPB的面积为2d，

且PAQAQB，求点Q的坐标.

【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q4,1.

【解析】

【解析】

（1）利用抛物线解析式获取A、B、C三点坐标，尔后利用三角形面积公式列出方程解出

a；（2）利用第一问获取A、B、C三点坐标，求出AC解析式，找到AC垂直均分线的解析

式，与AB垂直均分线解析式联立，解出x、y即为圆心坐标；（3）过点P做PD⊥x轴，PD=d，发现△ABP与△QBP的面积相等，获取A、D两点到PB得距离相等，可得AQ∥PB，求出PB解析式，与二次函数解析式联立获取P点坐标，又易证ABQ≌QPA，获取BQ=AP=26，设出Q点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q点坐标即可【详解】(1)解：由题意得yx1xa由图知：a＜0所以A(a,0)，B10,,C0,aSABC11aa=62

a3或a4(舍)∴a3

(2)由(1)得A(-3,0)，B10,,C0,3∴直线AC得解析式为：y=x+3AC中点坐标为3,322∴AC的垂直均分线为：yx又∵AB的垂直均分线为：x1

yxx1∴得x1y1

ABC外接圆圆心的坐标(-1，1).

(3)解：过点P做PD⊥x轴

由题意得：PD=d，

∴SABP1ABPD2=2d∵QPB的面积为2d∴SABPSBPQ，即A、D两点到PB得距离相等AQ∥PB

设PB直线解析式为;yxb过点B(1,0)

∴yx1

yx1x4x1舍∴yx2易得y5y0()2x3所以P(-4,-5),

由题意及PAQAQB

易得：ABQ≌QPA

BQ=AP=26

设Q(m，-1)(m＜0)

∴1m21226

m4

∴Q4,1.

【点睛】

此题观察二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识

点，第一问要点在于用a表示出A、B、C三点坐标；第二问要点在于找到AC垂直均分线

的解析式，与AB垂直均分线解析式；第三问要点在于能够求出PB的解析式

13．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关

于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线

l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0，1），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平2

行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，可否存在点Q，使得以点B、Q、M为极点的三角形与

△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明原由．

【答案】（1）y=﹣1x2+3x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；2

3）点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为极点的三角形与△BOD相似．

【解析】

解析：（1）待定系数法求解可得；

2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=1x-2，则Q（m，-1m2+3m+2）、M222（m，1m-2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的2

方程，解之可得；

3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得

DOMB1BM14mBP13，解之OBBQ，再证△MBQ∽△BPQ得BQ，即222PQ2mm22即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．

详解：（1）由抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x-4），将点C（0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-1，2则抛物线解析式为y=-1（x+1）（x-4）=-1x2+3x+2；2222）由题意知点D坐标为（0，-2），设直线BD解析式为y=kx+b，

将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：

4k＝＝1＝，解得：k2，b2＝2b1x-2，∴直线BD解析式为y=2∵QM⊥x轴，P（m，0），123m+2）、M（m，1∴Q（m，--m+m-2），222则QM=-1m2+3m+2-（1m-2）=-1m2+m+4，2222

1∵F（0，）、D（0，-2），2DF=5，2

∵QM∥DF，

∴当-1m2+m+4=5时，四边形DMQF是平行四边形，22

解得：m=-1（舍）或m=3，

即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）以下列图：

∵QM∥DF，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，

则DOMB2=1，OBBQ42∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90，°

∵∠MPB=∠BPQ=90，°

∴∠MBP+∠BMP=90，°

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

BMBP14m，即213，∴PQ2BQ2mm22解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能够组成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为极点的三角形与△BOD相似．

点睛：此题主要观察二次函数的综合问题，解题的要点是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判断与性质、相似三角形的判断与性质及分类谈论思想的运用．

14．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．

1）求抛物线的函数关系式；

2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t

（），求△ABN的面积S与t的函数关系式；

（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．

【答案】（1）；（2）；（3）（，

）或（1，2）．

【解析】

试题解析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法即可获取结

论；

（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就

可获取S与t的函数关系式；

（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况

谈论，由PN=2PO获取关于t的方程，解这个方程，即可获取答案．

试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：

，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即

；

（2）当时，＞0，∴NP===，

∴S=AB?PN==；

（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．

①当时，PN===，PO==，∴

理得：，解得：=，=，∵＞0，

＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；

②当0＜